2022-2023学年湖北省十堰市普通高中联合体高二上学期11月期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省十堰市普通高中联合体高二上学期11月期中联考数学试题

一、单选题

1．同时掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】根据基本事件概念即可求解.

【详解】因为事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）}，

共包含6个样本点.

故选：D.

2．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　)

A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合

【答案】D

【分析】由倾斜角可得直线l1的斜率，由斜率公式可得直线l2的斜率，可判断平行或重合关系.

【详解】直线l1的倾斜角为135°，其斜率，

直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，其斜率，

显然满足，

l1与l2平行或重合.

故选D.

【点睛】本题考查两条直线的位置关系的判断，注意斜率公式的合理应用.

3．已知、、，若，则的坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设点的坐标为，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可得出点的坐标.

【详解】设点坐标为，则，

又，，

所以，，，，则点的坐标为.

故选：A.

4．已知直线l经过点，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由斜率公式数形结合可得.

【详解】如图，可知当直线位于阴影部分所示的区域内时，满足题意，又，所以直线l的斜率满足．

故选：D.

5．某年级有12个班,现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动,有人提议:抛两枚骰子,得到的点数之和是几就选几班,这种选法（    ）

A．公平,每个班被选到的概率都为 B．公平,每个班被选到的概率都为

C．不公平,6班被选到的概率最大 D．不公平,7班被选到的概率最大

【答案】D

【解析】根据古典概型的方法分别计算每个班被选到的概率再分析即可.

【详解】由题意将两枚骰子的点数之和列出下图：由图得,7班被选到的概率最大,为,6班与8班被选到的概率都为,5班与9班被选到的概率都为,4班与10班被选到的概率都为,3班与11班被选到的概率都为,2班与12班被选到的概率都为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了古典概型的一般做法,需要枚举所有情况进行分析,属于基础题型.

6．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是（    ）

A．5 B．1

C．3－5 D．3＋5

【答案】C

【分析】化圆的方程为标准方程，确定两圆的位置关系，可得|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去半径的和．

【详解】圆化为标准方程为，

圆心为C1(4,2)，半径为3；

圆化为标准方程为,

圆心为C2(−2,−1)，半径为2，

∴两圆的圆心距为，

∴两圆外离，

∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去半径的和，即35.

故选：C.

7．当为任意实数，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】将直线方程变为，然后求出点坐标，然后可得答案.

【详解】直线方程变为．

由得∴，

∴所求圆的方程为．

故选：C

8．已知A，B是两个相互独立事件，，分别表示它们发生的概率，则是下列哪个事件的概率（    ）

A．事件A，B同时发生 B．事件A，B至少有一个发生

C．事件A，B至多有一个发生 D．事件A，B都不发生

【答案】C

【分析】根据独立事件的概念可得，进而得出结果.

【详解】因为是两个相互独立事件，

所以，

又表示两件事同时发生，

所以表示事件A、B至多有一个发生.

故选：C

二、多选题

9．关于随机数的说法不正确的是（    ）

A．随机数就是随便取的一些数字

B．随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数

C．用计算器或计算机产生的随机数为伪随机数

D．不能用伪随机数估计概率

【答案】ABD

【分析】根据随机数的定义判断即可.

【详解】随机数是用来模拟试验结果的数字，是在等可能的条件下产生的，不是随便取的，可用计算机或计算器依照一定的算法产生，由此产生的随机数具有周期性，称为伪随机数，但周期较长，可用来近似地估计概率，故A，B，D错误.

故选：ABD.

10．给出下列命题,其中正确的有（    ）

A．已知向量,则

B．若向量共线,则向量所在直线平行或重合

C．已知向量,则向量与任何向量都不构成空间的一个基底

D．为空间四点,若构成空间的一个基底,则共面

【答案】AB

【分析】根据,可得,将展开,把代入即可判断选项A 的正误;

根据向量共线的定义可判断选项B 的正误;

根据空间向量基本定理可知,只要不共面即可组成一组基底,由此可判断选项C 的正误;

根据空间向量基本定理可知,不共面,即四点不共面,即可判断选项D 的正误.

【详解】对于选项A,若,则,

故

,

故选项A正确;

对于选项B,

根据向量共线的定义可得其成立,

故选项B正确;

对于选项C,当时,

若与不共面,

根据空间向量基本定理可知,可构成空间的一个基底,

故选项C不正确;

对于选项D,若构成空间的一个基底,

则不共面,

故A,B,M,N不共面,

故选项D不正确.

故选:AB

11．直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是

A． B． C．1 D．

【答案】ACD

【解析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解

【详解】

当直线过点B时，设直线的倾斜角为，则

当直线过点A时，设直线的倾斜角为，则

故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：或

故选：ACD

【点睛】本题考查了过定点的直线与线段相交的直线的取值范围问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于中档题

12．圆始终平分圆的周长，则（    ）

A．

B．的圆心到直线的距离

C．

D．直线被圆所截得的弦长为

【答案】AD

【分析】先根据两圆的方程，求出公共弦所在直线方程，然后根据题意得到

在公共弦上求出m=1，再根据直线被圆所截得的弦长公式即可求解.

【详解】将两个圆的方程相减，可得相交直线方程为（2+2m）x+4y+9-m2=0.

又圆C1平分圆C2，则点在相交直线上，代入直线方程，

可得m2+2m-3=0，解得m=1或m=-3（舍去），选项A正确，选项C错误；

因为圆C1的方程为（x-1）2+（y-1）2=10，

则圆心C1到直线3x+4y+3=0的距离，

所以所截得弦长l=2=2，选项B错误，选项D正确.

故选：.

三、填空题

13．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：2个；3个；x个；5个；4个；2个；根据样本的频率分布估计，数据落在内的概率约为__________.

【答案】##

【分析】根据频率、频数的关系，结合概率的定义进行求解即可.

【详解】由题意，，

样本中数据落在[10，50）内的频率=

所以估计总体中数据落在[10，50）内的概率约为，

故答案为：

14．已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________.

【答案】矩形

【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.

【详解】解：，且不在直线上，.

又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.

平行四边形为矩形.

故答案为：矩形.

15．点在圆上，且点关于直线对称，则该圆的半径是__________.

【答案】

【分析】根据圆的对称性，结合配方法进行求解即可.

【详解】由，该圆的圆心坐为，

因为点在圆上，且点关于直线对称，

所以圆心在上，即，

所以该圆的半径为，

故答案为：

16．若，两点的坐标是，，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据空间中的点到点的距离公式表示出，然后利用三角函数求解的取值范围.

【详解】，

因为，所以，所以.

【点睛】本题考查利用空间中的点到点的距离公式求线段长度的取值范围，难度一般.处理线段长度类型的问题，首先要利用坐标将线段长度表示出来，然后再考虑求解长度或者范围.

四、解答题

17．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).

(1)求点D的坐标；

(2)试判定▱ABCD是否为菱形？

【答案】(1)D(－1,6)

(2)为菱形

【分析】（1）设点D坐标为(a，b)，根据四边形ABCD为平行四边形，由kAB＝kCD，kAD＝kBC求解；

（2）根据kAC·kBD＝－1判断.

【详解】（1）解：设点D坐标为(a，b)，

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，

所以

解得

所以D(－1,6).

（2）因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，

所以kAC·kBD＝－1，

所以AC⊥BD，

所以▱ABCD为菱形.

18．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C．

(1)求，，；

(2)求抽取1张奖券中奖的概率；

(3)求抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．

【答案】(1)，，

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解；

（2）根据互斥事件的概率加法公式，得到，即可求解；

（3）根据对立事件的概率计算方法，得到，即可求解．

【详解】（1）解：由题意，每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，

故，，．

（2）解：设“抽取1张奖券中奖”为事件D，

则．

（3）解：设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，

则．

19．光线从点射出，到直线上的B点后被直线反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点，求所在直线的方程.

【答案】

【分析】画出图形，分析可得所在直线经过点B与点C即可求出.

【详解】解析作出草图，如图所示，设A关于直线的对称点为，D关于y轴的对称点为，

则易得.由反射角等于入射角可得所在直线经过点B与点C.

故所在直线的方程为，即.

20．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.

（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.

【答案】（I）6人，9人，10人；

（II）（i）见解析；（ii）.

【分析】（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；

（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；

（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.

【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，

由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，

因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.

（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

,,,,共15种；

（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，

所以，事件M发生的概率.

【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

21．圆和.

(1)取何值时与内切？

(2)求时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

【答案】(1)

(2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为

【分析】（1）先利用圆的一般式分别求出两个圆的圆心和半径，然后利用内切求出的值即可；（2）两圆的方程相减可得到公共弦方程，然后利用垂径定理，求出弦长即可.

【详解】（1）因为两圆的标准方程为：，

所以圆心分别为，半径分别为和

当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离 ，

故有，解得.

（2）由题可得两圆的公共弦所在直线方程为

整理得，

所以公共弦长为

22．在如图所示的多面体中，四边形是矩形，梯形为直角梯形，平面平面，且，，.

（1）求证：平面.

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明，进而由线面垂直的判定定理证明平面.

（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角的大小.

【详解】（1）证明：∵平面平面ABEG，且，

∴平面，

∴，

由题意可得，

∴，

∵，且，

∴平面.

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，.

设平面的法向量是，

则，

令，，

由（1）可知平面的法向量是，

∴，

由图可知，二面角为钝二面角，所以二面角的大小为.

【点睛】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.