2022-2023学年江苏省扬州中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省扬州中学高二上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.故选：C.2．以点，为直径端点的圆的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得圆心和半径，从而求得圆的方程.【详解】的中点坐标为，即圆心为，，所以圆的半径为，所以圆的方程为.故选：D3．已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（    ）A．－8 B．8 C．10 D．【答案】A【分析】先由双曲线的方程求出，然后利用双曲线的定义可求得答案.【详解】由，得，得，因为双曲线C的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，所以，故选：A4．“”是“直线和直线垂直”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.【详解】由直线和直线垂直，可得或.当时，直线和直线垂直；当直线和直线垂直时，不一定成立.所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，故选：A．5．若圆：过坐标原点，则实数的值为（    ）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1【答案】C【分析】根据圆的一般方程的定义，结合过原点列方程即可求解.【详解】∵表示圆，∴∴.又圆过原点，∴，∴或（舍去）； .故选:C.6．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（    ）A．6 B． C．8 D．【答案】B【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出【详解】解：由椭圆的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因为，，所以，所以，故选：B7．已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A8．椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，是点关于原点的对称点，若，，则椭圆的离心率为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】作另一焦点为，连接，，根据平面几何知识得出三角形为等腰直角三角形，设，根据椭圆的定义以及勾股定理，构造齐次方程，即可得出离心率.【详解】作另一焦点为，连接，，则四边形为平行四边形，且，则三角形为等腰直角三角形设，则，即在三角形中，由勾股定理得则，即故选：C【点睛】本题主要考查了构造齐次方程求椭圆的离心率，属于中档题. 二、多选题9．（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（    ）A．(3，2) B．(3，－2)C．(－3，2) D．(－3，－2)【答案】AB【分析】设点P的坐标为(x，y)，利用抛物线的定义可得x－(－2)＝5，求得x＝3代入抛物线方程中可求出y的值，从而可求出点P的坐标【详解】抛物线y2＝8x的准线方程为，设点P的坐标为(x，y)，∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.把x＝3代入方程y2＝8x得y2＝24，∴y＝±.∴点P的坐标为(3，±).故选：AB.10．设双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，且不与C的顶点重合，则下列命题中正确的是（    ）A．若，则C的两条渐近线的方程是B．若点P的坐标为，则C的离心率大于3C．若，则的面积等于D．若C为等轴双曲线，且，则【答案】BC【分析】本题根据双曲线的离心率和渐近线、三角形面积求法及余弦定理进行逐项分析即可求解.【详解】解：由题意得：A选项：当时，双曲线的渐近线的斜率，A错误；B选项：因为点在C上，则，得，所以，故B正确；C选项：，若，则，即，即，得，所以，C正确；D选项：若C为等轴双曲线，则，从而．若，则，．在中，由余弦定理，得，D错误故选：BC11．（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，当时，；当时，.故选：BD.【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.12．已知曲线C的方程为，圆，则（    ）A．C表示一条直线B．当时，C与圆M有3个公共点C．当时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是【答案】BC【分析】对于A，由，得，则表示两条直线；对于B，C，利用点到直线的距离公式进行判断；对于D，举反例判断即可【详解】由，得，即，则表示两条直线，其方程分别为与，所以A错误；因为到直线的距离，所以当时，直线与圆相切，易知直线与圆相交，与圆有3个公共点，所以B正确；当时，存在圆，使得圆内切于圆，且圆与这两条直线都相交，即与有4个公共点与圆的公共点的个数的最大值为4，所以C正确；当时，圆与直线、 交于一点，所以公共点的个数为3，所以D错误，故选：BC【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是对方程得，即，从而可得曲线表示的是直线与，从而进行分析即可，考查计算能力，属于中档题 三、填空题13．若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______.【答案】3【分析】根据抛物线定义，可得点P到抛物线准线的距离，进而即得.【详解】因为点P到焦点的距离为4，所以点P到抛物线准线的距离为4，所以点P到y轴的距离为3.故答案为：3.14．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．【答案】【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案.【详解】∵直线与平行，∴，解得，∴直线：，直线：，∴直线与之间的距离．故答案为：15．已知圆，直线，为直线上的动点，过做圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为________【答案】【分析】结合图形，根据直线与圆相切的性质，利用点到直线的距离、三角形的面积公式求解.【详解】由题知，⊙M：，圆心为，半径，圆心到直线上的点的最短距离为，所以切线长，故四边形的面积的最小值为.故答案为：.16．过双曲线：的左焦点的动直线与的左支交于A、B两点，设的右焦点为.若存在直线，使得，则的离心率的取值范围是______.【答案】【分析】由题可设为，，，联立l与双曲线的方程可得、；根据得，将、代入可得关于m的表达式，根据m范围和可求离心率范围﹒【详解】依题意知直线的斜率不为0，设的方程为，联立，消去，得，设，，则由知，，，由得，故，即，整理得，将、代入整理得，，则，∴，故，∴，两边除以，得，解得，又∵，∴，故，又A、B在左支且过，∴，即，故，∴，∴，即，则，故，即，综上：，即．【点睛】本题的关键在于根据直线l方程里面m的范围，得到关于a、b、c的不等式，从而求得离心率的范围． 四、解答题17．已知，当为何值时，(1)方程表示焦点在轴上的椭圆；(2)方程表示双曲线.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）结合椭圆几何性质即可；（2）结合双曲线几何性质即可.【详解】（1）由题知： ，解得：（2）由题知: ,解得：或18．求满足下列条件的直线方程.(1)过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)经过点，并且与圆相切的直线方程.【答案】(1)或(2)或 【分析】（1）由点以及截距式即可求得直线方程；（2）由直线与圆相切，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，由几何法即可得到直线方程.【详解】（1）i.当截距都为0时，设直线方程为，代入点得，故所求直线为，即.ii.当截距不为0时，设方程为，代入得，解得，故所求直线为；综上：直线方程为或.（2）圆方程配方为，圆心为，半径，代入，易得该点不在圆上，i.当切线斜率不存在时，即，与圆相切，符合题意；ii.当切线斜率存在时，设为，即，由相切得：，解得，故所求切线为，即.综上：切线方程为或.19．已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，点P在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知点，，设直线的斜率分别为，.证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）结合双曲线定义即可；（2）设点，结合两点斜率公式即可.【详解】（1）由题知：由双曲线的定义知：，又，， 双曲线的标准方程为.（2）设，则，，，20．已知圆：与圆：.(1)求证：圆与圆相交；(2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）求出圆心距与两圆半径的和、差比较可得；（2）由出两圆交点坐标，设出圆心坐标，由圆心到这两个交点距离相等求得参数值 ，得圆心坐标，再计算出半径后可得圆方程．【详解】（1）证明：圆：化为标准方程为，∴，，∵圆：的圆心坐标为，半径为，∴，∵.∴两圆相交；（2）由，解得或则交点为，，∵圆心在直线上，设圆心为，则，即，解得，故圆心，半径，∴所求圆的方程为.21．已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析．【分析】（1）设圆C的方程为，圆C与y轴相切，则，圆心C在射线上，所以，根据弦长公式得，解方程组即可得结果；（2）依题意得在线段的中垂线上，则，根据斜率关系即可求出参数值．【详解】（1）设圆C的方程为 圆心C在射线上，所以圆C与y轴相切，则点到直线的距离 ，由于截直线所得弦长为，所以则得，又 所以(舍去)， 故圆C的方程为；（2）假设m存在，由（1）得，因为，所以在线段的中垂线上，则，因为，所以 解得；当时，直线方程为即，圆心到该直线的距离，该直线与圆相离，不合题意；所以不存在实数m满足题干要求.【点睛】圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则 ；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：．22．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴的一个端点的坐标为.（1）求椭圆的方程.（2）点为椭圆的右焦点，过上一点的直线与直线交于点为，直线交于另一点，设与交于点.证明：①；②为线段的中点. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.【分析】（1）根据短轴的端点求得的值，然后利用离心率的定义和的平方关系即可求得椭圆的标准方程；（2）①求得P的坐标，结合A,B，利用向量的数量积为零证明AF⊥FP,即可证得；②写出直线AB的方程，与椭圆方程结合可得到，设中点为，利用中点公式求得R的坐标，利用向量的坐标证明即，共线，即的中点在直线上，从而点与重合，从而证得结论.【详解】(1)解：设椭圆的半焦距为，因为的短轴的一个端点的坐标为，所以，所以.①因为，所以.②由①②，得，所以，所以椭圆的方程为.(2)证明：①将代入，得，解得，所以.又，，所以，，，所以，故.②由直线过焦点，得直线的方程为，代入，并结合整理，得.设，则.设中点为，则，，即，所以，即，共线，即的中点在直线上，从而点与重合，故是线段的中点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和几何性质，考查直线与椭圆的交点的相关问题，其中利用向量方法计算求证是解题的关键方法.