2022-2023学年河南省湘豫名校联考高二上学期阶段考试（一） 数学（理）试题（解析版）

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2022-2023学年河南省湘豫名校联考高二上学期阶段考试（一） 数学（理）试题 一、单选题1．直线的倾斜角是（    ）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根据直线倾斜角的概念即可求解.【详解】因为直线，即，它与轴垂直，所以该直线的倾斜角为．故选：C．2．已知空间向量．若，则（    ）A．9 B．  C．11 D． 【答案】A【分析】根据空间向量的共线，结合其坐标，可得比例式，即可求得答案.【详解】由题意向量,，可知，故，解得，，所以．故选：A．3．若直线与直线互相垂直，则实数的值是（    ）A．-18 B．18 C． D．【答案】B【分析】根据直线一般式垂直满足的关系即可求解.【详解】由题意，得，解得．故选：B．4．如图，在正四棱柱中，为的中点，分别是的中点，则集合中元素的个数为（    ）A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】由线面垂直，根据空间向量的线性运算以及数量积的运算即可求解.【详解】由于平面,平面,所以（其中），所以集合M中元素的个数是1．故选：A．5．已知直线的斜率为，且．若直线的倾斜角为，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据斜率与倾斜角的关系，求得，再求结果即可.【详解】因为，即，又，所以，所以．故选：D．6．已知平面内有两点，若平面的一个法向量为，则（    ）A． B． C．-24 D．24【答案】C【分析】根据，即可列出等量关系，求得结果.【详解】由题可得，因为平面的一个法向量为，所以，所以，解得．故选：C．7．点到直线和直线的距离之差的绝对值的取值范围是（    ）A．  B． C． D．与有关【答案】B【分析】求出两平行线间的距离，讨论点P和两直线的位置关系，即可确定答案.【详解】因为直线与直线平行，所以两条直线之间的距离为．当点在两条直线之间时，点到直线和直线的距离之差的绝对值在内；当点在其中一条直线上或者在两条直线之外时，点到直线和直线的距离之差的绝对值等于两条直线之间的距离．综上可得，点到直线和直线距离之差的绝对值的取值范围是,故选:B．8．已知圆与圆外切，则直线与圆的位置关系是（    ）A．相切 B．相离 C．相交 D．相交或相离【答案】C【分析】根据两圆外切求出a值，再借助点到直线的距离判断作答.【详解】圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为3，因为两圆外切，于是得，解得，圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．故选：C9．若为空间的一个基底，则下列各项中不能构成空间中基底的一组向量是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据基底的定义和共面向量基本定理判断即可.【详解】方法一：只需把，，看作平行六面体从一个顶点出发的三条棱，再利用向量加减法的三角形法则或平行四边形法则，就可以判断出选项A，B，C中的三个向量都不共面，全可以作为空间中的一组基底；选项D，因为，且，所以三个向量共面，不能构成基底，D不符合．故选D．方法二：选项A：假设，，共面，则存在实数x，y使得，无论x，y取何值，等式均不成立，因此，，三个向量不共面，可作为空间中的一组基底；同理可判断选项B，C中的三个向量不共面，可作为空间中的一组基底；选项D，假设，，共面，则存在实数x，y使得，当，时，等式成立，因此，，三个向量共面，不能构成空间中的一组基底．故选：D．10．已知圆分别经过两点，圆心在直线上．若直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设圆心C为，由解出m，得到圆心半径和圆的方程，直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线距离小于半径，可求实数的取值范围.【详解】圆心在直线上，设圆心C为．由题意得，解得．所以圆心C为，半径．所以圆C的方程为．因为直线与圆有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离，即，解得．所以实数k的取值范围是．故选：B．11．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知点，若圆上不存在点满足，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点间距离公式，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】设点．若，则，整理得．所以点P的轨迹是以为圆心，半径的圆．圆是以为圆心，r为半径的圆，由题意可得或．又，所以或，解得或或．又，所以或，即的取值范围是．故选：C．【点睛】关键点睛：根据圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.12．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线面垂直的性质证DP，DC，DA两两互相垂直，构建空间直角坐标，并求直线MN与BD的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示列方程求参数.【详解】因为平面，平面，平面，所以，．因为底面为矩形，所以．所以DP，DC，DA两两互相垂直．以为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，．所以，．因为，所以，则．设直线MN与BD所成角为，则．因为，则，化简得，即，解得或（舍去）．故选：B 二、填空题13．已知方程表示圆，则实数的取值范围是_____．【答案】【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解.【详解】由题意，得，化简得，解得或．所以实数的取值范围是．故答案为：14．如图，在长方体中，是的中点，点分别在上，且．若，则_____．【答案】1【分析】根据向量的加法与减法的三角形法则转化即可.【详解】因为，，所以，所以，，，所以．故答案为：115．如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，．若顶点到平面的距离为1，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为_____．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用空间向量的方法列方程得到，然后利用空间向量的方法求距离即可.【详解】以为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．所以，，．设平面的一个法向量为，由题意得，解得，所以顶点到平面的距离是．故答案为：16．已知圆经过点且圆心在轴上，圆内切于圆，圆与轴分别交于两点（点在点左侧），则直线截圆所得的弦长为_____．【答案】【分析】根据两圆内切，可得半径与圆心距之间的关系，进而根据即可得圆的方程，由圆与直线相交时勾股定理即可求解弦长.【详解】设圆的圆心为．因为圆内切于圆，所以圆的半径．又，所以，化简得．当时，，解得；当时，，解得（舍去）．所以圆的半径．所以圆的方程为．当时，或，所以圆与轴交于，两点．所以．所以直线AC的方程为．圆心到直线AC的距离为，所以直线AC截圆所得的弦长为．故答案为： 三、解答题17．已知的三个顶点分别满足：点在轴上，点在轴上，，直线的斜率为，直线与直线垂直．(1)求点的坐标；(2)求边上的中线所在直线的方程．【答案】(1)，(2)． 【分析】（1）结合直线垂直时斜率的关系、两点求斜率的公式求得的坐标；（2）根据边上的中线所过点求得中线所在直线的方程.【详解】（1）因为直线AC的斜率为，直线AC与直线BC垂直，所以直线BC的斜率为．设，，则，解得；，解得．所以，．（2）因为BC的中点坐标为，且中线过点，所以边BC上的中线所在直线方程为，即．18．已知三棱锥中，平面，点在上，且．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求得点的坐标，利用向量法证明平面，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）求得平面的法向量，再根据两个法向量夹角和二面角之间的关系，即可求得结果.【详解】（1）在三棱锥中，平面，面，故，又，则，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系：则，，，．所以，因为，所以，所以．因为，，，所以，，所以，，即，，又，面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）方法一：因为，，设平面的法向量为，则由，解得，令，得平面的一个法向量为；易知平面的一个法向量为；设二面角的大小为，所以，所以，故二面角的正弦值为．方法二：因为，，设平面的法向量为，则，解得，令，得平面的一个法向量为，所以平面的一个法向量为；易知平面的一个法向量为；设二面角的大小为，所以，所以，故二面角的正弦值为．19．已知中，，角A的平分线在轴上．(1)求点关于轴的对称点的坐标及边，边所在直线的方程；(2)求的外接圆的方程．【答案】(1)，,(2) 【分析】（1）由题意可直接求出点关于x轴的对称点的坐标；根据角A的平分线在轴上，可得，列方程求得，即可求得边，边所在直线的方程；（2）设的外接圆的方程，将的坐标代入，即可求得答案.【详解】（1）点关于x轴的对称点的坐标为，设，由题意得，即．解得,所以直线AB的方程为，即，直线AC的方程为 ，即．（2）设的外接圆方程为，由 解得 ,所以所求圆的方程为．20．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，点分别在上， 且．(1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求．【答案】(1)证明见解析；(2)或． 【分析】（1）根据给定条件，以点B为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.（2）利用（1）中坐标系，借助线面角的向量求法即可求解作答.【详解】（1）依题意，BC，BA，BP两两垂直，以B为原点，BC，BA，BP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，，，，，，，显然，即，因此是平面ABP的一个法向量，而，于是得，又平面ABP，所以平面ABP.（2）由（1）知，，，，，设平面ADF的法向量为，则，令，得，设直线PA与平面ADF所成角为，则，整理得，而，解得或，所以或．21．在四棱锥中，底面， 四边形为平行四边形， 且，，．(1)求证：平面；(2)若点为的重心，求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）因为底面平面 ，所以，．因为，，所以．在中，，，，所以，所以由勾股定理的逆定理，得．又平面 ，所以平面．（2）因为，，所以．所以两两互相垂直．以A为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，．设平面的法向量为，则 ,令，得平面的一个法向量为,平面 的一个法向量为,设平面与平面的夹角为， ，则,故平面与平面的夹角的余弦值为．另解：如图，延长 交 于点F，连接 ，可知F为的中点．由，得．由（1）知平面平面 ，所以．又平面，所以平面．又平面, 所以，即为平面与平面所成二面角的平面角．在中，，，，所以, 故平面与平面的夹角的余弦值为．22．已知圆与圆相切．(1)求圆的半径；(2)若圆与圆相内切， 设圆与轴的负半轴的交点为， 过点作两条斜率之积为-3的直线， 分别交圆于两点， 求点到直线距离的最大值．【答案】(1)或(2)． 【分析】（1）根据两圆外切或内切进行分类讨论，从而求得.（2）设出直线和直线的方程，求得两点的坐标，根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，求得直线的方程，进而求得点到直线距离的最大值.【详解】（1）由题易知，圆C的标准方程是．因为圆与圆相切，所以分两圆外切与内切两种情况讨论．若圆与圆相外切，则，解得；若圆与圆相内切，即圆内切于圆，则，解得．综上可得，或．（2）由（1）知，若圆与圆相内切，则．由圆，可得．设，，直线，的斜率分别为，，则直线，．联立方程整理得，所以，即．所以．同理得．由，可得．将代入，可得点，，当时，直线MN的斜率存在，．所以直线MN的方程为，即，化简得．所以直线恒过一定点，该定点为，．故点P到直线MN的距离小于；当时，直线MN的斜率不存在，，或，，所以直线MN的方程为，点P到直线MN的距离为．综上所述，点P到直线MN距离的最大值为．【点睛】圆与圆的位置关系中，“相切”包括了内切和外切，在解题过程中，如果题目所给条件是“相切”，则可能为内切和外切两种情形.要求直线的方程，首先要判断直线的斜率是否存在.