2022-2023学年江西省抚州七校（广昌一中、金溪一中、乐安实验学校、黎川一中、南城二中、南丰一中、宜黄一中）高二上学期联考数学试题（解析版）

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2022-2023学年江西省抚州七校（广昌一中、金溪一中、乐安实验学校、黎川一中、南城二中、南丰一中、宜黄一中）高二上学期联考数学试题 一、单选题1．直线：与直线：的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线间距离公式求解即可.【详解】依题意，.故选：D.2．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意得到，再解不等式即可.【详解】依题意，，则或.故选：A3．若圆：与圆：内切，则实数的值为（    ）A．或24 B．或20 C．20 D．24【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系求解即可.【详解】圆：，圆心，半径.圆：，圆心，半径.因为，内切，所以，解得.故选：D4．若，，为两两垂直的三个空间单位向量，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的数量积性质即可求解.【详解】依题意得，，；所以，故选：B.5．已知圆：与圆：交于，两点，则直线与圆：的位置关系是（    ）A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定【答案】C【分析】圆，的方程相减得直线的方程，利用点到直线的距离公式得到点到直线的距离再与其半径比较即可判断.【详解】将圆，的方程相减可得直线的方程为，又圆的圆心为,半径,则点到直线的距离,故直线与圆：相切,故选：C.6．某节物理课上，物理老师讲解光线的入射、反射与折射，为了更好地解释光线的路径，物理老师将此问题坐标化如下：已知入射光线从射出，经过直线的点后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点时再次反射，反射后经过点，则可以求得直线的斜率为（    ）A． B． C．4 D．3【答案】D【分析】分别求出关于的对称点，关于的对称点，所求斜率即为的斜率，【详解】作出图形如图所示，分别作关于的对称点，以及关于直线的对称点，则.故选：D7．已知抛物线：与圆：交于，两点，且.现有如下3条直线：①：；②：；③：，则与抛物线只有1个交点的直线的条数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由题意求得抛物线方程，再联立直线与抛物线方程判断交点个数，【详解】设，由对称性，可知，故，代入中，解得，故抛物线：，易知直线：，直线：与抛物线仅有1个交点；联立得，则，故直线与抛物线仅有1个交点，故选：D8．已知双曲线：的左焦点为，直线过原点且与双曲线交于，两点，若直线与直线：相互垂直，且，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接与双曲线的右焦点，通过四边形的形状，结合直线的斜率和倾斜角，求得的长度，进而根据双曲线定义，即可求得结果.【详解】取双曲线的右焦点为，连接，作图如下：因为，易知四边形为矩形，又直线的斜率，则，故△为等边三角形，则；在△中，，结合双曲线的定义可得，解得.故选：C. 二、多选题9．天文学上可以大致认为部分行星的运行轨道为椭圆，如图所示，记两个行星的运行轨道分别为椭圆，，则下列说法正确的是（    ）A．椭圆的长轴长比椭圆的长轴长的两倍短B．椭圆的短轴长比椭圆的短轴长的两倍短C．椭圆的离心率大于椭圆的离心率D．椭圆的短轴长与长轴长之比大于椭圆的短轴长与长轴长之比【答案】AD【分析】由图可直接判断长轴长与短轴长关系；由偏离圆心程度可判断离心率关系、短轴长与长轴长之比.【详解】由图可知，椭圆的长轴长比椭圆的长轴长的两倍短，故A项正确；椭圆的短轴长比椭圆的短轴长的两倍长，故B项错误；椭圆更接近圆，故椭圆的离心率小于椭圆的离心率，当时，，，则椭圆的短轴长与长轴长之比大于椭圆的短轴长与长轴长之比，故选项C错误，D项正确.故选：AD.10．已知空间向量，则下列说法正确的是（    ）A．若，则，共线B．若，则，共线C．若，，则，，共面D．若，，则，，共面【答案】ABC【分析】根据共线向量的定义即可判断AB；根据共面向量的定义即可判断CD.【详解】对A，因为，所以，共线，故A正确；对B，因为，所以，共线，故B正确；对C，因为，所以，，共面，故C正确；对D，设，则，该方程组无解，故，，不共面，故D错误，故选：ABC.11．为了实现信息技术与数学课堂的深度融合，体现利用信息技术研究几何动态问题的优越性，唐老师让学生使用几何画板研究圆的动态弦长问题，以培养学生直观想象的核心素养课堂上唐老师先让同学给出一个圆：，再让同学给出圆内的一个定点，最后要求同学们利用几何画板过点作一条直线与圆交于，两点，并通过几何画板的度量功能得到，两点间的距离后提交答案，现选取4位同学提交的答案，则度量结果可能正确的是（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】BC【分析】由圆的性质得的取值范围后求解，【详解】依题意，圆心，半径，则当直线过点，时，有最大值，当直线时，有最小值，此时，故有最小值，则，故选：BC12．已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，若，，则下列说法正确的是（    ）A．焦点到准线的距离为6 B．C． D．【答案】BCD【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，结合韦达定理，焦点弦公式，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.【详解】根据题意可得，故直线的斜率，设直线的方程为，联立抛物线方程可得：，显然，则，，，，故，解得；对A：焦点到准线的距离为，故错误；对B：，故正确；对C：，故正确；对D：因为，则即，解得，则，故正确.故选：BCD. 三、填空题13．已知四点共面，点平面.若，则实数的值为______.【答案】##1.5【分析】根据空间向量共面定理求解即可.【详解】依题意，，则，解得.故答案为：.14．已知直线经过点，且在，轴上的截距相等，则直线的方程为______.【答案】或【分析】分类讨论截距为和不为即可.【详解】若直线经过原点，则方程为；若直线不经过原点，设方程为，故，得，所以方程为.故答案为：或.15．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的值可以是______.（填写一个满足条件的值即可）【答案】14（在区间中的任意实数）【分析】由解析式求出，，代换得，结合二次函数特征可求.【详解】依题意，，，由椭圆定义，，故，其中，故，由二次函数特征可知，时取到最大值16，或6时取到最小值12，故横线上填写的数值在此范围内即可.故答案为：14（在区间中的任意实数）.16．已知抛物线：的焦点为，点在上，若点，则的最小值为______.【答案】##3.5【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.【详解】记抛物线的准线为，则：，记点到的距离为，点到的距离为，则.故答案为：. 四、解答题17．已知直线过点，且______.(1)若横线上填写的是“过点”，求直线的方程；(2)在①直线与直线：平行；②直线与直线：垂直；③直线的倾斜角为45°，且直线的斜率是直线的斜率的3倍这三个条件中任选一个，填在横线上，求出直线的方程.【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据两点式直线方程，直接求解即可；（2）根据直线平行，直线垂直的方程设法，以及直线的斜率，选择不同的条件，结合点在所求直线上，即可求得结果.【详解】（1）依题意，直线的方程为，化简可得，直线的方程为.（2）若选①：设直线：，将代入上式，可得，解得，故直线的方程为.若选②：设直线：，将代入上式，可得，解得，故直线的方程为.若选③：易知直线的斜率，故直线的斜率，故直线的方程为，即.18．已知平行六面体如图所示，其中，，交于点，点在线段上，且，点，分别是线段，的中点，设，，.(1)用，，表示，；(2)若，，求的值.【答案】(1)，(2)14 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可.（2）根据题意得到，，再计算即可.【详解】（1）连接，，如图：..（2）依题意，，，故.19．已知双曲线过点且与双曲线：共渐近线，点在双曲线上（不包含顶点）.(1)求双曲线的标准方程；(2)记双曲线与坐标轴交于，两点，求直线，的斜率之积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由双曲线的性质求解，（2）设点坐标，由斜率公式与双曲线方程化简求解，【详解】（1）设双曲线的方程为（且），将代入可得，解得，故双曲线的标准方程为；（2）可设，，，，则，而点在双曲线上，故，即，故.20．已知抛物线：，直线：与抛物线交于，两点(1)若线段中点的纵坐标为3，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用点差法可求；（2）联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理、弦长公式可求.【详解】（1）设，，依题意，两式相减可得，，即；（2）联立则，则，解得，故，，则.故，解得或（舍去）.21．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深人而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.基于上述事实，完成以下两个问题：(1)已知，，若，求点的轨迹方程；(2)已知点在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得恒成立，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，定点 【分析】（1）由两点间距离公式列式求解，（2）设出点坐标后列式化简，与圆的方程对比求解，【详解】（1）设，则，，故，故，化简得点的轨迹方程为（2）假设存在定点，使得恒成立，设，，故，，因为，故，即，而点在圆上，即，对照可知，，解得故存在定点，使得恒成立.22．已知椭圆：过点且与椭圆：共焦点，直线：与椭圆交于，两点.(1)求椭圆的方程；(2)若，探究：原点到直线的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是，定值为 【分析】（1）由题意列方程组求解，（2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理与数量积的坐标运算化简得关系，再由点到直线的距离公式判断，【详解】（1）设椭圆：（且），将代入可得，，解得（舍去），故椭圆的方程为；（2）联立，消去，得，所以，设，，则，，所以.又因为，所以，即，化简可得，，则原点到直线的距离即原点到直线的距离为定值.