2022-2023学年湖北省重点中学4G 联合体高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省重点中学4G 联合体高二上学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由斜率公式可求得直线斜率，由斜率和倾斜角关系可得直线倾斜角.
【详解】，直线的倾斜角为.
故选：C.
2．如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】-＝，
.
故选：A．
3．在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中.假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲､乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过听到第一声，又过听到第二声，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，可能的传播路径为、、，比较对应的传播路径长度，即可区分第一声、第二声的路径，即可由路程和时间列方程，求解出，即
【详解】如图，甲在，乙在，直接传播路径有，即，
由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，声音经过A点反射，传播路程为，即
因为，所以，故第一声为，第二声为，
因为声音速度恒定，故，故，
故选：A
4．已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助于空间向量解决空间中距离问题
【详解】空间内三点，，，，
因为，，
由，所以，
所以点A到直线的距离.
故选：A.
5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】A
【分析】由圆的方程得出圆心坐标，根据圆的对称性可知直线通过圆心，得出，再由直线与直线相互垂直，得出，代入求解即可.
【详解】，方程一定表示圆；
则圆心坐标为，根据圆的对称性可知，直线通过圆心，
则，
M、N两点关于直线对称
直线与直线相互垂直，，
所以，
故选：A.
6．有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由古典概型的概率公式结合排列组合与对立事件的概率公式求解即可
【详解】由题意得，由于每一个人自第二层开始在每一层电梯是等可能的，
故两人离开电梯的所有可能情况有种，
而两人在同一层电梯的可能情况有，
所以两人在同一层离开电梯的概率为，
所以两人在不同层离开电梯的概率为，
故选：B.
7．如图，某圆锥的轴截面，其中，点B是底面圆周上的一点，且，点M是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用圆锥曲线的性质，以点O为坐标原点，OC为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求两异面直线的夹角．
【详解】由圆锥的性质可知平面，故可以点O为坐标原点，平面内过点O且垂直于的直线为x轴，分别为y、z轴建立空间直角坐标系，
设，则，
易知，
∵，∴，∴，
∴，，
∴，
因此，异面直线与所成角的余弦值为．
8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）
A．1B．C．1或D．1或
【答案】A
【分析】利用米勒问题的结论，将问题转化为点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点，求出切点的横坐标即可.
【详解】由题意知，点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点，
线段的中点坐标为，线段的垂直平分线方程为，
所以以线段为弦的圆的圆心在线段的垂直平分线上，
所以可设圆心坐标为，
又因为圆与轴相切，所以圆的半径，又因为，
所以，解得或，
即切点分别为和，由于圆上以线段（定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，，且过点的圆的半径比过的圆的半径大，所以，故点为所求，所以当取最大值时，点的横坐标是1.
故选：A.
二、多选题
9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．事件与互斥D．事件与相互独立
【答案】ABD
【分析】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误.
【详解】对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中满足事件的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件和事件同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况，
，，A正确，B正确；
事件与事件可以同时发生，事件与事件不互斥，C错误；
事件的发生不影响事件的发生，事件与事件相互独立，D正确.
故选：ABD.
10．在曲线中，（ ）
A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆
B．当时，则曲线C为椭圆
C．曲线C关于直线对称
D．当时，则曲线C的焦距为
【答案】ABD
【分析】将曲线C化为，再根据此方程表示椭圆得出的关系即可判断AB，求出椭圆的焦距即可判断D，根据椭圆的对称性即可判断C.
【详解】解：将曲线化为，
对于A，当时，则，
所以曲线C表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；
对于B，当时，曲线C为椭圆，故B正确；
对于C，当时，曲线C为椭圆，
椭圆的对称轴为坐标轴，不关于直线对称，故C错误；
对于D，当时，则曲线C为椭圆，
则曲线C的焦距为，故D正确.
故选：ABD.
11．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆：与圆：恰有三条公切线
C．两圆与的公共弦所在的直线方程为
D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
【答案】AB
【分析】利用求定点的方法即可判断A选项；判断两个圆的位置关系即可判断B选项；两圆方程联立作差可判断C选项；利用切线长可判断D选项.
【详解】令，则，解得，
所以直线过定点，所以A正确；
圆的圆心为半径，
圆的圆心为半径，
圆心距,所以，
所以圆与圆外切，则有3条公切线，
所以B正确；
两圆方程联立 ，
作差整理得，所以C错误；
设圆心到直线的距离为，半径,
则，所以，
根据切线长，
当取最小值时，有最小值，
所以,
所以D错误.
故选:AB.
12．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，可能垂直
B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C．当时，的最小值为
D．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，]
【答案】ABD
【分析】依题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、D，连接，则即为与平面所成角，根据锐角三角函数得到的轨迹，即可判断B，将平面与平面沿展成平面图形，化曲为直，利用余弦定理计算即可判断C；
【详解】解：对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，
若平面，则，
即，则当时，，即P为中点时，
有平面，且，故A正确；
B选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，故B正确；
C选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，
利用余弦定理可知
所以，故C错误；
D选项：正方体经过点､P､C的截面为平行四边形，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，，
所以点P到直线的距离为
，
于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；
当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________.
【答案】
【分析】由椭圆的标准方程直接求解即可.
【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得.
故答案为：.
14．二面角为，A，B是棱l上的两点，，分别在半平面内，，，且，，则的长_______________.
【答案】4
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的性质及运算律计算作答.
【详解】依题意，，且有，而，
所以.
故答案为：4
15．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高，反之，降低，则甲以取得胜利的概率为______________.
【答案】0.174
【分析】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件、、、，则所求概率为：
，再根据概率计算公式计算即可.
【详解】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件、、、，
由题意，甲要以取胜的可能是，，，
所以
=.
故答案为：0.174.
【点睛】本题考查独立事件和互斥事件的概率计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
四、双空题
16．在矩形中，是平面内的一点，且，则______；是平面内的动点，且，若，则的最小值为______.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用平面向量的线性运算易得的坐标表示，进而可求；由条件得到，从而得到点的轨迹，再利用平面向量的线性运算将所求转化为点到与的距离之和，故而利用点到圆上的点的最小值即可求得的最小值.
【详解】依题意，构建以为原点，为轴的直角坐标系，
所以，则
又，故，
所以；
由知，
所以在以为直径的圆上，为圆心，不妨设，则，
因为，
所以，
故可转化为点到与的距离之和，
又，则在直线上，即对应线段，
所以要求，只需求的最小值即可，
而关于对称点为，
故，此时，即，
所以的最小值为.
故答案为：；.
.
五、解答题
17．直线经过两直线和的交点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若点到直线的距离为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求出两直线的交点坐标，再设直线的方程为，代入交点后可求的值，从而可得直线方程；
（2）就斜率是否存在分类讨论后可求直线方程.
【详解】（1）直线方程与方程联立得交点坐标为．
设直线的方程为，代入交点得，所以的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，得的方程为，符合条件．
当的斜率存在时，设直线的方程为即
根据，解得，
所以直线的方程为．
综上所述，的方程为或．
18．已知向量，，.
(1)当时，若向量与垂直，求实数x和k的值；
(2)当时，求证：向量与向量，共面.
【答案】(1)；；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据可求得，再根据垂直的数量积为0求解即可.
（2）设，根据条件可得，根据共面向量定理即得.
【详解】（1）因为,
所以，
解得，
因为，向量与垂直，
所以，
∴，
∴；
所以实数和的值分别为和；
（2）当时，，
设（），
则，
，解得，
即，
所以向量与向量，共面.
19．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
(1)求第二次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率；
(3)如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可；
（2）结合（1）求解即可；
（3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可.
【详解】（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能，即，
设事件“两次取出的都是红球”，则，
设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则，
设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则，
设事件“两次取出的都是绿球”，则，
因为事件两两互斥，
所以P（第二次取到红球）.
（2）由（1）得，P（两次取到的球颜色相同）；
（3）结合（1）中事件，可得，，
因为，
所以，即，解得（负值舍去），
故.
20．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求此圆的标准方程；
(2)设点是圆上的动点，求的最小值，以及取最小值时对应的点的坐标.
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）结合圆的弦长与圆心性质，设圆心为，中点为，利用求出，列出，联立和求出，进而得出半径，求出圆的方程；
（2）配方得，则问题转化为圆上点至距离的平方的最小值，由几何关系可求最小值；求出，联立直线和圆可求点的坐标.
【详解】（1）因为，，设圆心为，中点为，所以中点为，，则，，，
联立可得，即，，
故圆的方程为；
（2）设，，故所求问题转化为到点距离的平方的最小值，则，；
，，联立得，
即，易知，则，即.
21．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD， ，且E，F分别为PC，CD的中点．
(1)证明：DE平面PAB；
(2)若直线PF与平面PAB所成的角为 ，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面PCD和平面PAB的 法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】（1）证明：取PB中点M，连接AM，EM，
∵E为PC的中点，
∴ ，又∵ ，
∴MEAD，ME=AD，
∴四边形ADEM为平行四边形：
∴DEAM，
∵平面PAB，AM⊂平面PAB，
∴DE平面PAB；
（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，取AB中点G，连接FG，则平面PAB，
∴ ， ，
∴ ，又PA=PB=2，∴ ，AB＝2，
如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，
∴，C(1，4，0)，D(-1，2，0)，
∴, ，设平面PCD的一个法向量，
∴ ,取，则，
平面PAB的一个法向量可取，
设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为θ，
∴ ．
22．已知是椭圆的左､右顶点，且短轴长为是椭圆上位于轴上方的动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为和.求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得，然后设出点坐标，根据直线的斜率与直线的斜率之积列方程，求得，从而求得椭圆的方程.
（2）求得和的面积，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，，
设，则
，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2），
直线的方程为，令，得，故.
直线的方程为，令，得，故.
依题意可知，
所以，
所以，
由于，
根据二次函数的性质可知.
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.