2022-2023学年河北省石家庄市四十一中高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市四十一中高二上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄市四十一中高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知点，若向量，则点B的坐标是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的坐标运算求得的坐标.【详解】设为空间坐标原点，.故选：B2．与向量平行的一个向量的坐标是(　　)A． B．(-1,-3,2)C． D．(,-3,-2)【答案】C【分析】根据向量共线定理判定即可．【详解】对于A，由于，所以与向量不共线，故A不正确．对于B，由题意得向量与向量不共线，故B不正确．对于C，由于，所以与向量共线，故C正确．对于D，由题意得向量(,3,2)与向量不共线，故D不正确．故选C．【点睛】判断两个向量是否共线的方法是判断两个向量之间是否满足，其中为常数，本题考查计算能力和变形能力，属于基础题．3．若圆与圆外切，则（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】利用圆心距等于半径之和即得.【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为，圆的半径为，半径为，则，解得.故选：D.4．“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据直线的位置关系可得或，再利用充分必要条件的定义即得.【详解】由直线与直线相互垂直，可得，解得或，所以时，直线与直线相互垂直，而当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件.故选：A.5．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.故选：D6．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】在平面直角坐标系内画出图像，分别计算的斜率，根据题意可得直线的斜率的取值范围，得到答案.【详解】如图所示，因为， 所以，，又因为直线过点且与线段相交，所以直线的斜率取值范围为或者，即.故选：D.7．=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（3，2，λ），若三向量共面，则实数等于（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由三向量共面，则存在唯一的实数对，使得，即，从而可得答案.【详解】解：因为三向量共面，所以存在唯一的实数对，使得，即，，解得，所以.故选：C.8．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.【详解】到点的距离为2的点在圆上，所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，即两圆相交，故，解得或，所以实数a的取值范围为，故选：A． 二、多选题9．(多选)下列说法不正确的是（    ）A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角C．二面角的大小范围是[0°，180°]D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小【答案】ABD【分析】根据法向量与平面的关系判断A，由空间角的定义与向量夹角的关系判断BD，由二面角的定义判断C．【详解】解：当直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°时，直线l与平面α所成的角为60°，A不正确；向量夹角的范围是[0°，180°]，而异面直线夹角为(0°，90°]，B不正确；二面角的范围是[0°，180°]，C正确；二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，D不正确．故选：ABD．10．已知空间向量，则下列正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据向量坐标和的运算法则，可得A正确；通过由向量坐标求模的计算公式，可得B正确；由向量数量积计算公式，可得不垂直，得C错误；通过向量坐标的夹角计算公式，可得，得D错误.【详解】因为，所以，故A正确；，所以B正确；，所以不垂直，故C错误；，故D错误.故选：AB.11．设圆的圆心为， 为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为 ，则（    ）A． B．四点共圆 C． D．直线的方程为：【答案】ABCD【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的性质求出、的横坐标，即可判断CD；依题意可得到四点的距离相等，即可判断B；【详解】解：因为，即，则圆心，半径，所以，故A正确；在中，，，所以，即，所以，，所以点的横坐标为，所以直线的方程为，故C、D正确；如图直线与圆相交于点，显然，故四点共圆，故B正确；故选：ABCD12．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得.【详解】，故A错误；由题可知，，，∴，∴，故B正确；因为，，则，故C错误，D正确．故选：BD. 三、填空题13．已知直线，写出直线l的一个方向向量____________．【答案】(答案不唯一)【分析】根据方向向量的概念即得.【详解】由直线，可知直线的斜率为，所以直线l的一个方向向量为.故答案为：.14．在长方体中，，E、F分别是、中点，则点到直线的距离为____________．【答案】【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即得．【详解】以为原点，建立空间直角坐标系，则，所以所以点到直线的距离为：，即点到直线的距离为．故答案为：．15．已知两点到直线的距离相等，则____________．【答案】或【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出．【详解】由题意可得，解得或.故答案为：或.16．已知直线恒过点P，过点P作直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为____________．【答案】【分析】由题可得直线所过定点，利用圆的性质可知当时，取得最小，然后根据弦长公式即得.【详解】因为，即，令，得，故直线恒过定点，由圆可知圆心，半径为5，又因为，故点在圆内，当时，取得最小，因为所以.故答案为：. 四、解答题17．已知直线与直线．(1)若，求m的值，并求出两平行线间的距离；(2)若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．【答案】(1)；；(2)或. 【分析】（1）由题意可知，可得，从而可求出m的值，然后利用平行线间距离公式即得；（2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程.【详解】（1）因为直线与直线，且，所以，且，由，得，解得或（舍去）所以，所以，，所以两平行线间的距离为；（2）因为点在直线上，所以，得，所以点的坐标为，由题可设直线的方程为（），令，则，令，则，因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，所以，解得或，所以直线的方程为或.18．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：(1)；(2)平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的方法证得结论成立.（2）利用向量的方法证得结论成立.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，所以.（2），，设平面的法向量为，则，故可令，，所以平面.19．已知圆C经过三点．(1)求圆C的方程；(2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹（根据方程描述出图形）．【答案】(1)；(2)点M的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 【分析】（1）设圆的方程为，由题可得方程组，解得即可；（2）设，根据条件，可得，再根据在圆上，代入圆的方程，即得.【详解】（1）设圆的方程为，则，解得，所以圆的方程为：；（2）设，，又点，，则，所以，即，又点A在圆C上运动，则，所以，即，所以点的轨迹方程为，所以点M的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.20．如图，在三棱锥中，为正三角形，D为的中点，．(1)求证：平面平面；(2)若O为中点，求平面与平面夹角；(3)求点D到平面的距离．【答案】(1)详见解析；(2)；(3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得；（3）利用点到平面的距离的向量求法即得.【详解】（1）因为，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）因为为正三角形，O为中点，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又D为的中点，所以，，如图以为原点建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，又平面的一个法向量可取，设平面与平面夹角为，则，又，所以，即平面与平面夹角为；（3）由题可知，，平面的法向量为，所以点D到平面的距离为.21．已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析．【分析】（1）设圆C的方程为，圆C与y轴相切，则，圆心C在射线上，所以，根据弦长公式得，解方程组即可得结果；（2）依题意得在线段的中垂线上，则，根据斜率关系即可求出参数值．【详解】（1）设圆C的方程为 圆心C在射线上，所以圆C与y轴相切，则点到直线的距离 ，由于截直线所得弦长为，所以则得，又 所以(舍去)， 故圆C的方程为；（2）假设m存在，由（1）得，因为，所以在线段的中垂线上，则，因为，所以 解得；当时，直线方程为即，圆心到该直线的距离，该直线与圆相离，不合题意；所以不存在实数m满足题干要求.【点睛】圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则 ；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：．22．如图，三棱柱所有的棱长为2，，M是棱BC的中点.（Ⅰ）求证：平面ABC;（Ⅱ）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC 所成角的正弦值为? 若存在，求出CP的值; 若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，.【分析】（1）由题意，证明与，根据线面垂直的判定定理即可证明平面；（2）建立恰当的空间直角坐标系，令，求出所需点的坐标，向量的坐标，法向量的坐标，根据向量法求解线面角即可.【详解】解：（1）证明：，，是中点，，又，，，平面，（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知平面A1BC的法向量为，，，，，，令，则，设直线BP与平面A1BC 所成角为，则,解得或（舍），所以当时，满足题意，此时.