2022-2023学年湖北省仙桃市田家炳实验高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省仙桃市田家炳实验高级中学高二上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知、，则直线的倾斜角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，进而可求得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，所以，，故.
故选：C.
2．同时掷两个均匀骰子，向上的点数之和是7的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出同时掷两个均匀骰子出现的所有基本事件数，及点数和为7的所有基本事件数，然后可计算概率．
【详解】同时掷两个均匀骰子，基本事件有种，其中点数和为7的有16,25,34,43,52,61共6种，所以概率为．
故选：C．
【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数．可用列举法．
3．已知，，如果与为共线向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据空间共线向量的性质进行求解即可.
【详解】因为与为共线向量，
所以，
故选：D
4．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】列举出所有可能的结果，利用古典概型计算概率即可.
【详解】根据题意，闭合两个开关所有的可能为，
其中能形成闭合电路的为，
所以同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：B．
5．已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量数量积列出方程，求出x＝1，利用向量夹角公式计算出答案.
【详解】∵
∴x＝1，
∴，
∴，
又∵，
∴向量与的夹角为
故选：D.
6．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
【答案】D
【分析】根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可
【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为
故选：D
7．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将直线的一般式化成点斜式即可求解.
【详解】直线可以为，表示过点，斜率为的直线，
所以所有直线都通过定点为.
故选：A.
8．如图，棱长为3的正方体中，为正方体表面上的一个动点，分别为的三等分点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用对称关系转化为两点之间线段最短即可.
【详解】
过点作关于对称的点，连接交平面于点,
所以,
因为棱长为3，
所以,
因为,且在直角三角形中，,
所以,
在中，由余弦定理，
所以的最小值为.
故选:A.
二、多选题
9．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．个球都是红球的概率为B．个球中恰有个红球的概率为
C．至少有个红球的概率为D．个球不都是红球的概率为
【答案】BCD
【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求出各选项中事件的概率，由此可得出正确的选项.
【详解】对于A选项，个球都是红球的概率为，A选项错误；
对于B选项，个球中恰有个红球的概率为，B选项正确；
对于C选项，至少有个红球的概率为，C选项正确；
对于D选项，个球不都是红球的概率为，D选项正确.
故选：BCD.
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据空间向量加减法的坐标运算、空间向量的数量积的坐标表示、空间向量的模长公式计算可得结果.
【详解】因为，，
所以，故A正确；
，故B不正确；
，故C正确；
，故D不正确.
故选：AC
11．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为
D．过，两点的所有直线的方程为
【答案】AB
【分析】求出直线恒过的定点判断A；求出直线在y轴上的截距判断B；求出直线的斜率进而得倾斜角判断C；利用两点式方程表示的直线情况判断D作答.
【详解】对于A，直线中，当时，恒成立，即直线必过定点，A正确；
对于B，直线中，当时，，即直线在轴上的截距为，B正确；
对于C，直线的斜率为，倾斜角为钝角，C不正确；
对于D，当时，过，两点的直线方程为，式子无意义，D不正确.
故选：AB
12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是（ ）
A．直线BD与A1D 所成的角为45°
B．异面直线BD与AD1所成的角为60°
C．二面角A-B1C-C1的正弦值为
D．二面角A-B1C-C1的正弦值为
【答案】BD
【分析】先利用几何法找出题目中异面直线所成的角和二面角的平面角，再借助几何知识求出角度及正弦值，验证选项.
【详解】正方体中，为等边三角形，直线BD与A1D 所成的角为60°，选项A错误；
，异面直线BD与AD1所成的角等于BD与BC1所成的角，为等边三角形， ∴异面直线BD与AD1所成的角为60°，选项B正确；
BC1与CB1相交于点O，连接AO、AC1，如图所示：
正方体中，，O为B1C的中点，∴，，二面角A-B1C-C1的平面角为，
不妨设正方体棱长为2，，，，
由余弦定理，，
∴，则二面角A-B1C-C1的正弦值为，选项C错误，选项D正确.
故选：BD
三、填空题
13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为__________.
【答案】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得结果.
【详解】甲、乙两球都没落入盒子的概率为，
由对立事件的概率公式可知，甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为.
故答案为：.
14．设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为________．
【答案】
【分析】由线面平行可得，由向量垂直的坐标表示可构造方程求得的值.
【详解】直线平面，，即，解得：.
故答案为：.
15．直线，为直线l上动点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据点到直线的距离即可求解.
【详解】可看成是直线上一点到点的距离的平方，当时，距离最小.故点到直线的距离为，所以的最小值为
故答案为：
16．如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是___________.
【答案】
【分析】根据题意得，两边平方，利用向量的数量积运算，即可得到答案；
【详解】设锐二面角的平面角为，
，则
，则
.
故答案为：
四、解答题
17．求直线L的方程：
(1)求过点且与直线平行的直线的一般式方程；
(2)求过点且与直线垂直的直线的一般式方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据两直线平行斜率相等即可求解；(2) 根据两直线垂直斜率之积等于即可求解；
【详解】（1）因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率也为，
由点斜式得整理得,
所以直线L的方程：.
（2）因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，
由点斜式得整理得,
所以直线L的方程：.
18．如图，正四面体（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体中各棱的中点，设，，.
(1)用，，表示，并求的长；
(2)求与的夹角.
【答案】(1)；；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量基底表示，再利用向量数量积的运算律求出的长作答.
（2）用空间向量基底表示，再求出与的数量积即可作答.
【详解】（1）因分别为棱的中点，而，，，
所以，
因正四面体的棱长为1，则，
所以.
（2）依题意，，
因正四面体的棱长为1，有，
因此，
所以，即与的夹角为.
19．某班名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
(1)求这次数学考试学生成绩的众数和平均数；
(2)从成绩在的学生中任选人，求此人的成绩都在中的概率.
【答案】(1)众数为；平均数为
(2)
【分析】（1）由频率和为可求得；根据频率分布直方图估计众数和平均数的方法直接计算可得结果；
（2）根据频率可求得成绩在和的人数，列举出所有基本事件，并找出满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.
【详解】（1），；
由频率分布直方图可知：这次数学考试学生成绩的众数为；
平均数为.
（2）由（1）得：成绩在的人数为，记为；成绩在的人数为，记为；
从上述人中，任选人，则有，，，，，，，，，，共种情况；
其中人的成绩都在中的情况有：，，，共种；
人的成绩都在中的概率.
20．如图，在直棱柱的底面中，，，棱，以为原点，分别以，，所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系
(1)求平面的一个法向量；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意求得，设为平面的法向量，由可求得结果；
（2）由题知，再结合（1），根据点面距的向量公式求解即可.
【详解】（1）解：由题意可知，则.
设为平面的法向量，
所以，，令，则,
所以平面的法向量为.
（2）解：由（1）知，，平面的法向量为
所以，，
所以，点到平面的距离为
21．过点作直线交轴、轴的正半轴于两点，为坐标原点．
（1）当的面积为时，求直线的方程；
（2）当的面积最小时，求直线的方程．
【答案】（1）或（2）
【分析】（1）根据条件写出直线方程：，再由直线方程求得直线与轴的截距，利用直角三角形的面积公式利用已知得求得第一问，（2）建立关于面积的目标函数，求目标函数的最小值4，取等号的条件是，故此时直线方程为
【详解】（1）设直线方程为，分别令得，，故三角形的面积为，解得或，故所求直线为或；
（2）由（1）知，
因为,,故,当且仅当时等号成立，此时，的方程为．
22．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）证明出，.利用向量法求解；（3）利用向量法求解.
【详解】（1）连接FG.
在△中，F、G分别为的中点，所以.
又因为平面, 平面，所以平面.
（2）因为平面,平面，所以.
又，所以.
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
则,.,.
设平面SCD的一个法向量为.
则，即，
令,得.
所以平面SCD的一个法向量为.
又平面ESD的一个法向量为.
所以
所以平面SCD与平面ESD夹角的余弦值为.
（3）假设存在点H,设,则.
由（2）知,平面的一个法向量为.则，
即,所以.
故存在满足题意的点H,此时.