2022-2023学年河南省豫南名校高二上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省豫南名校高二上学期期中联考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省豫南名校高二上学期期中联考数学试题 一、单选题1．已知点，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由点的坐标，即可得出向量坐标【详解】由点，，则故选：C2．两平行直线与之间的距离为（    ）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】由两平行直线间的距离公式可得答案.【详解】两平行直线与之间的距离．故选：B3．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正切值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设平面与平面夹角为，由平面的夹角的向量求解公式得出余弦值，求出其正弦值，从而可得出答案.【详解】设平面与平面夹角为，则，则所以．故选：D4．已知直线始终平分圆的周长，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圆心坐标，根据题意直线过圆心从而得出答案.【详解】由题意得圆M的标准方程为，则圆心M的坐标为．因为直线l始终平分圆M的周长，所以直线l过圆M的圆心，所以，即．故选：A5．如图，在四棱锥中，E，F分别是BC，OA的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空间向量的加法运算即可得出答案.【详解】．故选：A6．已知点M，N分别为圆与上一点，则的最小值为（    ）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】由题可得两圆的圆心及半径，然后根据圆的性质即得.【详解】由题可知圆A的圆心坐标为，半径为1，圆B的圆心坐标为，半径为，因为两圆的圆心距，所以两圆外离，所以．故选：B.7．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则k＝（    ）A． B． C．7 D．9【答案】C【分析】根据倾斜角的正切值等于斜率计算出 ，再根据正切的倍角、和角公式计算即可.【详解】依题意可得，则，故．故选:C8．如图，在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，E，F分别是AB，BC的中点，则直线AF与平面PEF所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系利用向量法来求直线与平面所成角的正弦值.【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，所以.故选：A 二、多选题9．在空间直角坐标系中，已知点，则（    ）A．在轴上的投影向量的坐标为B．在轴上的投影向量的坐标为C．在轴上的投影向量的坐标为D．点在坐标平面内的射影的坐标为【答案】ABD【分析】分别求出在轴、轴、轴、平面内的投影向量，即可判断.【详解】在轴上的投影向量的坐标为，在轴上的投影向量的坐标为，在轴上的投影向量的坐标为，点在坐标平面内的射影的坐标为．故选：ABD10．如图，设直线l，m，n的斜率分别为，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据直线的倾斜方向先判断出直线的倾斜角是锐角或钝角，再根据直线的倾斜程度判断其绝对值的大小，得出答案.【详解】由图可知直线l，m，n的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角，所以又直线m最陡峭，则， 所以，，．故选项BCD正确.故选：BCD11．在三棱锥中，平面平面BCD，，，为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为，则AF的值可能为（    ）A． B．1 C． D．【答案】AC【分析】过作与平行的直线为轴，取BD的中点O，根据条件可得平面BCD，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】由为等边三角形，取BD的中点O，连接,则又平面平面BCD，且平面平面所以平面BCD，由过作与平行的直线为轴，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，，所以．设，则，，则，解得或，故或．故选：AC12．已知点，，若圆上存在唯一的一点P，使得，则u的值可能为（    ）A． B． C．1 D．7【答案】ACD【分析】由题意P在以N为圆心，为半径的圆上，根据题意该圆与圆C只有一个公共点，由两圆的位置关系可得答案.【详解】因为AB的中点为定点，，且，所以P在以N为圆心，为半径的圆N上，依题意可得圆N与圆C只有一个公共点，则两圆外切或内切，则或，解得，，1，7．故答案为：ACD 三、填空题13．若向量，，且，则______．【答案】7【分析】根据空间向量的数量积运算，代值计算即可.【详解】依题意可得，则．故答案为：.14．在空间直角坐标系中，，，，若四边形为平行四边形，则__________．【答案】6【分析】由四边形为平行四边形，可得，再根据向量的坐标运算求解即可.【详解】解：,，因为四边形为平行四边形，所以，所以，，所以.则．故答案为：6.【点睛】本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题．15．若函数的图象是半径为的圆的一部分，则a的一个值可以是______．【答案】4（答案不唯一）【分析】将函数的解析式化为圆的标准方程形式，得出圆的半径的表达式，根据半径的范围从而可得出答案.【详解】由，得，即，依题意可得，解得．故答案为：4（答案不唯一，只要a的值满足即可）16．已知光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，再被轴反射，这时反射光线恰好经过点，则所在直线的方程为_________.【答案】【分析】由题意可知直线一定过关于x轴的对称点，且一定过关于y轴的对称点，从而可求出直线的方程，即可得到点坐标，进而得到直线的方程.【详解】如图，由题设点B在原点O的右侧，直线一定过关于x轴的对称点，且一定过关于y轴的对称点，所以的方程为，即，令，则，所以为，所以的方程为，即，故答案为：  四、解答题17．如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为4的菱形，，，E，F分别是BC，的中点．以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求出，，E，F四点的坐标；(2)求的值．【答案】(1)，，，(2) 【分析】（1）根据题意，结合中点坐标公式可得出点的坐标，（2）由（1）中点的坐标得出向量坐标，利用向量夹角公式可得出答案.【详解】（1）由题意为轴，因为底面ABCD是边长为4的菱形，，所以y轴经过线段CD的中点．又，E，F分别是BC，的中点，所以，，，．（2）由（1）可得，，，则18．（1）已知直线，求直线l的倾斜角的取值范围；（2）若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，且直线l经过点，求直线l的方程．（将方程化为一般式方程）【答案】（1） ；（2） 或．【分析】（1）由题意可得，求出其范围，从而可得出答案（2）分直线过原点和不过原点两种情况分别求解即可.【详解】解：（1）直线的斜率为，因为，所以的取值范围为．（2）当直线l经过原点时，可设直线l的方程为，则，解得，则直线l的方程为，即．当直线l不经过原点时，可设直线l的方程为，因为直线l经过，所以，解得，则直线l的方程为．所以直线l的方程 或19．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，设，，.(1)若底面，试用，，表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程）(2)若是的中点，且，求线段的长.【答案】(1)(答案不唯一)；(2). 【分析】（1）根据单位正交基底的概念即得；（2）由题可得，然后利用向量的数量积的定义及运算律可得模长，进而即得.【详解】（1）因为底面，四边形是正方形，，，所以空间的一个单位正交基底为；（2）因为，由题意知，，，，，所以，即，所以.20．已知圆．(1)若圆C被直线截得的弦长为8，求圆C的直径；(2)已知圆C过定点P，且直线与圆C交于A，B两点，若，求a的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据弦长为8，利用弦心距、半径、半弦长之间的关系列出方程求解即可；（2）求出动圆所过定点，再联立直线与圆的方程，求出交点坐标，由数量积的坐标运算列出不等式即可求解.【详解】（1）依题意可知圆的圆心为，到直线的距离，因为圆被直线截得的弦长为8，所以，解得，故圆的直径为.（2）圆的一般方程为，令，，解得，所以定点的坐标为.联立解得或所以，因为，所以.又方程表示一个圆，所以，所以的取值范围是.21．已知半径为的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆C相切．(1)求圆C的标准方程．(2)若圆C的一条弦经过点，求这条弦的最短长度．(3)已知，P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在； 【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径,从而可得出答案.（2）先判断点在圆内，由圆的集合性质可得直线CM与这条弦垂直时，这条弦的长度最短从而可得出答案.（3）设，,分别表示出，由为定值得出答案.【详解】（1）由题意设圆心坐标为，则圆C的方程为．因为直线与圆C相切，所以点到直线的距离，因为，所以，故圆C的标准方程为．（2）因为，所以当直线CM与这条弦垂直时，这条弦的长度最短，故所求最短弦长为．（3）假设存在定点B，设，，则，则．当，即（舍去）时，为定值，且定值为，故存在定点B，且B的坐标为．22．如图，点在内，是三棱锥的高，且．是边长为的正三角形，．(1)求点到平面的距离；(2)点是棱上的一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）取的中点，连接，，过点作，交于，进而证明点在上，平面，即可得两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；（2）结合（1）求平面的法向量为，设，，进而求平面的法向量，再根据向量方法求解即可.【详解】（1）：取的中点，连接，．因为是三棱锥的高，即平面，因为平面所以．因为，的中点为，所以，因为平面所以平面，因为平面，所以．又因为是边长为的正三角形，的中点为所以，，即点在上．所以，，，，．过点作，交于，则两两垂直，所以，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，所以，，，．设平面的法向量为，则，即，取，则．所以，点到平面的距离为．（2）解：结合（1）得，，，，所以，，．设平面的法向量为，则，即，取，则．所以，，设，．所以，．设平面的法向量为，则，即 取，则．所以，，当且仅当时，等号成立．所以，平面与平面夹角余弦值的最大值为．