2022-2023学年湖北省鄂西北六校（宜城一中、枣阳一中等）高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省鄂西北六校（宜城一中、枣阳一中等）高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】B

【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.

【详解】由于直线的倾斜角为，

则该直线的斜率为，

又因为，，

所以，解得.

故选：B.

2．某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二650人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（    ）

A．500 B．550 C．600 D．660

【答案】A

【分析】根据分层抽样各层抽样比相等，列出等量关系，求解即可.

【详解】根据题意可得：，解得，

故选：A.

3．若直线与直线平行，则m＝（    ）

A． B． C．或 D．不存在

【答案】B

【分析】根据直线平行，即可求解.

【详解】因为直线与直线平行，

所以，解得：或，

当时，两直线重合，不符合题意；当时，符合题意.

故选：B.

4．一个人连续射击目标3次，则下列选项中与“至少有一次击中”的对立事件是（    ）

A．3次均击中 B．恰有一次击中 C．恰有2次击中 D．3次均未击中

【答案】D

【分析】根据对立事件的定义即可求解.

【详解】“至少有一次击中”的对立事件为：“没有一次击中”，即“3次均未击中”,

故选：D

5．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ）

A．A与B不互斥 B．A与D互斥且不对立

C．C与D互斥 D．A与C相互独立

【答案】D

【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据与的关系判断事件是否独立.

【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误；

由，A、D互斥且对立，B错误；

又，，则，C与D不互斥，C错误；

由，，，

所以，即A与C相互独立，D正确.

故选：D

6．在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出将军出发点关于河岸所在直线的对称点，再连接交河岸所在直线于点，则由对称性可知为最短距离，求解即可．

【详解】解：如图，

设关于河岸线所在直线的对称点为，

根据题意，设军营所在区域为以圆心为，半径的圆上和圆内所有点，为最短距离，先求出的坐标，

的中点为，，直线的斜率为1，

则，解得，，，又，

所以，

故选：C．

7．在四棱锥中，平面ABCD，PA＝3，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，且，，直线PM与平面ABCD所成的角为，记点M的轨迹长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合线面角以及圆的知识求得正确答案.

【详解】由于平面，所以平面，所以，

则，即是直线与平面所成角，

，

所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在矩形内的部分，

设圆与分别交于两点，

，所以，

所以点的轨迹长为.

故选：A

二、多选题

8．定义空间两个非零向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ）

A． B．

C．若，则 D．若且，则

【答案】BD

【分析】理解新定义，对选项逐一判断即可．

【详解】对于A，若为负数，可知,故，故A错误，

对于B，由于,所以

,,故B正确，

对于C，若，则共线，故C错误，

对于D，由定义知，故D正确．

故选：BD．

9．已知与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（    ）

A． B． C．2 D．3．

【答案】AD

【分析】根据题意可知，两圆外离，即圆心距大于两圆半径之和，解不等式即可得解．

【详解】圆心，半径，圆心，半径．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距，所以，解得或．

故选：AD．

10．下面四个结论正确的是（    ）

A．甲、乙两人下棋，两人下成和棋概率为，甲获胜概率是，则甲不输的概率为；

B．若空间O，A，B，C四个点不共面，且，则A，B，C，D四点共面；

C．已知向量，，若，则为钝角；

D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0．

【答案】ABC

【分析】A选项，甲不输的概率为甲赢的概率以及甲和棋的概率之和，计算概率即可；B选项，空间向量基本定理即可判断；C选项，计算以及不反向共线，得出的范围即可判断；D选项，注意截距为0的情况.

【详解】解：A选项：甲不输的概率为甲赢的概率以及甲和棋的概率之和，即，故A正确；

B选项：因为四点不共面，且系数和为1，所以四点共面，B正确；

C选项：若夹角为钝角，则且不反向共线，当反向共线时， ，，无解，当时，，解得：，所以当时，夹角为钝角，C选项正确；

D选项：经过点在轴上和在上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；

故选：ABC

11．设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ）

A．直线过定点 B．使是整数的直线有条

C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为

【答案】ABD

【分析】对A：将原方程转化为，从而即可求解；对B：当取得最小值时，，利用弦长公式求出，又，即可求出的取值范围，从而判断B；对C：当最小，即取得最小值时，，从而即可求解；对D：由，从而即可求解.

【详解】解：由题意，圆的圆心坐标为，半径，

对A：直线，即，

由，解得，可得直线过定点，故选项A正确；

对B：当取得最小值时，，因为，

所以，

又的最大值为直径，即，所以，

则的弦有条，的弦有条，的弦有条，故使是整数的直线有条，故选项B错正确

对C：当最小，此时，所以，故选项C错误；

对D：，

所以当取得最大值，即为直径时，，

此时，故选项D正确.

故选：ABD.

12．在棱长为2的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，，则（    ）

A．当时，三棱锥的体积为定值

B．当时，四棱锥的外接球的表面积是

C．若直线CP与平面ABCD所成角的正弦值为，则

D．存在唯一的实数对，使得平面EFP

【答案】ABC

【分析】根据线面平行的判定，棱锥外接球求解方法，以及线面角的求解方法和线面垂直的判定，对每个选项进行逐一判断，即可选择.

【详解】对A：当时，为的中点，连接，其必过点，连接，如下所示：

在△中，因为分别为的中点，故可得//，又面面，

故//面，故动点到平面的距离恒为定值，又△面积为定值，故三棱锥的体积为定值，正确；

对：当时，点为的中点，连接，过点作，如下所示：

易知，，故四棱锥外接球的球心在的延长线上，设其为，外接球半径为，

则，即，解得，故棱锥外接球表面积为，B正确；

对C：过作平行于交于点，连接，如下所示：

因为//，故面，故即为与平面的夹角，

因为，故可得，

在△中由余弦定理可得：，

在直角三角形中，由勾股定理可得：，

故，解得，故正确；

对：连接交于点，连接，如下所示：

因为面面，故，又，

又面，故面；

又平面与平面是同一个平面，且过点作平面的垂线只有一条，

故只有当点重合时，才有面，而显然不可能与点重合，故错误；

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是灵活应用线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理.

三、填空题

13．若点到直线的距离等于3，则a的值为______．

【答案】或7

【分析】结合已知条件，利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】因为，点到直线3x－4y＝2的距离等于3，

所以，解得或，

故答案为：或7.

14．已知甲运动员的投篮命中率为，乙运动员的投篮命中率为，若甲、乙各投篮一次，则至多有一人命中的概率是______．

【答案】##

【分析】由独立事件概率乘法公式可求得两人都命中的概率，根据对立事件概率公式求得结果.

【详解】甲、乙两人都命中的概率为，至多有一人命中的概率为.

故答案为：.

15．已知，，则在方向的投影向量的坐标为______．

【答案】

【分析】结合已知条件，求出在方向的投影，然后利用共线向量以及向量的数乘运算即可求解.

【详解】因为，，

所以在方向的投影为，且，

由于在方向的投影向量与是共线向量，

故在方向的投影向量的坐标为.

故答案为：.

16．在三棱锥中，底面，，，为的中点，若三棱锥的顶点均在球的球面上，是球上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的体积为___________.

【答案】##

【分析】根据给定条件，探讨三棱锥外接球球心O的位置，再借助锥体体积计算作答.

【详解】正中，为的中点，则，而平面，平面，即，

而，平面，则平面，平面，有，又，

因此，与的斜边中点到点A，B，M，P的距离相等，即三棱锥外接球球心为中点，

从而，点O是三棱锥外接球球心，设球的半径为，有，

的外接圆圆心为的中点，设为，连接，则平面，如图，

则有，即到平面的距离为，

因此到平面距离的最大值为，

又，即有，解得，，，

所以球的体积为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.

四、解答题

17．如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，且，求：

(1)的长；

(2)直线与AC所成角的余弦值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据向量对应线段的位置关系可得，结合已知条件及向量数量积的运算律，即可求模长；

（2）由、，应用向量数量积的运算律求模长、，最后根据向量夹角公式求直线所成角的余弦值.

【详解】（1）∵为平行六面体，

∴，

∴，

又ABCD是边长为2的正方形，，，

∴，

∴，

∴.

（2）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

故直线与AC所成角的余弦值为．

18．已知圆C经过（2，6），（5，3），（2，0）三点．

(1)求圆C的方程；

(2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 设圆C的方程的一般式，代入三点求系数得圆的方程.

(2) 设，表示出点的坐标，将的坐标代入圆的方程即得到点M的轨迹方程.

【详解】（1）设圆C的方程为

则有，解之得，

则圆C的方程为．

（2）设，，

则有，，．

由，可得，解之得

由点A在圆C上，得

即，

故点M的轨迹方程为

19．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害．现从一批该鱼中随机选出35条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：ppm），数据统计如下：

0.07  0.16  0.24  0.30  0.39  0.54  0.61  0.66  0.73  0.82  0.82  0.82

0.87  0.87  0.91  0.93  0.95  0.98  0.98  1.02  1.02  1.08  1.14  1.18

1.20  1.20  1.26  1.29  1.31  1.37  1.40  1.44  1.58  1.62  1.68

(1)求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；

(2)有A，B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔连通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼．将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率．

【答案】(1)中位数为0.98，数据的众数为0.82，数据的极差为1.61；80百分位数1.30

(2)

【分析】（1）根据题中表格数据即可估计这批鱼该项数据的中位数、众数、极差和分位数．

（2）两条鱼有可能均在水池也可能都在水池，概率互斥事件的概率结合相互独立事件的概率计算能求出这两条鱼最终在同一水池的概率．

【详解】（1）解：由题意知，数据的中位数为0.98，数据的众数为0.82，数据的极差为1.68－0.07＝1.61

∵35×80%＝28，估计这批鱼该项数据的80百分位数约为

（2）解：记“两鱼最终均在A水池”为事件A，则

记“两鱼最终均在B水池”为事件B，则

∵事件A与事件B互斥，∴两条鱼最终在同一水池的概率为

20．已知直线

(1)若直线的倾斜角，求实数m的取值范围；

(2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最小值及此时直线l的方程．

【答案】(1)

(2)最小值为2，直线l方程为：．

【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的范围可得的不等式，解不等式可得；

（2）由题意可得点和点，可得，由基本不等式求最值可得．

【详解】（1）解：由题意可知当时，倾斜角为，符合题意

当时，直线l的斜率

∵倾斜角，∴．

故m的范围：．

（2）解：在直线l中：令x＝0时，即，令y＝0时x＝m，即

由题意可知：得

即

当且仅当时取等号，

故最小值为2，此时直线l方程为：．

21．四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面平面ABCD，四棱锥的体积为12，的面积为，平面平面BCE，且．

(1)求C到平面的距离；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）过C作，交于H点，利用面面垂直的性质可得C到平面的距离为，再利用棱锥体积和等面积可得答案；

（2）由（1）可知，EC，CD，BC两两垂直以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的法面量、平面ABE的法面量，再由二面角的向量求法可得答案.

【详解】（1）过C作，交于H点，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，∴C到平面的距离为，

即，而，，平面，

∴平面，

又∵矩形，∴平面，平面，所以，

又∵平面平面，

∴平面，

即，可得，

由，可得，

而，∴，，，

即由等面积法，故C到平面的距离为；

（2）由（1）可知，EC，CD，BC两两垂直以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，建系如图，

则，，，，

设平面ACE的法面量，

由可得，

可取，，∴，

设平面的法面量，

由可得，

取，，∴，

由，

由图可得二面角的平面角为锐角，

故所求二面角的余弦值为.

22．已知圆和点．

(1)过M作圆O的切线，求切线的方程；

(2)过M作直线l交圆O于点C，D两个不同的点，且CD不过圆心，再过点C，D分别作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程；

(3)已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由．

【答案】(1)x＝1和

(2)证明见解析，

(3)存在，或

【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况求切线方程即可；

（2）设，，，根据，得到，再结合，得到，同理得到，即可得到直线的方程为，再根据M在CD上，即可得到点的轨迹方程；

（3）设，根据得到，再设，，即可得到，再根据存在，使为定值，列方程求解即可.

【详解】（1）当斜率不存在时，显然x＝1与圆相切；

当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1，

∴，解得，则，整理得

综上，切线方程为x＝1和.

（2）设，，，，，

∴由，则，即，又，

故，同理，∴直线CD为，又M在CD上，

∴，故E恒在直线上．

（3）由题设，若则，整理可得，

若存在，使为定值，而，．

∴，整理得，

∴，

整理得，

要使为定值，则,解得或.

综上，存在或，使为定值．

【点睛】关键点点睛：（1）过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况；

（2）求动点轨迹时，主要是要利用题目中的条件取列等式，然后利用等式去导出动点横纵坐标的关系；

（3）存在，使为定值，关键在于对任意点都要满足，也就是等式的成立跟，的值无关，将等式整理成关于，的等式，让，的系数等于零，同时保证等式成立，解方程，有解则存在，无解则不存在.