2022-2023学年江苏省南京市人民中学等校高二上学期8月阶段性学情联合调研数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市人民中学等校高二上学期8月阶段性学情联合调研数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市人民中学等校高二上学期8月阶段性学情联合调研数学试题 一、单选题1．复数，则z的模为（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】先对复数化简，然后再求复数的模【详解】因为，所以，故选：C2．已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可得.【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，所以，且，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B3．过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根据直线过原点和不过原点两种情况讨论，分别设出所求直线的方程，结合过点，即可求解.【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，因为直线过点，代入可得，即；当所求直线过原点时，设直线方程为，因为直线过点，代入可得，即，综上可得，所求直线的方程为或.故选：B.4．已知角满足，且，则（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦的二倍角公式对已知式子化简可求得答案【详解】由，得，，因为，所以，故选：A5．如图，某系统由A，B两个零件组成，零件A中含1个元件，零件B中含2个元件，每个零件中的元件只要有一个能正常工作，该零件就能正常工作；两个零件都正常工作，该系统才能正常工作，每个元件能正常工作的概率都是，且各元件是否正常工作相互独立，则该系统能正常工作的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出零件和能正常工作的概率即得解.【详解】解：由题得零件B不能正常工作的概率是，所以零件B能正常工作的概率是，零件A能正常工作的概率为 .所以该系统能正常工作的概率为．故选：B．6．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.【详解】三棱锥中，，，，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图， 设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，因此三棱锥外接球的直径为，所以三棱锥外接球的表面积为．故选：A7．直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意首先求得的长度，然后确定圆上的点到直线的距离，最后确定三角形面积的取值范围.【详解】解：因为，所以.圆的标准方程，圆心，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的取值范围为：，所以.故选:C.8．如图，为了测量山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.若已测得AB之间的距离为a，，，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，可以求出M，N间距离的组数为（    ）①和；②和；③和A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用已知条件结合正余弦定理，判断所选的条件是否可以求出即可【详解】由，，，在中，利用正弦定理可以求出的长，对于①和，在中，利用正弦定理可得，得，从而可求出，对于②和，先求得，所以，然后在中，利用正弦定理可得，得，从而可求出，对于③和，在中，由正弦定理得，可求得，再在中利用三角形的内角和定理可求出，从而可求得，再在中，利用余弦定理得，从而可求出，所以三组数据均能求出，故选：D 二、多选题9．已知复数满足均不为0，则下列命题正确的是（    ）A．若，则B．对任意给定的，均有C．若，则D．若，则【答案】BC【分析】复数的基本概念与运算性质进行判断即可.【详解】解:当时，可知对任意均成立，故A错误；设，则，故B正确；设，则，同理，且，所以，故C正确；取，则，所以，故错误.故选：BC.10．已知直线，则（    ）A．恒过点 B．若，则C．若，则 D．当时，不经过第三象限【答案】BD【分析】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点；对于选项B，通过斜率相等可以求解；对于选项C，通过斜率之积等于可以求解；对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解.【详解】直线，则，由，得，所以恒过定点，所以A错误；由可得：，所以，B正确；由可得：，，所以C错误；由，当时，，不过第三象限；当时，，不过第三象限，只需要，解得，所以的取值范围为，所以D正确；故选：BD.11．已知圆上两点A、B满足，点满足：，则下列结论中正确的是（    ）A．当时，B．当时，过M点的圆C的最短弦长是C．线段的中点纵坐标最小值是D．过M点作图C的切线且切点为A，B，则的取值范围是【答案】CD【分析】根据给定条件可得点在线段的垂直平分线上，对于A，利用弦长公式求得线段的长，由线段的垂直平分线平行于轴，即可判断出A；对于B，当 时，点在圆内，结合弦长和半径即可判断出结果；对于C，令线段的中点，根据勾股定理结合放缩法即可求得结果；对于D，利用切线长定理即可求得的取值范围，即可判断出D．【详解】解：圆的圆心，半径，令圆心到直线距离为，对于A，令直线，即，显然有，线段的垂直平分线平行于轴，此时点不存在，即不存在，A不正确；对于B，当 时，点在圆内，而圆的直径长为2，则过 点的圆的最短弦长小于2，而，B不正确；对于C，令线段的中点，则，则，即，解得，当且仅当时取等号，所以，C正确；对于D，依题意及切线长定理得：，解得或，所以的取值范围是，D正确．故选：CD．12．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（    ）A．底面边长为6米 B．侧棱与底面所成角的余弦值为C．侧面积为平方米 D．体积为立方米【答案】AD【分析】画出几何体的直观图，结合已知条件求得棱锥的底面边长，逐项求解，即可得到答案.【详解】对A，如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，所以，则，在直角中，可得，即，解得，所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确；对B，因为平面，所以为侧棱与底面所成的角，在直角中，可得，所以B错误；对C，正四棱锥的侧面积为平方米，所以C错误；对D，正四棱锥的体积为立方米，所以D正确.故选：AD. 三、填空题13．已知随机事件A，B，事件A和事件B是互斥事件，且，，则__________．【答案】【分析】利用互斥事件概率公式即可求得的值.【详解】事件A和事件B是互斥事件，且，，则故答案为：14．直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．【答案】【分析】设交点坐标分别为和，根据题意得到，求得的值，进而求得直线的方程.【详解】设直线与和，分别交于点和，因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得，所以和，则，可得直线的方程为，即.故答案为：.15．若，则＝________.【答案】【分析】由题知，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.【详解】解：因为，所以．故答案为： 四、双空题16．动点与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为，，，（逆时针方向），且点到，，的距离分别为，，．若，则点的轨迹是________；点到点的最大距离为________．【答案】     圆；     【分析】以B为原点，建立平面直角坐标系，根据，得出点P的轨迹是圆，结合图象可得P点到D点的最大距离.【详解】以B为原点，建立如图所示的坐标系，∵，，，，不妨设，则，，，又∵，∴，整理，可得，所以点的轨迹是圆，其方程为（注：坐标系建立的不同，圆的方程的形式不同）.结合图象可得，点到点的最大距离为，故答案为：圆；. 五、解答题17．已知向量，．(1)若与共线，求的值；(2)当时，求的值．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据向量共线的坐标公式求解即可；（2）根据垂直的坐标公式，结合向量的坐标运算求解即可【详解】（1）∵与共线，故，解得（2）∵，，∴，，∵，∴，即，解得或．18．已知角终边过点，，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据三角函数的定义，结合余弦二倍角公式进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】（1）根据三角函数的定义，因为角终边上有一点，所以，，即，所以；（2）由且，得，所以.由（1）知，所以.又因为，，所以，所以，且，因为.所以.19．如图，在三棱锥中，，均为等边三角形.(1)求证：；(2)若，.求三棱锥的体积.【答案】(1)详见解析(2) 【分析】（1）首先取的中点，要证明线线垂直，转化为先证明平面；（2）根据（1）的结论，转化为.【详解】（1）取的中点，连接，因为，均为等边三角形，所以，，且，所以平面，所以 （2）因为，所以，所以是等边三角形，由（1）可知平面，所以三棱锥的体积.所以三棱锥的体积.20．已知圆经过点，，.(1)求圆的方程；(2)求直线截圆所得两段弧长之比.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设圆的一般方程，把三个点代入即可解出答案.（2）圆心在直线上，即可得出答案.【详解】（1）设圆的一般方程为，把三个点代入得，得 所以圆的方程为  即.（2）由于圆心在直线上，故直线截圆所得两段弧长之比为.21．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率.【答案】(1)(2)74.4分钟(3) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求出；（2）根据频率可判断中位数位于区间，设为，列出方程即可求出；（3）求出5人中任取3人的所有情况，再求出满足条件的情况即可求出.【详解】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，解得.（2）因为，.则中位数位于区间内，设中位数为x，则，解得，所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.（3）由题意，阅读时间位于的人数为，阅读时间位于的人数为，阅读时间位于的人数为，所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为，则抽取的5人中位于区间有1人，设为a，位于区间有2人，设为，，位于区间有2人，设为，.则从5人中任取3人，样本空间.含有10个样本点.设事件A为“恰有2人每天阅读时间在”，，含有3个样本点.所以，所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为.22．已知直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为6．（Ⅰ）若直线l过点（3，1），求原点O关于直线l对称点的坐标；（Ⅱ）是否存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（I）（，）（Ⅱ）直线l的方程为4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0【分析】（I）设A（a，0），B（0，b），则ab=6，即ab=12，（a，b＞0）．直线l的方程为：，直线l过点（3，1），代入可得．与ab=12联立解得：a，b．即可得出直线l的方程．设原点O关于直线l对称点的坐标为（m，n），利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．（Ⅱ）假设存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，可得，与ab=12联立解得a，b即可得出．【详解】（I）设A（a，0），B（0，b），则ab=6，即ab=12，（a，b＞0）．直线l的方程为：=1，∵直线l过点（3，1），∴=1．与ab=12联立解得：a=6，b=2．∴直线l的方程为：=1．化为：x+3y-6=0．设原点O关于直线l对称点的坐标为（m，n），则×=-1，-6=0，化为：m+3n-12=0．联立解得m=，n=．∴原点O关于直线l对称点的坐标为（，）．（Ⅱ）假设存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，则=1，与ab=12联立解得：，或．可得：直线l的方程，4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0．【点睛】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．