2022-2023学年江西省赣州市赣县第三中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江西省赣州市赣县第三中学高二上学期10月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省赣州市赣县第三中学高二上学期10月月考数学试题 一、单选题1．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上的对应点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用复数除法运算和复数几何意义可求得对应点的坐标，由此可得结果.【详解】，对应的点为，位于第三象限.故选：C.2．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为（    ）A．－4 B．20C．0 D．24【答案】A【解析】由垂直求出，垂足坐标代入已知直线方程求得，然后再把垂僄代入另一直线方程可得，从而得出结论．【详解】由直线互相垂直可得，∴a＝10，所以第一条直线方程为5x＋2y－1＝0，又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.故选：A．3．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是A．2 B． C．4 D．   【答案】C【详解】分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定义得到=2a得解.详解：设椭圆的右焦点为连接因为OA=OB,OF=O,所以四边形是平行四边形.所以,所以=|AF|+=2a=4,故答案为:C点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.4．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．【详解】解：因为，所以，因为点，分别是线段，的中点，所以，所以．故选：A．5．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）A．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度D．所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【答案】D【分析】由诱导公式与三角函数的图象变换判断，【详解】，故只需将函数的图象所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，或先向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，只有D满足题意故选：D6．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，求得该双曲线的标准方程，进而求得其焦距.【详解】如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，则该双曲线过点，且，所以，解得，所以，得，所以该双曲线的焦距为，故选：C．7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，若，则角B的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量平行列方程，结合正弦定理求得正确答案.【详解】由于，所以，由正弦定理得，，，，由于，所以，所以，由于，所以.故选：B8．已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据题意求出为M的坐标代入双曲线求出，利用点到直线距离公式可求双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】根据题意，设，因为，且，所以，代入到抛物线中，得，所以，将代入到双曲线中，得，即，设双曲线的焦点，渐近线为，即，所以双曲线的焦点到渐近线的距离为，故选：D. 二、多选题9．已知､是两条不重合的直线，､､是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若､是异面直线，，，，，则【答案】AD【解析】根据线面平行、垂直的有关定理逐一判断即可．【详解】解：A：因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以A正确B：因为垂直于同一平面的两个平面可能平行也可能相交，所以B错误；C：由，，知，可能相交，不一定平行，所以C错误；D：由，根据线面垂直的性质，则存在直线满足： ,.由知，根据线面平行的性质定理，则存在直线满足：所以，所以，所以由，，同样可证，故D正确.故选：AD．【点睛】本题考查线面平行、垂直的判定或性质，是基础题.10．直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（    ）A．－8 B．－5 C．3 D．4【答案】AD【分析】根据题意，做出图形，分析直线斜率可知，再利用斜率公式求解，即可.【详解】解：由于直线l过点且斜率为k，与连接两点，的线段有公共点，则，，由图可知，时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．故选：AD．11．已知抛物线上的动点到焦点的距离最小值是3，经过点的直线与有且仅有一个公共点，直线与交于，则（    ）A．抛物线的方程为B．满足条件的直线有2条C．焦点到直线的距离为2或或D．【答案】CD【分析】由题设可得即可得抛物线方程，设过P的直线方程并联立抛物线得到一元二次方程，由求切线方程，结合点与抛物线位置判断交点只有一个的直线条数，再由点线距离公式求到直线的距离，写出的方程弦长公式求.【详解】由题设知：，则，故且，A错误；因为在外，令过P的直线与相切，所以，若，可得或，故、与相切，又与只有一个交点，所以过与有且仅有一个公共点的直线共有三条，B错误；对于，到直线的距离；对于，到直线的距离；对于，到直线的距离，C正确；由题设，为，联立，可得，则，故，D正确.故选：CD12．已知实数x，y满足方程．则（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】AB【分析】方程表示圆，设，可得圆心到的距离等于半径时斜率取得最大、最小值；设，利用圆心到直线距离等于半径可求得的最值；表示圆上的一点与原点的距离的平方，由圆的几何性质可求出.【详解】方程化为，表示以点为圆心，以为半径的圆．设，即，易知圆心到的距离等于半径时，直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由，解得，所以或．所以的最大值为，最小值为．AB正确．设则，由点到直线的距离公式，得，即．故的最大值为，最小值为，C不正确．表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为，所以的最大值是，的最小值是，D不正确．故选：AB. 三、填空题13．若，则___________.【答案】【分析】利用诱导公式化简，再次化简得，则得.【详解】因为，所以，所以，又，所以.故答案为：.14．向量，，且，则向量在上的投影向量的坐标为______．【答案】【分析】向量在上的投影向量为，利用公式求解.【详解】因为向量，，且，所以，解得，所以，所以,则向量在上的投影向量的坐标为.故答案为：.15．已知D是椭圆C：的上顶点，F是C的一个焦点，直线DF与椭圆C的另一个交点为点E，且，则C的离心率为______【答案】【分析】根据条件，利用向量建立关系，求出点的坐标，代入椭圆方程求解即可得出离心率．【详解】解：由题意，，不妨设F是C的右焦点,所以，设，，则，因为，所以，，，解得，代入椭圆方程可得，即，所以.故答案为: .16．在三棱锥中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若，二面角的大小为60°，三棱锥的体积为，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值为___________.【答案】【分析】作图后由线面角，二面角的定义，三棱锥的体积公式求解【详解】由平面，，则即为二面角的平面角，而，平面，平面，，平面，即为直线与平面所成角，，，则，，，得，故，，故答案为： 四、解答题17．直线与直线相交于点P，直线l经过点P.(1)若直线，求直线l的方程；(2)若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解，（2）由题意得过原点或斜率为后求解【详解】（1）联立得即.因为，不妨设直线l的方程为，将点代入，得，所以直线l的方程为.（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即；当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，将点代入，得，所以直线l的方程为，即.综上所述，直线l的方程是或.18．已知抛物线C：的焦点与椭圆：的一个焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）由椭圆的焦点得出的值，进而得出抛物线C的方程；（2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理结合数量积公式证明即可.【详解】（1）∵椭圆：的焦点坐标为，∴，即．∴抛物线C的方程为：．（2）联立方程组消去x，整理得．∴．∴，即,∴,∴．19．已知圆E经过点，，且______.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①与y轴相切；②圆E恒被直线平分；③过直线与直线的交点(1)求圆E的方程；(2)求过点的圆E的切线方程，并求切线长.【答案】(1)(2)切线方程为或，切线长 【分析】（1）根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；（2）先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论即可.【详解】（1）选①，设圆E的方程为，由题意可得，解得，则圆E的方程为选②，直线恒过，而圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，因为直线过定点，所以圆心为，可设圆的标准方程为，由圆E经过点，得，则圆E的方程为选③，由条件易知，设圆的方程为，由题意可得，解得，则圆E的方程为，即（2）因为，所以点P在圆E外，若直线斜率存在，设切线的斜率为，则切线方程为，即所以，解得所以切线方程为，若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意.综上过点的圆E的切线方程为或，切线长20．如图所示，在四棱锥中，，，，且．(1)求证：平面ADP；(2)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)8. 【分析】（1）在梯形中，根据给定条件证明，再利用线面垂直的判定推理作答.（2）由（1）可得平面平面ABCD，再求出边AD上的高即可求解作答.【详解】（1）如图，连接BD，由，知，，，，在中，，，则，，在中，，则有，因此，即，又，，平面ADP，所以平面ADP.（2）在中，，，有，取的中点，连，则，且，由（1）知，平面ADP，而平面ABCD，即有平面平面，平面平面，平面ADP，于是得平面，梯形的面积，所以四棱锥的体积．21．已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数在区间的值域；(3)若函数在区间内有两个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2)(3) 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简，进而根据周期公式以及整体法求单调区间，（2）由范围得的范围，结合正弦函数的性质即可求解值域，（3）数形结合即可求解.【详解】（1）由得,，故最小正周期为，由，解得，故的单调递增区间为；（2）因为，所以，，所以，即的值域为；（3）令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故22．已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.【答案】(1)；(2)3. 【分析】(1)根据题意得关于a,b,c的方程组，解之即得椭圆的方程；(2)先求出点,再证明点在椭圆上，最后求的值.【详解】（1）由题意可知：当位于椭圆上顶点或下顶点时，面积取得最大值，所以，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）由（1）可知，因为过与圆相切的直线分别切于两点，所以，所以，设点，则，圆的半径为，则直线的方程为，的方程设为，则到直线的距离等于半径，即，化简得，由，得，所以点,，所以点在椭圆上，∴，即.【点睛】（1）本题主要考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查定值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力计算能力.；(2)解答本题的关键点有三个，其一是求点,其二是证明点P在椭圆上，其三是想到点P在椭圆上.