2022-2023学年江苏省扬州市仪征中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市仪征中学高二上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将直线变为点斜式，求出定点坐标.
【详解】变形为，故恒过点.
故选：B
2．若平面内两条直线：，：平行，则实数（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据两条直线平行，斜率相等，列出方程即可求解.
【详解】由题可知两条直线的斜率显然存在，且在轴上的截距不相等，
，，
因为与平行，所以，解得或
故选：D
3．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.
【详解】由已知，圆，圆心坐标为，半径为，
所以点到直线的距离为，
所以，直线被圆截得的弦长为.
故选：A.
4．在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得的值.
【详解】由已知可得，，.
故选：C.
5．已知是椭圆的左右焦点，点是过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据得，在中，求出可得的关系，求出离心率可得答案.
【详解】不妨设在第二象限。
因为，即.
又，所以，即为等边三角形，
∴，，∴，∴.
故选：D.
6．已知点、，若、关于直线对称，则实数的值是（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】A
【分析】的中点在直线上，从而列出方程，求出实数的值.
【详解】由题意得；的中点在直线上，且直线与直线垂直，
即，解得：，
故选：A.
7．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及离心率为，即可求得的值，进而由焦点在轴上可得的标准方程.
【详解】由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，
即，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故选：C.
8．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值.
【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，
记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
故选：B.
二、多选题
9．已知点到直线的距离相等，则实数m的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】因为点到直线的距离相等，
所以有，
化简得：，解得，或，
故选：AC
10．已知三条直线不能构成三角形，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】ABC
【分析】由已知，设出直线，先求解出直线的交点坐标，然后再分；；经过点三种情况分别计算即可完成求解.
【详解】由已知，设，，，
由可知，直线相交于点，
直线恒过定点，
因为三条直线不能构成三角形，所以；；经过点；
①当时，，，所以，解得；
②当时，，，所以，解得；
③当经过点时，，
所以实数的取值集合为.
故选：ABC.
11．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的标准方程为
C．的渐近线方程为
D．直线经过的一个焦点
【答案】ABD
【分析】A选项，求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式求出，从而得到，可以计算出离心率，得到双曲线标准方程及渐近线方程，判断出ABC选项，
在直线上，D正确.
【详解】由题意得：双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，即，
则，解得：，
则，解得：，
所以的离心率为，A正确；
的标准方程为，B正确；
的渐近线方程为，C错误；
在直线上，故经过的一个焦点，D正确.
故选：ABD
12．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是3
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则，
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
【答案】BC
【分析】A选项，当时，求出两圆圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，有3条公共切线，A错误；
B选项，求出圆心到直线的距离为1，圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线，B正确；
C选项，设椭圆：，双曲线：，，
由椭圆定义和双曲线定义得到，，求出，，由勾股定理得到，求出；
D选项，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径，
求出圆心和半径，得到该圆的方程，求出切点弦方程，结合得到定点坐标.
【详解】圆变形为，故圆心为，半径为，
圆圆心为，半径为，
当时，故圆心距，
此时两圆外切，故两圆有3条公共切线，A错误；
圆的圆心到直线的距离为，
而圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B正确；
设椭圆：，双曲线：，，
因为，所以，，
解得：，，
由勾股定理：，即，
化简得：，
则椭圆的离心率，双曲线的离心率，
则，C正确；
设，则，由题意得：四点共圆，且为直径，
则此圆圆心为，半径为，
故圆的方程为，
与相减得：，
因为，所以过定点，
即直线经过定点，D错误.
故选：BC
【点睛】过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为：.
三、填空题
13．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为________．
【答案】
【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．
【详解】直线被圆截得的弦长为，
所以，圆心到直线的距离，
即，解得．
设直线的倾斜角为，则，则．
因此，直线的倾斜角为．
故答案为：．
14．在等差数列中，，则___________.
【答案】6
【分析】根据等差数列的性质可得，又，代入即可得解.
【详解】根据等差数列的性质可得：，
所以
又，
所以，
故答案为：
15．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭､中庭､下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼､第二眼､第三眼､第四眼､第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为，五眼中一眼的宽度为，若图中提供的直线近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为___________.
【答案】2.5cm##cm
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解
【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，
所以，
利用点斜式方程可得到直线：，整理为，
所以原点O到直线距离为，
故答案为：2.5cm.
16．已知，为实数，代数式的最小值是______.
【答案】
【分析】利用两点间的距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题求解，即可得到答案；
【详解】如图所示，
构造点，，，，
，
分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，，，，，
，
当且仅当，分别为与轴､轴的交点时，等号成立，
故答案为：.
四、解答题
17．设直线l的方程为（a∈R）.
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)若l不经过第三象限，求a的取值范围.
【答案】(1)0或3
(2)
【分析】（1）通过讨论是否为0，求出a的值即可；
（2）根据一次函数的性质判断a的范围即可.
【详解】（1）当直线l过原点时，该直线l在x轴和y轴上的截距为零，
∴a＝3，方程即为4x+y＝0；
若a≠3，则，即a+1＝1，
∴a＝0，方程即为，
∴a的值为0或3.
（2）若l不经过第三象限，
直线l的方程化为，
则，解得，
∴a的取值范围是.
18．已知数列的通项公式为.
（1）求这个数列的第10项；
（2）是不是该数列中的项？为什么？
（3）在区间内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由.
【答案】（1）；（2）不是，理由见解析；（3）有，只有一项.
【分析】先化简通项，（1）中令，计算即得解；（2）中令，结合即得解；（3）令，结合即得解
【详解】.
（1）令，得第10项.
（2）令，得.
此方程无正整数解，∴不是该数列中的项.
（3）令，则，
解得.又，∴.
∴区间内有数列中的项，且只有一项.
19．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的短轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在时，为定值
【分析】（1）求出，结合短轴长求出，从而求出，写出椭圆方程；
（2）先考虑直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，直线斜率不为0时，设出，与抛物线联立，根据焦点弦公式求出，再把直线与椭圆联立，由弦长公式得到，从而得到，列出方程，求出的值及定值.
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，故，
且，解得：，
从而，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，
故直线的斜率不为0，设方程为，
联立与，可得，
设，故，
则，
故，
联立与，可得：，
设，
则，
则，
所以，
令，解得：，
此时为定值.
【点睛】圆锥曲线定值问题，设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况，本题中由于直线l过点，故用含的式子来表达，计算上是更为简单，此时考虑的是直线斜率为0和不为0两种情况.
20．已知双曲线：与有相同的焦点，且经过点
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在以为中点作双曲线的一条弦，如果存在，求弦所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)存在，且弦所在直线的方程为
【分析】（1）先求解出椭圆的焦点坐标，则双曲线的焦点坐标可求，再结合点在双曲线上求解出双曲线的方程，并求解出渐近线方程；
（2）利用点差法求解出直线的斜率，再结合直线过点，则可求直线的方程.
【详解】（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为，
又因为在双曲线上，所以 ，所以，
所以双曲线的方程为：；
（2）假设存在，
设，所以，两式相减可得，
所以，又因为，
所以，所以弦所在直线的方程为：，即，
由得，所以，所求直线与双曲线有2个交点，
故存在，且弦所在直线的方程为.
21．已知抛物线的顶点为原点，焦点在轴的正半轴，到直线的距离为.点，不过点的直线l与抛物线交于两点，且.
(1)求抛物线方程及抛物线的准线方程
(2)求证：直线过定点，并求该定点坐标.
【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为
(2)证明过程见解析，定点坐标为
【分析】（1）设出抛物线方程为，，得到焦点坐标，根据点到直线距离列出方程，求出，得到抛物线方程和准线方程；
（2）考虑直线的斜率为0时不合要求，得到直线的斜率不为0，设直线：，且，联立直线与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用斜率列出方程，得到，即，结合得到，从而直线的方程为，求出定点坐标.
【详解】（1）设抛物线方程为，，则，
故到直线的距离为，
因为，解得：，
故抛物线方程为，准线方程为；
（2）当直线的斜率为0时，直线与抛物线方程无交点，舍去；
故直线的斜率不为0，设直线：，因为直线不过点，
故，
联立与联立，，
设，则，
则
，
整理得：，即，
因为，所以，
故，直线方程为，
变形为，过定点.
【点睛】圆锥曲线定点问题，设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况，本题中由于圆锥曲线方程为，故用含的式子来表达，计算上是更为简单，此时考虑的是直线斜率为0和不为0两种情况.
22．已知圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，且与轴正半轴交于，两点（A在左侧），（为坐标原点）.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点任作一条直线与圆相交于两点.
①证明：为定值；
②求的最小值.
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）由已知，根据题意设出圆心，先利用垂径定理表示出弦长，然后利用表示出，代入求解出，即可得到圆的方程；
（2）由已知，先计算出，两点坐标，设出坐标，然后利用两点间距离公式，借助等量关系进行化简即可得到定值；由可将转化为，然后利用三角形三边关系，即可求解出最小值.
【详解】（1）由已知，圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，所以设圆心，
因为圆与轴正半轴交于，两点（A在左侧），，
所以，所以,,
所以，解得，
所以圆的方程为：.
（2）①证明：由（1）可知，圆的方程为：，
当时，或，所以，，
设，则，
所以；
②由可知，，
所以，
当，，三点共线时等号成立，
所以的最小值为.