2022-2023学年辽宁省朝阳市凌源市高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省朝阳市凌源市高二上学期10月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省朝阳市凌源市高二上学期10月月考数学试题 一、单选题1．已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线的斜率，即可求出倾斜角；【详解】解：设直线l的倾斜角为，则，所以.故选：A.2．若复数是纯虚数，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的概念可得出关于的等式与不等式，即可求得的值.【详解】因为复数是纯虚数，则，解得.故选：A.3．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系求得圆的半径，即可求得结果.【详解】因为点到直线的距离是，所以圆的半径为，所以圆的方程为.故选：C.4．已知，是两个不同的平面，直线m满足，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要条件定义判断．【详解】充分性：根据面面平行的定义知充分性成立；必要性：设，当，且，，此时，但是与相交，故必要性不成立．故选：A．5．若幂函数在上单调递减，则（    ）A．或2 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据幂函数的定义以及其在上单调递减，列出方程以及不等式，即可求得答案.【详解】由题意可得,解得,故:C.6．若圆锥的轴截面为等边三角形，且面积为，则圆锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合图形，利用等边三角形的性质、三角形的面积公式、圆锥的体积公式求解.【详解】设底面半径为r，由圆锥的轴截面是等边三角形且面积为，，解得，所以圆锥的高，所以圆锥的体积为．故A，B，D错误.故选：C．7．已知函数（，）的图象的相邻两个最高点的距离为，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据相邻两个最高点的距离等于最小正周期以及特殊函数值即可求解.【详解】因为函数（）的图象的相邻两个最高点的距离为，所以的图象的最小正周期为，所以.因为，所以，因为，所以，所以.故选:D.8．如图，是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，可得E为AD中点，根据向量的线性运算法则，即可得答案.【详解】∵D在线段BC上，且，∴，又E为线段AD上一点，若与的面积相等，∴，则E为AD的中点，又，，所以，故选：D 二、多选题9．已知直线l过点，倾斜角为，若，则直线l的方程可能是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由求出，得到直线l的斜率，可求出直线l的方程【详解】因为，，所以，所以直线l的斜率.当时，直线l的方程为，即；当时，直线l的方程为，即.故选：AC.10．已知不共面的三个向量，，都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（    ）A．是空间的一组基底B．不是空间的一组基底C．向量的模是2D．向量和的夹角为【答案】ABD【分析】利用反证法可判断A的正误，根据向量的运算可判断B的正误，根据将平方后可求其模，故可判断C的正误，利用夹角公式可判断D的正误.【详解】若共面，则存在实数，使得：，故，因为，，不共面，故，此方程组无解，故不共面，故A正确.因为，故为共面向量，故不是空间的一组基底，故B正确.而，故，故C错误.，故，而，故，故D正确，故选：ABD.11．2022年4月23日至25日，以“阅读新时代，查进新征程”为主题的首届全民阅读大会胜利召开，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校为了了解学生在暑假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生、高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为，，，每天读书时间的方差分别为，，，则下列正确的是（    ）A．从高一学生中抽取40人B．抽取的高二学生的总阅读时间是1860小时C．被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时D．估计全体学生每天的读书时间的方差为【答案】ACD【分析】对A，由分层抽样可求解；对B，由平均数的意义可求解；对C，由平均数的估计可求解；对D，由方差的估计可去处得解.【详解】对A，根据分层抽样，分别从高一学生、高二学生，高三学生中抽取40人，30人，30人，故A正确；对B，抽取的高二学生的总阅读时间是，故B错误；对C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为（小时），故C正确；对D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为，所以估计全体学生每天的读书时间的方差为，故D正确．故选：ACD．12．已知空间中不共面的四点，，，，则（    ）A．直线与所成角的余弦值是 B．二面角的正弦值是C．点D到平面的距离是 D．四面体的体积是【答案】ACD【分析】根据给定条件，利用空间向量求出线线角、面面角、点到平面的距离判断A，B，C，再求出四面体的体积判断D作答.【详解】依题意，，，，所以直线与所成角的余弦值是，A正确；，令是平面的一个法向量，则，令，得，令是平面的一个法向量，则，令，得，则，二面角的正弦值是，B错误；由选项B知，点D到平面的距离，C正确；，则，于是得的面积，所以四面体的体积，D正确.故选：ACD 三、填空题13．若直线：与直线：平行，则______.【答案】【分析】两直线平行，则斜率相等，排除重合的情况.【详解】已知直线：与直线：平行，则且，解得.故答案为：14．已知函数，则______．【答案】【分析】根据分段函数的定义及指数幂与对数的运算法则即可求解.【详解】解：因为，所以，所以故答案为：.15．已知，是两个平面向量，，若，则______．【答案】【分析】由垂直关系的向量表示及向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】解：因为，所以，所以．故答案为：.16．在平面直角坐标系中，，，若动点P满足，则的最大值是______.【答案】【分析】动点P的轨迹为圆时，与定点距离的最大值为过圆心的线段，长度为圆心到定点的距离与半径之和.【详解】设点P坐标为，由，得，整理得，所以点P的轨迹是以点为圆心，半径的圆，所以.故答案为： 四、解答题17．已知.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）根据空间平行向量的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可；（2）根据空间向量互相垂直的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式、数量积的坐标表示公式进行求解即可；【详解】（1），若，则，即，解得；（2），若，则，即，化简可得，解得或.18．在中，，，.(1)求的中线所在直线的方程；(2)求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】(1)由中点坐标公示求得的中点，写出的斜率，用点斜式得到方程.(2)求出所在直线的方程，由点到直线的距离求出三角形的高，求出的距离，代入面积公示得到答案.【详解】（1）由，，得的中点为，又，所以，所以中线所在直线的方程为，即.（2）由，，得，直线的方程为，即， 点到直线的距离为，又，所以的面积为.19．在中，角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若，，求的周长．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角可整理求得，由此可得；（2）利用余弦定理可构造方程求得，由此可得三角形周长.【详解】（1）由正弦定理得：，，，，则，又，.（2）由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，的周长为.20．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统，简称系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和．(1)求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；(2)求系统B在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用对立事件和相互独立事件的概率公式计算可得；（2）依题意即求次检测中有次发生故障或次发生故障，利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；【详解】（1）解：设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么．（2）解：设“系统在次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件，则次检测中有次发生故障或次发生故障，所求概率．21．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点为，连接、，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：取的中点为，连接、，因为、分别是、的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：因为，底面，所以两两互相垂直，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，则，则，设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.22．已知的方程是，直线l经过点.(1)若直线l与相切，求直线l的方程；(2)若直线l与相交于A，B两点，与直线交于点M，求证：为定值.【答案】(1)或(2)证明见解析 【分析】（1）根据直线斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径列式求解即可；（2）设直线l的方程为，设线段的中点为N，则，再根据，联立直线与圆的方程，再结合韦达定理化简求解即可.【详解】（1）的方程化为标准形式是，圆心，半径，当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与相切，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，即，由直线l与相切，得，解得，所以直线l的方程是，即.综上所述，直线l的方程是或.（2）证明：因为直线l与相交于A，B两点，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立得即点.设线段的中点为N，则，设直线的方程是，联立得即点，所以，所以为定值-12.