2022-2023学年河北省石家庄市十八中高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

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2022-2023学年河北省石家庄市十八中高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．与直线垂直的直线的倾斜角为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出直线的斜率,然后根据两直线垂直斜率之间的关系,可以求出与它垂直的直线的斜率,最后利用斜率与倾斜角之间的关系式,求出倾斜角即可.【详解】,所以该直线的斜率为,设与它垂直的直线的斜率为k,所以有,设与直线垂直的直线的倾斜角为,则有.故选：B【点睛】本题考查了由直线方程求直线的斜率,考查了直线的斜率与直线的倾斜角之间的关系,考查了两直线垂直时斜率之间的关系,考查了数学运算能力.2．向量，，若，且，则的值为（    ）A． B．1 C． D．4【答案】C【分析】根据向量模的公式可求出的值，根据可求出的值，从而可求出的值.【详解】因为向量，，所以，解得，所以向量，因为，所以，所以，所以的值为.故选：C.3．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接OM，ON，利用向量的线性运算可求的表示形式，从而可得正确的选项.【详解】连接OM，ON，则．故选：A．4．已知中有，，且，则边上的中线所在直线方程为　　A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求得的中点坐标，再求出与垂直的直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．【详解】由，可知边上的中线即为边的垂直平分线，由，，得的中点坐标为，又，边的垂直平分线的斜率为2，则边上的中线所在直线方程为，即．故选：D．【点睛】本题考查直线的点斜式方程，考查由直线上两点的坐标求直线的斜率，属于基础题．5．已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解．【详解】依题意得则点C到直线AB的距离为故选：A6．已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是A． B． C． D．【答案】C【分析】是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,三棱锥外接球就是正方体的外接球，由正方体及球的几何性质可得点与重合时，点到平面的距离最大，求出平面的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.【详解】三棱锥，满足两两垂直，且，如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则，，设平面的法向量，则，取，得，三棱锥外接球就是棱长为1的正方体的外接球，是三棱锥外接球上一动点，由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时，点到平面的距离最大，点到平面的距离的最大值为.故选C.【点睛】求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.7．若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值是（    ）A．25 B． C．17 D．【答案】B【分析】首先利用对称点的求法，表示出对称点坐标，再代入中，得到，再利用基本不等式中的乘法，即可求得.【详解】设关于直线的对称点为，依据题意可得：，解方程组得，又对称点在直线上，代入可得，且在第一象限，则，则，当且仅当时，即时，等号成立.故选：B8．已知点．若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】试题分析：直线方程为即．设点，点到直线的距离为，因为，由面积为可得．即，解得或或．所以点的个数有4个．故A正确．【解析】1直线方程；2点到线的距离．  二、多选题9．过点且在两坐标上截距的绝对值相等的直线是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】设所求的直线方程为，求出横截距，纵截距，再由过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，求出，即得解.【详解】解：设所求的直线方程为，当时，得横截距，当时，得纵截距，过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，，或，，或或，所以直线的方程为或或.故选：ABD．10．点在函数的图象上，当，则可能等于（    ）A． B． C． D．0【答案】AD【分析】由点在线上得，则，，由复合函数性质逐步讨论值域即可【详解】点在函数的图象上，∴，∴，∵由得，.故选：AD11．若动点、分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离可能为（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】设点，则，根据题意求出点的轨迹方程，可求得原点到点的距离的最小值，即可得出合适的选项.【详解】设点，则，由题意可得，将这两个等式相加可得，即，即，故点的轨迹方程为.因为原点到直线的距离为，所以，的中点到原点的距离的最小值为，因此，的中点到原点的距离可能为、、，故选：ACD.12．如图，在长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则（    ）A．是单位向量 B．是平面的一个法向量C．异面直线与垂直 D．点到平面的距离为【答案】ABD【分析】求出，可判断A选项的正误；利用向量数量积的坐标运算可证得，，由此可判断B选项的正误；利用异面直线所成角的向量求法可求得所求余弦值为判断C选项的正误；利用点到面距离的向量求法可求得所求距离可判断D选项的正误.【详解】对于A，、，则，A正确；对于B，，，，，，，即，，平面，是平面的一个法向量，B正确；对于C，，，，即异面直线与所成角的余弦值为，C错误；对于D，，，，由B知：为平面的一个法向量，点到平面的距离，D正确.故选：ABD. 三、填空题13．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.【答案】【分析】根据可求出结果.【详解】因为平面，所以，则，解得.故答案为：14．点到直线距离的最大值______.【答案】【解析】先得到直线过点，求出点与之间距离，结合图形，即可求出最大值.【详解】因为直线显然过点，即，，连接，若，则点到直线的距离为；若不垂直，则点到直线的距离必小于，综上，点到直线距离的最大值.故答案为：.15．如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点于E，现将沿DE折起使二面角A-DE-B为，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则此时M，N的连线与AE所成的角的大小为______.【答案】##【分析】在平面中构造与平行的直线，使得其与相交，结合已知二面角大小，即可求得结果.【详解】根据题意，折叠后取中点为，连接如下所示：因为面，且，故二面角的平面角为，又因为分别为的中点，故可得，//；在矩形中，为中点，故可得，//；则，且//，故四边形为平行四边形，故即为所求异面直线夹角或其补角；又面，面，故，又，为中点，故，即M，N的连线与AE所成的角的大小为.故答案为：. 四、双空题16．若M，N分别为平行直线与上任意一点，则a的值为______，的最小值为______.【答案】     3；     4.【分析】根据两直线平行，列方程可求出a的值，利用两平行线间的距离公式可求出的最小值.【详解】因为直线与平行，所以，解得，则直线为，因为M，N分别为平行直线，上任意一点，所以的最小值为两平行线间的距离，即，故答案为：3；4. 五、解答题17．直线过点.(1)若直线与直线平行，求直线的方程；(2)若点到直线的距离为1，求直线的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）设出直线的方程，利用待定系数法求得正确答案.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合到直线的距离来求得直线的方程.【详解】（1）设直线方程为将代入得，所求直线方程是（2）若直线的斜率不存在，则过的直线为，到的距离为1，满足题意；若直线的斜率存在，设斜率为，则的方程为.由到直线的距离为1，可得.解得，所以直线方程为，即.综上得所求的直线方程为或.18．如图，在正方体中，为的中点．(1)证明：平面AD1E(2)求直线到平面的距离；【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的距离公式求解.【详解】（1），，四边形为平行四边形，，面，面，平面．（2）如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，，直线到平面的距离为.19．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见详解.(2) 【分析】（1）过作交于，利用勾股定理证得，进而得到，进而证得平面，故平面平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再代入算得结果.【详解】（1）如图，在四边形中，过作交于，在中，得，，则，得，，又由已知条件平面，故平面，又平面平面平面.（2）为等腰三角形，，又因为平面，以为原点建立空间直角坐标系，如图：可得，，设平面的法向量为，根据，得，令，则，得，又，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值.20．已知直线.(1)若直线l不能过第三象限求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.【答案】(1)(2)S的最小值为4，此时直线l的方程：. 【分析】（1）由直线方程得直线过定点，分析斜率k的取值满足直线l不过第三象限；（2）求出点A，点B的坐标，写出面积的表达式，利用基本不等式求最小值，并由等号成立的条件，得直线的方程.【详解】（1）直线l的方程：，即，所以直线过定点，当直线l过坐标原点时，斜率，因为直线不能过第三象限，所以直线的倾斜角大于或等于过原点时直线的倾斜角或为零度，得.（2）直线l交x轴负半轴于点A，令，，，直线l交y轴正半轴于点B，令，，，由题，解得，，当且仅当时，等号成立，S最小为4，此时直线l的方程为：.21．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，，E为棱BC上的点，且(1)求证：DE⊥平面；(2)求二面角的余弦值；(3)设Q为棱CP上的点（不与C、P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求得，，再由线面垂直的判定定理可得答案；（2）求出平面、平面的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；（3）设，利用可得，再由可得答案.【详解】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，所以，，所以，，且，所以DE⊥平面.（2）由（1）知，DE⊥平面，是平面的一个法向量，且，，，设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，所以， ，由图二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（3）由（1）得，，，，设，则，可得，所以，是平面的一个法向量所以，解得.所以.22．四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面.(1)证明：；(2)若，且PA与平面ABCD成角为60°，在棱PC上是否存在点E，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得线面垂直，进而可得线线垂直；（2）根据空间直角坐标系，利用法向量的夹角求二面角，确定点的位置即可求解.【详解】（1）因为平面平面，且交线为,又四边形为菱形，所以,故 平面 , 平面,故（2）因为， 是 的中点，所以 ,又平面平面，且交线为，所以平面，为PA与平面ABCD所成角，故，由于四边形为边长为，的菱形，所以 因为 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系； , ,设 ,其中 ，所以 , , ,设平面的法向量为 ，则： ，取 则；设平面的法向量为 ，则： ，取 则，故 ，整理得： ；解得 或者 （舍去）故存在，且满足，即点 是 的三等分点，且靠近 端，故 .