2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．抛物线的准线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将抛物线的方程化成标准形式，即可得到答案；【详解】抛物线的方程化成标准形式，准线方程为，故选：A.2．已知直线l过点与点，则l的倾斜角α为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据斜率公式计算斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】由题知直线的斜率，又， ，所以l的倾斜角，故选：B．3．已知点，，动点满足，则动点的轨迹是（    ）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆【答案】C【分析】注意到，即可做出正确判断.注意准确掌握椭圆定义，此题易错误判定为椭圆.【详解】因为，故动点的轨迹是线段.故选：C.4．在等差数列中，已知，公差，，则等于（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程，即可求解.【详解】由数列为等差数列，且，公差，，可得，解得.故选：D.5．已知圆，圆， 则两圆的位置关系是（    ）A．相离 B．相交 C．内含 D．相切【答案】B【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系.【详解】由题设，：，：，∴，半径；，半径；∴，即两圆相交.故选：B6．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案.【详解】当时，有，即；当时，有，又，即，综上，有，故选：C．7．已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（    ）A．15 B．12 C．6 D．3【答案】B【分析】由三角形面积公式可知△的底为定值，当高为最大时，面积即为最大，故当点位于椭圆上顶点或下顶点时高最大，即可求解.【详解】由三角形面积公式可知，当最大时有最大值，即点位于椭圆上顶点或下顶点，其中，则△面积的最大值是，故选：.8．已知数列，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是（    ）A．16 B．128 C．32 D．64【答案】D【分析】先用累乘法求出，对四个选项验证得符合题意，即可求解．【详解】，当时，．故选：D． 二、多选题9．定义直线l与y轴交点的纵坐标叫直线的纵截距，直线l与x轴交点的横坐标叫直线的横截距.若直线ax＋by＋1＝0的纵截距的绝对值等于横截距的绝对值，则此直线的斜率可能是（       ）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】BD【分析】结合题意求得直线ax＋by＋1＝0的斜率及与x轴，与y轴的交点坐标，得到，从而求得斜率.【详解】由题意知：直线ax＋by＋1＝0与y轴，与x轴都相交，所以且，所以直线ax＋by＋1＝0的斜率为又直线ax＋by＋1＝0与x轴交点为，与y轴交点为，若纵截距的绝对值等于横截距的绝对值，则，即，则，所以斜率为，故选：BD.10．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有A． B． C． D．【答案】BC【解析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.故选：BC.【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（    ）A． B．数列是等比数列C． D．数列是公差为2的等差数列【答案】AC【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式，结合等比数列和等差数列的定义逐一判断即可.【详解】∵在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，，，解得，，∴，或者，，∴，不符合题意，舍去，故A正确， ，则，常数，∴数列不是等比数列，故B不正确； ，故C正确；∵，∴，，∴数列不是公差为2的等差数列，故D错误，故选：AC12．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（    ）A．B．的内切圆与轴相切于点C．若，则的离心率为D．若，则的方程为【答案】BCD【分析】对于A，根据题意可得，从而可进行判断，对于B，根据双曲线的性质和内切圆的性质分析计算，对于C，由已知结合双曲线的定义可求出，再利用椭圆的定义可求出，从而可求出离心率，对于D，利用勾股定理和双曲线的性质列方程可求出，从而可求出，进而可求出椭圆方程.【详解】由双曲线的方程，可知，所以，故A不正确；由双曲线的定义，可知，设切点为，由内切圆的性质，可得，又，所以，故的内切圆与轴相切于点，（双曲线的焦点三角形的内切圆与轴相切于点）．故B正确；因为，，所以，所以，即，所以的离心率为，故C正确．因为，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，椭圆的方程为．故D正确．故选：BCD 三、填空题13．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为______.【答案】【分析】根据双曲线的标准方程可得，解不等式即可求解.【详解】焦点在轴上，则，解得.所以的取值范围为故答案为：14．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．【答案】【详解】【解析】两条平行直线间的距离．分析：通过直线的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通过平行线的距离公式求出距离即可．解：直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行线的距离公式可知d==．故答案为．15．数列满足，对任意的 都有，则_____________ ．【答案】【分析】根据题意可得，利用累加法可得，解得，再裂项相消即可得解.【详解】由可得，所以：，由解得，所以，所以.故答案为：.16．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______.【答案】【解析】曲线表示圆心为，半径为的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出的取值范围.【详解】由，解得根据二次函数的性质得出，即曲线可化为，所以该曲线表示圆心为，半径为的半圆因为直线与曲线有公共点，所以它位于之间，如下图所示当直线运动到时，过，代入得：当直线运动到时，此时与曲线相切则，解得或（舍）要使得直线与曲线有公共点，则故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题. 四、解答题17．已知双曲线C： (，)的离心率为． （1）若双曲线C的焦距长为，求双曲线C的方程：（2）若点为双曲线C上一点，求双曲线C的方程，【答案】（1）   （2）【分析】（1）离心率，又，结合可求得得方程；（2）由，把坐标代入双曲线方程得，结合可求得得方程．【详解】由 得，．（1） ，，，， 双曲线C的方程为．（2）由题知C：，又点在C上，，解得，，双曲线C的方程为．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，解题关键是找到关于的两个等式，再结合结合就可求得，得双曲线方程．18．已知数列为等差数列，前n项和记为，，．(1)求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得首项和公差，进而得通项，（2）根据等差数列的性质，找到正负项的分界线，即可求解最值.【详解】（1）设数列的公差为d，由，，得解得，，∴．（2）数列首项为负的，公差大于零，是递增数列，令即解得，∴，即第1项到第12项都是负的，从第13项起变成正的，∴时，最小，最小值为19．已知直线与直线，.(1)若，求a的值；(2)判断直线与圆的位置关系；(3)若直线与圆心为D的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值.【答案】(1)(2)直线与圆C相切或相交(3) 【分析】（1）根据两直线互相垂直的充要条件即可求解；（2）求出直线恒过的定点，再判断定点与圆的位置关系即可求解；（3）由题意，圆心D到直线的距离是，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）解：由题意，直线，直线，，因为，所以，解得；（2）解：由题意，直线过定点，因为，所以点在圆上，所以直线与圆C有一个或两个公共点，所以直线与圆C相切或相交；（3）解：由题意，圆的圆心为，半径为，因为为直角三角形，所以圆心D到直线的距离是，即，解得，所以a的值为.20．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线与抛物线交于两点.（1）求此抛物线的方程；（2）若以为直径的圆过原点O，求实数k的值.【答案】（1） （2）【解析】（1）根据焦点到准线的距离，可得到，可得结果.（2）假设的坐标，得到，然后联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，根据，可得结果.【详解】（1）由题知：抛物线的焦点到准线的距离为，∴抛物线的方程为（2）设联立，得，则，，，∵以为直径的圆过原点O，∴，∴，即，解得或（舍），∴【点睛】本题主要考查直线与抛物线的几何关系的应用，属基础题.21．已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得，可得是等比数列；（2）由（1）可得，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列的前项和.【详解】（1）当时，，当时，即：，数列为以2为公比的等比数列.（2）两式相减，得.【点睛】错位相减法求数列的和是重点也是难点，相减时注意最后一项的符号，最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.22．已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，点P是C上任意一点，若面积的最大值为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于A，B两点，连接，，与x轴分别交于P，Q两点，求证：始终为等腰三角形.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）根据面积的最大值为，可知点的位置，根据离心率，可求出，可得结果；（2）先得到点，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，通过计算，可得结果.【详解】（1）由，可得， 由面积的最大值为知，，解得，，，∴椭圆C的方程为 （2）联立，解得联立得.∵直线与椭圆C交两点，∴.∴，且 设直线的斜率分别为，设，则.又，，则 ∴，从而始终为等腰三角形.【点睛】关键点点睛：设直线的斜率分别为后，分别表示出，根据根与系数的关系，计算是证明的关键，属于中档题.