2022-2023学年河南省湘豫名校联考高二上学期阶段考试（一） 数学（文）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省湘豫名校联考高二上学期阶段考试（一） 数学（文）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省湘豫名校联考高二上学期阶段考试（一） 数学（文）试题 一、单选题1．已知经过，两点的直线的斜率为1，则（    ）A．7 B． C．3 D．【答案】D【分析】由斜率公式列式求解【详解】由斜率公式得，解得.故选：D.2．若直线与直线平行，则实数a的值为(    )A． B． C． D．【答案】A【分析】根据“两直线平行，斜率相等”即可列式求解．【详解】若直线与直线平行，则有，解得，经检验满足题设.故选：A．3．对于空间中的任意三个向量，，，它们一定是（    ）A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量【答案】A【分析】根据空间向量共面定理，即可直接判断并选择.【详解】若，不共线，则由空间共面向量定理知，，，共面；若，共线，则，，共线，也共面.故选：.4．若直线l经过第一、三、四象限，且其倾斜角为，斜率为k，则下列结论错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线所过象限，得到，，故，，，所以ABC正确，D错误.【详解】由题意知，其斜率，直线l的倾斜角的取值范围是，所以，，.所以，，，D选项错误.故选：D.5．已知直线的一个方向向量是，直线的一个方向向量是，则两不重合直线与的位置关系是（    ）A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定【答案】B【分析】由两直线的方向向量的位置关系，确定两直线的位置关系.【详解】由题可得，所以，因为直线与不重合，所以直线与平行.故选：B.6．如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（    ）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】结合向量投影的概念得，进而再求解即可.【详解】解：由向量投影的概念，表示向量在上的投影，因为垂直于平面,所以 因为（其中），所以.故选：D.7．如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案.【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以.故选：C.8．已知直线与圆相切，则圆O与圆的位置关系是（    ）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【答案】B【分析】先由直线与圆相切求出参数，进而得到圆的标准方程，再求出两圆的圆心距，与两圆半径之和与半径之差作比较，进而得到两圆的位置关系.【详解】由，得圆心为，半径.因为直线与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即，解得或（舍去）.所以圆C的标准方程为.由，得圆心为，半径，所以两圆圆心距，.所以，所以两圆相交.故选：B.9．已知两条直线和互相垂直且垂足为点P（1，2），则下列结论错误的是（    ）A． B．且C． D．【答案】D【分析】由两条直线互相垂直，有，把点P代入两条直线方程，把所得到的等式进行化简，可得到各选项对应的结果.【详解】因为两条直线和互相垂直，所以①，选项A正确；由题意，两条直线和的交点为P（1，2），所以②，且③，选项B正确；由②③得，，代入①得，化简得，选项C正确；由②③得，，代入①得，化简得，选项D错误.故选：D.10．已知圆经过，两点，且圆心在直线上，若圆上的点到直线的最大距离为，则＝（    ）A．－4或－1 B．4或－1 C．－4或1 D．4或1【答案】C【分析】设圆的圆心坐标为，由，求出圆心坐标和半径，圆上的点到直线的最大距离，可得到圆心到直线距离，点到直线距离公式求的值.【详解】圆心在直线上，设圆的圆心坐标为，由题意得：，解得，所以圆心为，半径，所以圆的方程为.因为圆上的点到直线的最大距离为，所以圆心到直线的距离为，即，解得或.故选：C.11．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知点，若圆上不存在点满足，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点间距离公式，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】设点．若，则，整理得．所以点P的轨迹是以为圆心，半径的圆．圆是以为圆心，r为半径的圆，由题意可得或．又，所以或，解得或或．又，所以或，即的取值范围是．故选：C．【点睛】关键点睛：根据圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.12．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线面垂直的性质证DP，DC，DA两两互相垂直，构建空间直角坐标，并求直线MN与BD的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示列方程求参数.【详解】因为平面，平面，平面，所以，．因为底面为矩形，所以．所以DP，DC，DA两两互相垂直．以为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，．所以，．因为，所以，则．设直线MN与BD所成角为，则．因为，则，化简得，即，解得或（舍去）．故选：B 二、填空题13．已知方程表示圆，则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】若表示圆，则，据此列式计算即可.【详解】由题意，得，化简得，解得，即实数a的取值范围为.故答案为：.14．如图，在长方体中，是的中点，点分别在上，且．若，则_____．【答案】1【分析】根据向量的加法与减法的三角形法则转化即可.【详解】因为，，所以，所以，，，所以．故答案为：115．过点作一条直线与圆分别交于M，N两点.若弦MN的长为，则直线MN的方程为______.【答案】或（其他形式，只要正确亦可）【分析】由题意可知，直线MN的斜率存在，设其斜率为k，得出直线MN的方程，由几何方法求出圆心到直线MN的距离，即可由点线距离公式建立方程求解【详解】由题意可知，直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则直线MN的方程为，即.若弦MN的长为，则圆心到直线MN的距离为，所以，解得.故直线MN的方程为或，即或.故答案为：或.16．如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，．若顶点到平面的距离为1，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为_____．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用空间向量的方法列方程得到，然后利用空间向量的方法求距离即可.【详解】以为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．所以，，．设平面的一个法向量为，由题意得，解得，所以顶点到平面的距离是．故答案为： 三、解答题17．判断下列三点是否在同一条直线上：(1)；(2).【答案】(1)A，B，C三点不在同一条直线上(2)D，E，F三点在同一条直线上 【分析】（1）计算和，根据其是否相等即可判断；（2）计算和，根据其是否相等即可判断.【详解】（1）因为，，所以，所以A，B，C三点不在同一条直线上.（2）因为，，所以.又直线DE与直线DF有公共点D，所以D，E，F三点在同一条直线上.18．如图所示，在正四棱台中，为棱上任意一点.以、、、、、、、、这九个点中的两个点为向量的起点和终点，分别写出满足下列条件的向量. (1)与平行且方向相同的向量，与相等的向量；(2)用三个向量的和表示（举三个例子）.【答案】(1)与平行且方向相同的向量有：，，，，；与相等的向量有：(2)，，（答案不唯一） 【分析】（1）利用平行（共线）向量，相等向量定义结合正四棱台结构特征可得答案.（2）利用向量的加法法则结合图形可得答案.【详解】（1）由图可得：与平行且方向相同的向量有：，，，，；与相等的向量有：.（2）由图形结合向量加法运算法则得：，，.（答案不唯一）19．求满足下列条件的圆的方程.(1)若圆经过点，且圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；(2)若圆与直线和直线都相切，且圆心在x轴上，求圆的标准方程.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）先求出点关于直线对称的点的坐标为，进而求出半径，得到圆的标准方程；（2）设出圆心坐标，由圆心到直线距离等于半径列出方程，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的标准方程.【详解】（1）因为点关于直线对称的点的坐标为，所以圆的圆心坐标为，半径.所以圆的标准方程为；（2）设圆心，因为圆与直线和直线都相切，所以.所以①或②，其中，①无解，由②解得a＝2.所以圆心，半径.所以圆的标准方程为.20．如图所示，四棱锥的底面是矩形， 底面，，，，.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可.（2）先求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用直线与平面所成角的计算公式求解即可.【详解】（1）由题意知，两两互相垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则，，，，所以，. 底面，       又，      平面，所以是平面的一个法向量.因为，所以.又平面，所以平面.（2）因为，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则由，解得，令，得平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则.故：直线与平面所成角的正弦值为.21．在四棱锥P－ABCD中，AP⊥底面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，且PA＝AD＝3，AB＝4，．(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)若点E为△PCD的重心，求平面ACE与平面PAD的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】(1)通过勾股定理证明CD⊥AD，再结合PA⊥CD即可证明CD⊥平面PAD；(2)以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACE与平面PAD的法向量，利用向量数量积即可求得结果．【详解】（1）∵AP⊥底面ABCD，∴AP⊥AC，AP⊥CD，∵AP＝3，，∴由勾股定理，得，在△ACD中，AD＝3，CD＝AB＝4，∴，∴AD⊥CD，又，AD、AP平面PAD，∴CD⊥平面PAD．（2）方法一(向量法)：∵，AD⊥CD，∴AD⊥AB，∴AB，AD，AP两两互相垂直．    故以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则，，，，，，∴，，设平面ACE的法向量为，则，即，令x＝3，得平面ACE的一个法向量为．易知平面PAD的一个法向量为．设平面ACE与平面PAD的夹角为，则．故平面ACE与平面PAD的夹角的余弦值为．方法二(几何法)：如图，延长CE交PD于点F，连接AF，可知F为PD的中点．由PA＝AD＝3，得AF⊥PD，由(1)知CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF．又，PD、CD平面CDF，∴AF⊥平面CDF．∴AF⊥CF，即∠CFD为平面ACE与平面PAD所成二面角的平面角．在Rt△DFC中，，DC＝4，，∴．故平面ACE与平面PAD的夹角的余弦值为．22．已知圆C，圆，圆这三圆有一条公共弦.(1)当圆C的面积最小时，求圆C的标准方程；(2)在（1）的条件下，直线l满足：（ⅰ）与直线平行；（ⅱ）与圆C相切.若直线l与圆分别交于A，B两点，与圆分别交于D，E两点，求.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）根据给定条件，求出圆与圆的交点，再求出圆C的标准方程作答.（2）根据给定条件，借助点到直线距离公式求出直线l的方程，再利用圆的弦长公式计算作答.【详解】（1）依题意，由，解得或，因此圆与圆的公共弦的两个端点坐标分别为，，当圆C的面积最小时，MN是圆C的直径，则圆C的圆心为，半径，所以圆C的标准方程是.（2）因为直线l与直线平行，则设直线l的方程为，而直线l与圆C相切，则有，解得或，当时，直线l的方程为，而圆的圆心，半径，点到直线的距离为，于是得，又圆的圆心，半径，点到直线的距离为，于是得，因此，当时，直线l的方程为，则点到直线的距离为，，点到直线的距离为，，因此，所以或.