2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县高二上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县高二上学期期中数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直线方程得出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可得答案.【详解】由直线，可得，斜率为 直线的倾斜角为，则所以，则 故选：B2．若直线与直线平行，则的值为（    ）A． B．C．或 D．1或【答案】C【分析】若直线∥直线，则，代入数值计算即可.【详解】直线与直线平行，,或.故答案为：或3．若抛物线上的点到焦点的距离为8，则点到轴的距离是（    ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】由题可得抛物的准线方程为，由抛物线的定义可得点到准线的距离为8，设点到轴的距离为，则有，即可得答案.【详解】解：因为抛物线的方程为，所以，解得，所以准线方程为，又因为点到焦点的距离为8，所以点到准线的距离为8，设点到轴的距离为，则有，所以.故选：A.4．已知圆与圆相外切，则m的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由两圆外切,则两圆心间的距离等于两半径之和可得答案.【详解】由圆可得，则，所以，所以圆的圆心为 ，半径，圆的圆心为 ，半径，圆与圆相外切，则 解得.故选：A5．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的面积为，且椭圆的离心率为，则椭圆C的标准方程是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意列出方程组，求得 ,即得答案.【详解】因为椭圆C的方程为：（）,由题意可得 ，解得 ，故椭圆方程为：，故选：B.6．若双曲线C：（，）的一条渐近线被以焦点为圆心的圆所截得的弦长为，则a的值为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据已知求得圆的半径和，利用点到直线的距离，垂径定理，和椭圆中之间的关系，即可求得.【详解】由已知，所以圆心为，所以双曲线渐近线被截得弦长为所以圆心到渐进线的距离为，又因为，故 所以 故选：B7．过点的直线交椭圆：于两点，若，则直线的斜率为（  ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得，M是线段AB 的中点，圆锥曲线中的中点弦问题常用点差法.【详解】设，∵    ∴M是线段AB 的中点由中点坐标公式可得，      ①又在椭圆上，      两式作差得，将①式代入，可得：.所以，直线的斜率为.故选：B.8．直线与曲线的交点个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数.【详解】联立直线方程和曲线方程可得可得，即，解得或，故方程组的解为或.故选：C 二、多选题9．下列有关直线l：（）的说法中正确的是（    ）A．直线l的斜率为 B．在x轴上的截距为C．直线l过定点 D．直线l过定点【答案】BD【分析】A讨论、判断直线的斜率；B令求截距；由即可知定点判断C、D.【详解】A：当时，直线斜率为；当时，直线为，此时斜率不存在，错误；B：令，可得，故在x轴上的截距为，正确；由，即直线恒过，C错误，D正确.故选：BD10．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（    ）A．若C为椭圆，则，且 B．若C为双曲线，则或C．若，则曲线C表示圆 D．若C为双曲线，则焦距为定值【答案】ABC【分析】根据各项描述列不等式组求参数范围、由参数值判断曲线形状，即可得答案.【详解】A：C为椭圆，则，可得，且，正确；B：C为双曲线，则，可得或，正确；C：时，方程为，即曲线C表示圆，正确；D：若C为双曲线，则，显然焦距不为定值，错误.故选：ABC11．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据题意写出反射光线所在直线的方程，再根据直线与圆相切列式计算即可.【详解】射这条光线所在直线方程为，则会过点，反射光线斜率与原光线斜率互为相反数，所以反射光线所在直线方程为，圆的圆心为，半径为1，与反射光线相切，即，解得或当时，反射光线所在直线方程为；当时，反射光线所在直线方程为；故选:AD12．过抛物线C：的焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，则（    ）A．的最小值为4 B．以线段为直径的圆与y轴相切C． D．当时，直线的斜率为【答案】ACD【分析】设直线方程为并联立抛物线方程，应用韦达定理，结合抛物线的定义及性质判断各项的正误.【详解】由题设，由焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，设直线方程为，所以，则，而，所以，，故，，因为，故当时，A正确；以线段为直径的圆，圆心为，即，半径为，显然该圆与抛物线准线相切，与y轴相交，B错误；由，故C正确；由，即，故，所以，则，可得或，当时，显然不合题意；当时，如图知：，，所以直线的斜率为，根据对称性易知：也满足，D正确.故选：ACD 三、填空题13．已知直线：与：相交于点，则__________.【答案】【分析】将交点代入直线方程求参数a、b，即可得结果.【详解】由题设，可得，所以.故答案为：14．若直线与圆有公共点，则实数m的取值范围是__________.【答案】【分析】转化为圆心到直线的距离小于或等于半径，结合点到直线距离公式，求解即可.【详解】由题意，圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，若直线和圆有公共点，则，即，解得：.故答案为：.15．已知椭圆C：（）左、右焦点分别为、，过且倾斜角为60°的直线与过的直线交于A点，点A在椭圆上，且.则椭圆C的离心率__________.【答案】##【分析】由题设在Rt△中，，，结合椭圆定义得到齐次方程即可求离心率.【详解】由与过的直线交于椭圆上A点，且，，所以，而，故，，所以，故.故答案为：16．已知双曲线C：的左焦点为，右焦点为，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点.若，则的面积为___________.【答案】##1.25【分析】由已知条件求出右焦点的坐标，再由，可得点的横坐标为，再渐近线方程可求出点的纵坐标，从而可求出的面积.【详解】因为双曲线知：右焦点为，又，所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为，又双曲线的渐近线方程为，所以点的纵坐标为，即的高为，所以的面积为.故答案为： 四、解答题17．已知直线：，直线：.(1)若，求实数a的值；(2)直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为，求直线的斜率.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据直线垂直的判定列方程求参数；（2）由题意，分别求x、y轴上的截距，结合三角形面积求得，代入直线即可得斜率.【详解】（1）由知：，可得.（2）由直线与坐标轴正半轴围成三角形，故，令，可得；令，可得，所以，可得，故，故直线的斜率为.18．已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点.(1)求圆C的方程(2)若圆C与直线l：交于A，B两点，，求m的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）令圆心为，由题意得求得，且半径，即可写出圆的方程；（2）由题意知到直线l的距离为，利用点线距离公式列方程求参数m.【详解】（1）由题意，设圆心为，又与y轴相切于点，故，即，所以，且半径，故圆C的方程为.（2）由（1）及题意，如下图示：，，故到直线l的距离为，所以，可得.19．已知平面上两点，，的周长为18.(1)求动点P的轨迹方程；(2)当动点P满足时，求点P的纵坐标.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据周长可得动点满足的几何性质，根据椭圆的定义可得动点的轨迹方程.（2）设，根据可得关于的方程组，从而可求点P的纵坐标.【详解】（1）因为的周长为18，故，由椭圆的定义可得的轨迹为椭圆，其长轴长，故，而半焦距，故，故方程为：.（2）设，则，，因为，故，所以，而，解得，故点P的纵坐标为.20．抛物线C：，抛物线C的准线方程为，焦点为F.(1)求实数的值；(2)直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，求证：A，B两点的纵坐标乘积为定值【答案】(1);(2)证明见详解. 【分析】（1）利用抛物线的准线方程公式，即得解；（2）联立直线与抛物线，结合韦达定理，即可证明.【详解】（1）由题意，抛物线C的准线方程为，即，解得.（2）直线l与抛物线有两个交点，故斜率存在，焦点不妨设直线，抛物线方程：，不妨设，联立，可得，，由韦达定理，故，即A，B两点的纵坐标乘积为定值.21．双曲线C：的右焦点为，直线l过点且与双曲线C交于A，B两点，直线l的倾斜角为30°，O为坐标原点.(1)求；(2)求的面积.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据焦点坐标和斜率写出直线方程，联立直线与双曲线，结合弦长公式求解即可；（2）求解的面积，边的高即为原点到的距离，结合点到直线距离公式，以及求解即可.【详解】（1）由题意，双曲线C：，，故右焦点，直线l的倾斜角为30°，故斜率，直线l的方程为：，联立直线与双曲线：，可得，，不妨设，则，由弦长公式.（2）由题意，求解的面积，边的高即为原点到的距离，直线，故，.22．设椭圆C：（）过点，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若，求证：直线l过定点，并求出定点坐标【答案】(1)(2)证明见解析； 【分析】（1）利用待定系数法求得，从而求得椭圆C的方程；（2）分类讨论直线斜率存在与否的情况，利用韦达定理及向量数量积的坐标表示求得，从而得到直线过定点.【详解】（1）依题意得，，又，解得（负值舍去），所以椭圆方程为.（2）由（1）得，当直线的斜率不存在时，可设直线为，代入，得，所以，设直线交轴于点，则，因为，故，又，所以，则，即，解得或(舍去)，所以直线过定点；当直线的斜率存在时，可设直线，，联立，消去，得，则，，因为，则，即，又因为，所以，即，解得或，当时，直线过定点；当时，直线过定点（舍去）；所以直线直线过定点；综上：直线直线过定点.【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．