2022-2023学年河南省鹤壁市高中高二上学期11月居家测试（一）数学试题（解析版）

 2022-2023学年河南省鹤壁市高中高二上学期11月居家测试（一）数学试题

一、单选题

1．已知，则与同方向的单位向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得，由向量共线、单位向量的定义，即可得答案.

【详解】由题设，，

所以A、B、C、D中向量均与同向，而只有C中的模长为1，即为单位向量.

故选：C

2．直线为常数）的倾斜角的取值范围是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】D

【分析】由题意利用直线斜率和倾斜角的定义，二次函数的最小值，求得，可得倾斜角的范围.

【详解】直线为常数）的斜率为，

故直线的倾斜角满足．又，，

，，或，，

故选：D．

3．数列满足，，则等于（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据递推关系得出数列前几项，归纳可知数列具有周期性，利用周期求解即可.

【详解】因为，，

所以，，，，，…，

所以数列是周期数列，周期为3，所以，

所以.

故选：A.

4．数列的前项和，若，则（    ）

A．6 B．8 C．9 D．10

【答案】D

【分析】当时，可得，当时，，验证时是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果．

【详解】当时，，

当时，，

当时，上式也适合，

数列的通项公式为：

∴

故选：D．

【点睛】本题考查等差数列的前项和公式和通项公式的关系，属中档题．

5．已知数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知条件推导出恒成立，由此能求出实数的取值范围．

【详解】解：数列的通项公式为，数列是递增数列，

恒成立

的最小值是

即实数的取值范围是．

故选：．

【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用，属于中档题．

6．在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知可得是首项为，公差为的等差数列，从而先利用等差数列的通项公式求出，进而可求出

【详解】解：因为，

所以，

所以是首项为，公差为的等差数列，

所以，

所以.

故选：A.

【点睛】此题考查等差数列的判定和基本量的计算，属于基础题.

7．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ）．

A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定

【答案】B

【分析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.

【详解】点在圆外，，

圆心到直线距离，

直线与圆相交.

故选B.

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设抛物线上一点为，，利用点到直线的距离公式可得，由此能求出抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标．

【详解】解：设抛物线上一点为，，

点，到直线的距离，

当时，即当时，抛物线上一点到直线的距离最短．

故选：．

9．双曲线的虚轴长为4，离心率，分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且│AB│是的等差中项，则│AB│等于（    ）

A．8 B．4 C．2 D．8

【答案】A

【分析】由虚轴长求出b=2,再根据离心率求出a,进而结合题意及双曲线的定义求得答案.

【详解】由题意，，由.由双曲线的定义可知：，两式相加得：.

因为│AB│是的等差中项，所以，于是.

故选：A.

10．设数列都是等差数列，，则（    ）

A．4034 B．4036 C．4038 D．4040

【答案】B

【分析】令，则也是等差数列，然后根据条件求出其通项即可.

【详解】令，∵数列为等差数列，

∴也是等差数列，不妨设其公差为．∵,

∴，解得．∴．∴．

故选：B

11．数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}中的最大项是

A．3 B．19

C．  D．

【答案】C

【解析】把数列看作函数，利用基本不等式求最值，注意n只能取正整数．

【详解】令f(x)＝x＋ (x＞0)，运用基本不等式得f(x)≥2，当且仅当x＝3时，等号成立．因为an＝，所以，由于n∈N*，故当n＝9或n＝10时，an＝最大．

故选：C.

【点睛】本题考查求数列的最大项或最小项问题．数列看作特殊的函数，可以利用函数性质求最值，只是在解题时要注意自变量取值范围是正整数．

12．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，且，则外接圆的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题先求出，再求出，接着求外接圆的半径，最后求外接圆的面积即可.

【详解】因为，，成等差数列，所以，则，

由正弦定理可知，，

解得：.

所以外接圆的半径为，

从而外接圆的面积为.

故选：A.

【点睛】本题考查等差数列、正弦定理、三角恒等变换，考查运算求解能力，是基础题.

13．已知数列中，，当最大时，（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】根据条件建立不等式组求解即可.

【详解】由题易知，且，即 ，解得 ，  ；

故选：B.

14．设数列的前n项和为，且为常数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件可得，然后可得，然后用累乘法求出答案即可.

【详解】因为数列是常数列，所以，

因为，所以，即，

所以当时，

时也满足上式，所以.

故选：B

15．已知数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.

【详解】.

当时，；

当时，由，

可得，

两式相减，可得，故，

因为也适合上式，所以.

依题意，，

故.

故选：C.

【点睛】本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.

16．设M是椭圆C：的上顶点，P是C上的一个动点，当P运动到下顶点时，取得最大值，则C的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，由，求出消元可得，，再根据以及二次函数的性质可知，，即可解出．

【详解】设，，因为，，

所以，，由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即．

故选：C．

17．过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：AB只与双曲线右支相交和AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．

【详解】由题意过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|＝4b，双曲线的实轴长为，

要使这样的直线有两条，第一种情况是：当直线与左右两支相交于两点时，只需，且4b则，即，

第二种情况是：直线若和左支相交，必有两条直线符合，只需＜|AB|＝4b，且，则，则.

综合可得：或1

故选：D

二、填空题

18．数列满足，则的最大值为_____.

【答案】26

【分析】由题可知当时，为递增数列，可求出其最大值，当时，为递减数列，也可求出其最大值，从而可求出的最大值

【详解】当且时，由通项公式可知，数列递增，此时最大值为；

当且时，由通项公式可知，数列递减，最大值为.

综上可知，当时，最大值为26.

故答案为：26

【点睛】此题考查由数列的通项公式求数列的最大项，考查数列的单调性，属于基础题.

19．若数列满足，则_____．

【答案】

【分析】利用累乘法可求出答案.

【详解】由题意，数列满足，

可得．

故答案为：.

20．已知数列中，，，若对任意的，使得恒成立，则实数的取值范围为______.

【答案】或

【分析】根据数列的递推公式求得，结合数列的单调性，求得数列的最大值，求解一元二次不等式，则问题得解.

【详解】因为，

故可得；；；，

；

则，又因为，故可得，

该数列显然是单调增数列，则当.

故恒成立等价于，

即，

则或.

故答案为：或.

【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，涉及裂项求和，以及一元二次不等式的求解，属综合中档题.

21．已知抛物线上A、B两点满足，过坐标原点O向直线AB引垂线，垂足为P，则（为抛物线的焦点）面积的最大值为__________.

【答案】4

【分析】设出点A，B坐标，根据给定条件探求出点P的轨迹即可计算作答.

【详解】依题意，设，由得：，解得，

设直线上任意点，则，而，

于是得：，又，化简整理得：，

因此，直线方程为：，该直线恒过定点，又于点P，

则点P的轨迹是以为直径的圆(除原点O外)，从而得点P到x轴距离最大值为圆的半径4，又焦点，

所以面积的最大值为.

故答案为：4

三、解答题

22．已知等差数列的前项和为.

(1)求的通项公式；

(2)若令，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可.

（2）利用裂项法求解即可.

【详解】（1）由即，解得，

则的通项公式；

（2）（2），

则.

23．已知数列的前n项和为，且().

（1）求的最小值；

（2）求数列的前20项和.

【答案】（1）.（2）

【解析】(1)根据二次函数的最值问题求解即可.

(2)利用前n项和与通项的关系求解得，进而分析可得数列前9项为负，第10项为0，第11到20项为正，进而去绝对值求和即可.

【详解】（1），

又，所以当或时，取得最小值，且最小值为.

（2）当时，，

所以.

当时，满足上式，

所以.

由，解得，于是数列前9项为负，第10项为0，第11到20项为正.

所以数列的前20项和为.

【点睛】本题主要考查了先负再正的等差数列的前n项和的最小值问题与前n项和，需要根据前n项和与通项的关系求解得，再分正负去绝对值求和.属于中档题.

24．在四棱锥中，已知侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点M，N分别在线段和上，且．

(1)求证：平面；

(2)设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，交于点，根据平行线分线段成比例可证得，由线面平行的判定可证得结论；

（2）取中点，作，利用线面垂直的判定可证得平面，平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角平面角的定义可知二面角的平面角为，由此可得的线段长度，得到所需点的坐标，利用线面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1）连接，交于点，连接；

，，，，

又，，，

又平面，平面，平面.

（2）取中点，连接；作，垂足为；

为正三角形，；

，，四边形为平行四边形，，

又，，又，平面，

平面；

平面，，

又，，平面，平面；

作，交于点，则，

以为坐标原点，正方向为轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，

，，即为二面角的平面角，

又，，，；

则，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

设直线和平面所成角为，，故直线和平面所成角的正弦值为

25．已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）项和转换可得，继而得到，可得解；

（2）代入可得，由数列为递增数列可得，，令，可证明为递增数列，即，即得解

【详解】（1）∵，

∴，

∴，

即，∴，

∴，

∴．

（2）．

=2·-λ（2n+1）．

∵数列为递增数列，

∴，即．

令，

即．

∴为递增数列，∴，

即的取值范围为．

【点睛】本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

26．已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到椭圆的下顶点为和椭圆过点求解；

（2）设点坐标为，当直线斜率存在时，设其方程为，与联立，由，结合韦达定理求解；当直线斜率不存在时验证即可.

【详解】（1）解：由题意，椭圆的下顶点为，故.

由对称性，椭圆过点，代入椭圆方程有，

解得：.

故椭圆的标准方程为：.

（2）设点坐标为.

当直线斜率存在时，设其方程为，与联立得：

.

设，则.

，

，

，

为定值，即与无关，则，此时.

经检验，当直线斜率不存在时也满足，故点坐标为.