2022-2023学年江苏省苏州市第十中学高二上学期10月阶段检测数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市第十中学高二上学期10月阶段检测数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市第十中学高二上学期10月阶段检测数学试题 一、单选题1．如果直线的斜率为2，，则直线的斜率为（    ）A． B．2 C． D．-2【答案】A【分析】直接由两直线垂直则斜率乘积等于,计算可得的斜率.【详解】由于直线的斜率为2且，所以直线的斜率为.故选：A2．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（    ）A．80 B．120 C．150 D．180【答案】C【分析】根据等比数列的片段和性质，即可容易求得结果.【详解】因为数列是等比数列，故可得依然成等比数列，因为，故可得，故该数列的首项为，公比为2，故可得.故选：.【点睛】本题考查等比数列的前项和，属基础题.3．记为等差数列的前项和，若数列的第六项与第八项之和为4，则等于A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根据题意得，结合等差数列的前n项和公式，即可求出的值．【详解】依题：，∴.【点睛】考查等差数列的求和与性质，处理多样，重在考查考生的基本量思想与整体思想，分析能力以及求解运算能力，属基础题．4．已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（    ）A． B．C．， D．【答案】A【分析】根据直线的斜率与倾斜角的变化关系求解即可.【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或，即，或，或，所以直线的斜率的取值范围是故选：A.5．已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.【详解】，，，，.，.故选：D.【点睛】本题考查利用等差数列的前项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（    ）A．89 B．55 C．34 D．144【答案】C【分析】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案.【详解】设第行实心圆点的个数为，由题图可得，，，，，，，……，则，故，，，．故选：C．7．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（    ）A．96 B．97 C．98 D．99【答案】C【分析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.【详解】令，，两式相加得：，∴，故选:C．8．定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等差比数列的定义可求得的通项公式，将变为，利用通项公式即可求得答案.【详解】因为为等差比数列，，，，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以．故选:C． 二、多选题9．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ）．A．的斜率为2，过点，B．经过点，，平行于轴，且不经过点C．经过点，，经过点，D．的方向向量为，的倾斜角为【答案】BC【分析】根据题意，结合直线斜率的计算公式以及两直线平行的结论，一一判断即可.【详解】对于A，由题意得，所以与平行或重合，故A错；对于B，由题意得，因平行于轴，且不经过点，所以，故B正确；对于C，由题意得，，，所以，故C正确；对于D，直线的斜率为，直线的斜率为，所以与不平行，故D错．故选：BC．10．设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有A．当时，取最大值 B．当时，C．当时， D．当时，【答案】BC【分析】首先根据，得到，再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为，所以，解得.对选项A，因为无法确定和的正负性，所以无法确定是否有最大值，故A错误.对选项B，，故B正确.对选项C，，故C正确.对选项D，，，因为，所以，，，故D错误.故选：BC【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了前项和的计算，属于简单题.11．若数列对任意满足，若，则可能是（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】ABD【分析】根据数列的递推关系列举即可求解.【详解】由得或，由，若，，则 由，若，由，若，由可知要么为3，要么为2，可以为5，6或者4，可以为7，10，8，12，6，故不可能为9，故选：ABD12．已知数列{an}满足a1＝1，nan+1﹣（n+1）an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是（　　）A．数列{an}是公差为2的等差数列B．满足Sn＜100的n的最大值是9C．Sn除以4的余数只能为0或1D．2Sn＝nan【答案】ABC【分析】令，由题干条件可得，可得，可求得，，依次分析即可判断【详解】由题意，nan+1﹣（n+1）an＝1，故令，则则即故，数列{an}是公差为2的等差数列，A正确；，满足Sn＜100的n的最大值是9，B正确；当时，除以4余1；当时，除以4余0；当时，除以4余1；当时，除以4余0，C正确；，D错误.故选：ABC 三、填空题13．已知数列{an}满足an+1＞an，且其前n项和Sn满足Sn+1＜Sn，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式an＝_____________.【答案】(答案不唯一)【分析】利用数列的单调性和的正负性即可求解【详解】根据题意，Sn+1＜Sn，则有an+1＝Sn+1﹣Sn＜0，又由数列{an}满足an+1＞an，故数列{an}为各项为负的递增的列其通项公式可以为：；故答案为：(答案不唯一)14．一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________.【答案】3【分析】根据等差数列前项和公式,设出首相公差和项数，列出等式,计算出项数和公差即可.【详解】解:由题知不妨设等差数列为,首项为,公差为,项数为,故有,两式相减,因为,故,故.故答案为:315．已知数列，满足，且，是函数的两个零点，则___．【答案】64【分析】由，是函数的两个零点，可得，进而由递推关系依次求解数列的项结合即可得解.【详解】由，是函数的两个零点，可得.由，得，..故答案为64.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，采用的方法数一一列举的方式呈现规律，属于中档题. 四、双空题16．数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________.【答案】          【分析】利用等差数列的基本性质可得出，即可得出的值；计算得出，可知能被整除，求出的可能取值，可得出结轮.【详解】由等差数列的性质可得，，若为整数，且，故能被整除，故或，解得或，所以，使得为整数的值个数为.故答案为：；. 五、解答题17．已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．(1)求数列，的通项公式(2)设，求数列的前项和．【答案】(1),(2) 【分析】（1）根据可判断是等比数列，进而根据等差和等比数列基本量的计算即可求解通项公式,（2）根据分组求和即可求解.【详解】（1）因为数列满足，，，所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，，即数列的通项公式为，设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以，，即数列的通项公式为（2）有（1）可知，所以，数列的前项和，即．18．已知数列的前项和是，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用数列与的关系即可求得数列的通项公式；（2）因为数列的首项为正且是一个递减数列， 令，得该数列前34为正，后面的项全为负，设数列的前项和为，利用分组求和即可求得数列的前项和.【详解】（1）当时，，当时，把代入上式，满足题意.数列的通项公式.（2）数列的首项为正，是一个递减数列，先正后负，令，则数列前34为正，后面的项全为负，设数列的前项和为，则当，，当时，数列的前项和为19．已知等差数列的前项和，，.(1)求的通项公式；(2)若，设数列的前项和，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】(1)结合已知条件分别求出和公差，然后利用等差数列的公式求解即可；(2)结合已知条件利用裂项相消法求出，进而即可证明.【详解】（1）不妨设等差数列的公差为，则，即  ①，由可知，  ②联立①②可得，，，故的通项公式为.（2）由(1)中结论可知，，从而，因为，所以.20．张江某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，由于客观原因，A型车床为企业创造的价值是逐年减少的（以投产当年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用表示A型车床在第n年创造的价值．(1)求数列的通项公式；(2)记为数列的前n项和，设．企业经过成本核算，若万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列）【答案】(1)，；(2)第年初. 【分析】（1）根据题意，该数列是分段数列，前一段是等差数列，后一段是等比数列，利用条件写出即可；（2）利用分组求和，写出后解不等式即可，注意递减性质的运用.【详解】（1）由题意，是首项为，公差为的等差数列，故；，是首项为，公比为的等比数列，故，于是，（2）当，时，是递减的等差数列，，是递减的等比数列，又，故是单调递减数列，于是由题意可知是递减数列.,根据递减的性质可知，；当且时，，当，，当，，根据递减的性质可知，时，即有，故企业需要在第年更换车床.21．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）已知正项数列满足，，__________.(1)求数列的通项公式：(2)设数列的前项和为，求不等式的解集.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）选①根据递推关系可得，然后利用等比数列的通项即得，选②根据条件可得，然后利用等比数列的定义及通项即得，选③根据项与前项和的关系即得，进而即得；（2）由题可得，进而可得，然后通过构造数列，利用作差法研究数列的性质，进而即得.【详解】（1）若选①，，，则，，∴，又，，∴，，所以；若选②，，则，又，所以，即，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；若选③，，则，所以，即，又，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）由题可知，所以，所以，即，令，则，当时，，此时，所以时，，当时，，即，而，当时，，由，可得，所以不等式的解集为.22．若数列{an}满足n≥2，n∈N*时，an≠0，则称数列为{an}的“L数列”．（1）若a1＝1，且{an}的“L数列”为，求数列{an}的通项公式；（2）若an＝n+k﹣3（k＞0），且{an}的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；（3）若，其中p＞1，记{an}的“L数列”的前n项和为Sn，试判断是否存在等差数列{cn}，对任意n∈N*，都有cn＜Sn＜cn+1成立，并证明你的结论．【答案】（1）  （2）   （3）存在等差数列满足题意，证明见详解【分析】（1）由题意知即，利用累乘法即可求得通项公式；（2）由可得，设，根据题意{bn}为递增数列，只需－＞0恒成立即可求得满足题意的k值；（3）根据的通项公式求出，利用放缩法及等比数列的前n项和公式可得，再次利用放缩可得，设，易证其为等差数列，结论成立.【详解】（1）由题意知，即， 所以， 即数列的通项公式为.（2）因为，且n≥2，n∈N*时，，所以，设，n∈N*，所以1－．因为{bn}为递增数列，所以对n∈N*恒成立，即－＞0对恒成立． 因为－＝，所以－＞0等价于．当0＜k≤1时，因为n＝1时，，不符合题意． 当k＞1时，，所以，综上，k的取值范围是． （3）存在满足条件的等差数列，证明如下：因为，k，所以，又因为，所以，所以，即，因为，所以，设，则，且， 所以存在等差数列满足题意．【点睛】本题考查数列与不等式的综合问题，涉及累乘法求数列通项公式、等比数列的前n项和性质、放缩法证明不等式、不等式的性质，属于较难题.