2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期11月期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期11月期中数学试题

一、单选题

1．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数m等于（    ）

A．2 B．8 C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，，则，进而由椭圆的离心率公式，解得的值.

【详解】由题意，得，，则，

所以椭圆的离心率，解得m=8.

故选：B.

【点睛】本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的焦点位置，分析椭圆的方程的形式，属于基础题.

2．已知均为的子集，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.

【详解】解法一：,，据此可得.

故选：B.

解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，

矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，

矩形区域CDFG表示集合N，满足，

结合图形可得：.

故选：B.

3．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为（    ）

A．2 B．1 C．－2 D．－1

【答案】A

【分析】令，则，利用可得答案.

【详解】令，则，

，

，∴，

，∴，

故选：A．

4．若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为

A．或2 B．或 C．2 D．

【答案】D

【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-3）2=9，得到圆心坐标为（1，3），半径r=3，

若圆上恰有三点到直线的距离为2，则圆心到直线的距离为1，即，解得k=

故选D

5．已知抛物线的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且，则点P到准线l的距离为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义即可求解.

【详解】设，，∵，,

∴，∴，

∴P到l的距离，

故选：C．

6．某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛，高三（1）班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是（    ）

A．15 B．17 C．21 D．26

【答案】A

【解析】设只参加一项比赛的20名同学中，参加定点投篮比赛的有人，参加定点射门比赛的有人，根据容斥原理得出，，从而得出答案.

【详解】设只参加一项比赛的20名同学中，参加定点投篮比赛的有人，参加定点射门比赛的有人，则，且①

由题设条件知，两项比赛均参加的有人

故参加定点投篮比赛的一共有人，参加定点射门比赛的有人

不妨设参加定点投篮比赛的人数更多(包含参加两种比赛的人数相等的情况)，则②

由①②可得，故，又，所以

故

故参加定点投篮比赛的人数不可能为15人，即两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是15.

故选：A

7．已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据等差数列前n项和公式化简可得d>0，由此即可判断求解.

【详解】若，

则

，

，

，

，

则“”是“”的充要条件.

故选：C.

8．已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝(    )

A．－3 B．－2 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据g(x＋1)得到g(x)关于x＝1对称，得到，结合g(x)＝(x－1)和f(x)为偶函数即可得f(x)周期为4，故可求出f(2.5)＝2，则即可求值﹒

【详解】为偶函数，则关于对称，即，

即，即，

关于对称，又f(x)是定义域为R的偶函数，

∴，

∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，

周期为，

∴，

.

故选：D.

二、多选题

9．已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(    )

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．

【详解】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；

当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，

∵点到直线的距离相等，

，解得，或，

当时，直线的方程为，整理得，

当时，直线的方程为，整理得

综上，直线的方程可能为或

故选：BC．

10．下列命题表述正确的是（    ）

A．方程表示一个圆；

B．若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；

C．已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；

D．以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切．

【答案】BD

【分析】由配方法整理方程，结合圆的标准方程，判断A；根据椭圆的标准方程，判断B；根据双曲线的定义，判断C；根据抛物线的定义，结合圆与直线的位置关系，判断D.

【详解】对于A：方程可化为不表示圆，故A错；

对于B：方程可化为，所以表示焦点在y轴上的椭圆，故B对；

对于C：因为点、，所以，所以动点P的轨迹是一条射线，故C错；

对于D：如图：建立平面直角坐标系，设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A,B，线段AB的中点为M，直线为抛物线的准线，，，，由抛物线的定义可得，，所以，又，所以，故以AB为直径的圆的圆心到直线的距离等于该圆的半径，即以AB为直径的圆与准线相切，故D对；

故选：BD.

11．设函数，已知在有且仅有5个零点．下面论述正确的是（    ）．

A．在有且仅有3个极大值点 B．在有且仅有2个极小值点

C．在单调递增 D．的取值范围是

【答案】ACD

【分析】结合正弦函数的图像和性质可判断A，B选项，根据在有且仅有5个零点，可得，解出，可判断D，由，得，而要在单调递增，从而可得，进而可求出的范围，可判断C

【详解】解：当时，，

因为在有且仅有5个零点，

所以在上有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3 个，所以A正确，B错误；

因为，所以，所以D正确；

当时，，

若在单调递增，则，得，而，所以C正确，

故选：ACD

【点睛】此题考查了三角函数的图像与性质，考查计算能力，属于中档题

12．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题中正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则使的最大的n为15

C．若，，则中最大

D．若，则

【答案】BC

【分析】根据等差数列的基本量运算计算可判断A，再由求和公式，利用下标性质可判断CD，再由可判断D.

【详解】对于A,若，则，

那么.故A不正确；

对于B,中若，则，

又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，

因为，

所以使的最大的为15.故B正确；

对于C,中若，，

则，，则中最大.故C正确；

对于D，中若，则，而，不能判断正负情况.故D不正确.

故选：BC

三、填空题

13．已知直线与直线，在上任取一点A，在上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过C作的平行线，则与间的距离为______．

【答案】##

【分析】过A做于D，交于E，根据三角形相似及题干条件，可得，利用两平行线间距离公式，可得与间的距离AD，进而可求与间的距离AE.

【详解】过A做于D，交于E，如图所示：

因为，且由题意得，

所以，所以，

又直线与间的距离，

所以与间的距离，

故答案为：.

14．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 的通项公式：  __________．

（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据数列需要满足的条件，可写出答案.

【详解】由题意可得，满足（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减，

故答案为：

15．已知双曲线）的左､右焦点分别是是双曲线右支上的两点，.记的周长分别为，若，则双曲线的右顶点到直线的距离为___________.

【答案】

【分析】根据题意，结合双曲线的定义爹

【详解】解：根据双曲线的定义，.

所以，故双曲线右顶点，

因为，

所以在上，在上，即直线方程为：，

所以双曲线的右顶点到直线的距离为

故答案为：

16．是坐标原点，是双曲线右支上的一点，是的右焦点，延长分别交于两点，已知，且，则的离心率为______．

【答案】

【分析】作双曲线的左焦点为，由题意得四边形是矩形，设，根据双曲线定义，在直角中由勾股定理得，再在直角 中根据勾股定理即可解决.

【详解】设双曲线的左焦点为 ，由对称性知是的中点，则四边形是平行四边形，

因为，

所以四边形是矩形，

设，则，则，

所以在直角 中，，

所以 ，解得： 或（舍去），

所以 ,

因为在直角 中，

所以，得 ，

解得.

故答案为：

四、解答题

17．在平面凸四边形ABCD中，已知，求sinA及AD．

【答案】，

【分析】在中，由余弦定理求得BD,从而求得，可得，再解，求得，即可求得答案.

【详解】连接，在中，由余弦定理，得

，

且,

又有，故,

在中，由正弦定理，得,

因为，所以，所以,

因为，所以,

故

，

在中，由正弦定理，得．

18．已知数列{an}满足，且．

(1)请你在①，②中选择一个证明：

①若，则{bn}是等比数列；

②若，则{bn}是等差数列．

注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．

(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．

【答案】(1)详见解析；

(2)，.

【分析】（1）选择①，利用条件可得，即证；选择②，利用条件可得，即证；

（2）由题可得，利用累加法可求，再利用由分组求和法即求.

【详解】（1）选择①，由，可得，

∴，又，

∴数列{bn}是以2为首项，以为公比的等比数列；

选择②，∵，，

∴，又

∴数列{bn}是等差数列.

（2）由上可知，即，

∴

，

∴

.

19．已知点M（1，0），N（1，3），圆C：，直线l过点N．

(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；

(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．

【答案】(1)或

(2)证明见解析

【分析】（1）先判断直线l不存在斜率时符合题意；再设直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列式求解即可．

（2）设出直线l的方程，与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系及直线的斜率公式进行证明．

【详解】（1）解：若直线l的斜率不存在，

则l的方程为，

此时直线l与圆C相切，

故符合条件；

若直线l的斜率存在，

设斜率为k，其方程为，

即，

由直线l与圆C相切，圆心（0，0）到l的距离为1，

得，解得，

所以直线l的方程为，

即，

综上所述，直线l的方程为或；

（2）证明：由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，

此时设l的方程为，

联立，

得，

则 ，

解得，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，（1）

所以，

将（1）代入上式整理得，

故为定值．

20．已知等比数列的公比为q，前n项和为．

(1)若成等差数列，求证：成等差数列；

(2)若是和的等差中项，则成等差数列吗？

【答案】(1)证明见解析；

(2)当时，不是等差数列，当时，成等差数列.

【分析】(1)验证是否符合条件，当时，根据等比数列求和公式化简条件，再根据等差数列定义证明成等差数列；

(2)根据等差中项定义化简条件，再根据等差数列定义判断是否为等差数列.

【详解】（1）若，则，，，

因为，所以，所以不成等差数列，与已知矛盾；所以，

因为成等差数列，所以，

所以，

又，所以，所以，

所以，所以，所以，

所以，

所以成等差数列；

（2）因为是和的等差中项，所以，

所以，

又，，所以，所以或，

当时，，，，

因为，所以，

当时，，

所以，

所以，所以成等差数列，

综上所述，当时，不是等差数列，当时，成等差数列.

21．已知圆:，一动圆与直线相切且与圆外切．

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)若经过定点的直线与曲线交于两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，或

【分析】（1）设元，利用圆与圆的位置关系找等量关系，列方程，化简即可；

（2）设，：得，联立方程消去，由韦达定理，根据题意设，由得化简解决即可.

【详解】（1）设动圆圆心，由题可知动圆圆心不能在轴左侧，故，

因为动圆与直线相切且与圆：外切，

所以，

，

化简得，

所以动圆圆心的轨迹的方程为.

（2）设，

由题意，设直线的方程为，

联立，消去得

，

，①

，，②

因为是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，

假设存在，使得，

所以，③

因为在抛物线上，即

所以，④

，，，

所以

所以将①②③④代入化简可得，

所以，

所以存在直线：，使得，

所以存在直线的方程为或

22．已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上两点(异于顶点)，且的面积为，设射线，的斜率分别为，求的值；

（3）设直线与椭圆交于两点(直线不过顶点)，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.

（2）设出直线的方程，求得两点的横坐标，利用三角形的面积列方程，化简求得.

（3）将直线分成斜率存在和不存在两种情况，结合列方程，化简后判断出直线过定点.

【详解】（1）由题得，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设，

设直线，直线，

，所以，

同理得，

点到直线的距离，，

所以，

平方得，

所以.

（3）设，，

(i)直线的斜率存在时，设直线，

，得，

所以，

由题得，

所以，

化简得，

代入韦达定理得，

，

，

所以或，

当时，，定点为，为右顶点(舍).

当时，，定点为，满足题意.

(ii)直线的斜率不存在时，设直线，

，所以(不妨设在第一象限)，

又因为，

所以，

化简得，所以，

所以或(舍)，

所以，直线过点，

综上(i)(ii)所得直线过定点.

【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于难题.