2022-2023学年辽宁省大连市大连育明高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

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2022-2023学年辽宁省大连市大连育明高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题
1．已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案.
【详解】设倾斜角为，依题意，
由于，所以.
故选：A
2．已知空间向量与共线，则（    ）
A．－1 B．2 C．－2 D．1
【答案】C
【分析】根据向量共线直接计算即可.
【详解】因为空间向量与共线，
所以，解得，，
所以，
故选：C
3．设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】C
【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件求得正确答案.
【详解】若“直线与直线平行”，
所以，解得或.
当时，两直线方程可化为和，两直线平行.
当时，两直线方程可化为和，两直线平行.
所以“直线与直线平行”等价于“或”，
所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：C
4．给出以下命题：
①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直；
②直线的方向向量为，平面的法向量为，则；
③平面的法向量分别为，则；
④平面经过三个点，向量是平面的法向量，则．
其中正确命题的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①当两直线的方向向量数量积为零时，两直线垂直；②当直线的方向向量和平面的法向量数量积为零时，直线和平面平行；③当两平面的法向量平行时，两平面平行；④求出的坐标，再由数量积为零列关于的方程组求解.
【详解】①因为，所以直线与垂直,正确；
②因为，所以直线平面，或直线在平面内，错误；
③若，则，所以，此方程组无解，所以平面不平行于平面，错误；
④由得，因为是平面的法向量，
所以，解得，即，正确.
故选：B.
5．当直线被圆截得的弦最短时，实数m的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得直线所过定点的坐标，根据求得的值.
【详解】依题意直线，
整理得，
所以，解得，故直线过定点，
圆的圆心为，半径为，
，所以在圆内.
所以当时，直线被圆截得的弦最短，
直线的方程为，即，
所以，解得.
故选：A
6．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的是（    ）

A．与AC所成角的余弦值为 B．
C．向量与的夹角是60° D．
【答案】D
【分析】结合余弦定理、空间向量、线线垂直等知识求得正确答案.
【详解】依题意以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以、、、是等边三角形，
在菱形中，，设，
A选项，在三角形中，，
所以，所以A选项错误.
B选项，，
，
所以，B选项错误.
C选项，由于，所以向量与的夹角即向量与的夹角，
而是等边三角形，所以与的夹角为，C选项错误.
D选项，在等边中，是的中点，所以，
由于平面，
所以平面，由于平面，
所以，所以D选项正确.
故选：D

7．已知圆：，点为直线上任意一点，过点引圆的两条切线，切点分别为点，，则的最小值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由圆的切线及弦长公式可得出，当的最小时取得最小，即得答案.
【详解】根据题意，圆：，其圆心，半径．
过点引圆的两条切线，切点分别为点，，如图，

在中，有，
即，则,
设，则，
当的值即最小时，的值最大，此时取得最小值，
而的最小值为点到直线的距离，即，
故．
故选：B．
8．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意得出，结合消去可得出，由题意可知关于的二次方程在上有实数解，由此列不等式可解得的取值范围.
【详解】易知点，，，
，则，
由于点在椭圆上，则，
联立，可得，
由题意可知，关于的二次方程在上有实数解，
由于是方程的一个根，且当时，，
所以，对于二次函数，，可得，则，
解得.
因此，椭圆的离心率的取值范围是.
故选：C.
【点睛】方法点睛：求解椭圆离心率是常考题型，常用的方法如下：
（1）根据、、的等量关系直接求解；
（2）根据题中条件建立关于、的齐次方程求解；
（3）根据几何关系得出、、的等量关系进行求解.

二、多选题
9．下列说法错误的是（    ）
A．若空间向量，则存在唯一的实数，使得
B．A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面
C．，，与夹角为钝角，则x的取值范围是
D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线
【答案】ACD
【分析】根据空间向量平行、空间点共面、空间向量夹角、基底等知识确定正确选项.
【详解】A选项，若是零向量，是非零向量，则，但不存在实数，使得，A选项错误.
B选项，，

，所以P，A，B，C四点共面，B选项正确.
C选项，当时，，与夹角为，C选项错误.
D选项，如下图所示三棱锥，是空间的一个基底，但不共面，D选项错误.
故选：ACD

10．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的是（    ）
A．直线与垂直；
B．若点坐标为，则直线方程为；
C．若直线方程为，则点坐标为
D．若直线方程为，则.
【答案】BD
【解析】根据椭圆的中点弦的性质判断ABC；将直线方程为，与椭圆方程联立，求出交点，进而可求出弦长.
【详解】对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质，
所以A项不正确；
对于B项，根据，所以，
所以直线方程为，即，
所以B项正确；
对于C项，若直线方程为，点，则，
所以C项不正确；
对于D项，若直线方程为，与椭圆方程联立，
得到，整理得：，
解得，
所以，
所以D正确；
故选：BD.
【点睛】本题考查椭圆中点线问题，熟记关系式可减少计算，是基础题.
11．已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ）
A．当时，直线与圆相交
B．为圆上的点，则的最大值为
C．若圆上有且仅有两个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是
D．若直线上存在一点，圆上存在两点、，使，则的取值范围是
【答案】AD
【解析】计算圆心到直线的距离，并和圆的半径比较大小，可判断A选项的正误；求出圆上的点到点的距离的最大值，可判断B选项的正误；根据已知条件求出实数的取值范围，可判断C选项的正误；分直线与圆有公共点和直线与圆相离两种情况讨论，结合题意得出关于实数的不等式，求出实数的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，当时，直线的方程为，圆的圆心为，
圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相交，A选项正确；
对于B选项，点到点的距离的最大值为，
所以，的最大值为，B选项错误；
对于C选项，当圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，如下图所示：

由于圆的半径为，则圆心到直线的距离满足，解得，
即，解得或，C选项错误；
对于D选项，若点为直线与圆的公共点，只需当为圆的一条直径（且、不与点重合），则；
若直线与圆相离，过点作圆的两条切线，切点分别为、，
由题意可得，所以，，
设点，可得，即，即，

则存在，使得成立，
可得，解得，D选项正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：对于B选项，解题的关键点就是要分析出，对于D选项，解题的关键就是要分析出，进而得出，转化为关于的不等式有解求参数.
12．如果称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，那么下列命题正确的有（    ）
A．若是“黄金椭圆”，则
B．若点A在以，为焦点的“黄金椭圆”上，且c＝2，则的周长为
C．设“黄金椭圆”C的左右焦点分别为，，存在椭圆C上一点P，使得
D．在“黄金椭圆”中，若是左焦点，E，H分别是右顶点和上顶点，则
【答案】BD
【分析】根据离心率、的关系、焦点三角形的周长、向量垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】依题意，
，，.
A选项，若则，A选项错误.
B选项，若，则，
所以三角形的周长为，B选项正确.
C选项，设，，

，
当且仅当时等号成立，即当时，取得最小值，
取得最大值，由于，所以最大角为锐角，所以C选项错误.
D选项，在“黄金椭圆”中，若是左焦点，E，H分别是右顶点和上顶点，
，
，
所以，所以，D选项正确.
故选：BD

三、填空题
13．与向量共线的单位向量是______.
【答案】或
【分析】由求得正确答案.
【详解】依题意，向量共线的单位向量是，
或
故答案为：或
14．与点和点连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是______.
【答案】 ()
【分析】利用斜率的公式进行求解即可.
【详解】设，则，，
∵动点与定点、的连线的斜率之和为，
∴，∴，即，且，
综上点的轨迹方程是 ().
故答案为： ()
15．已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是______.

【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，结合二次函数的性质求得长的取值范围.
【详解】设是的中点，则，
由于平面，平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，
设；设，
则，
设与所成角为，则，
，
整理得，
函数的开口向下，对称轴为，
所以函数在上递增，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：

16．已知椭圆，，为其左右焦点，动直线l为此椭圆的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则S的取值范围为_____________．
【答案】
【分析】本题的关键点是根据椭圆的光学性质可得：对称点，切点，左焦点三点共线，根据斜率相等得到方程，结合点中点B在切线方程上得到的方程，求出点的轨迹方程，然后根据S的特点，从点到直线距离入手，求出S的取值范围.
【详解】因为，所以，故，因为右焦点关于直线l的对称点，设切点为 ，由椭圆的光学性质可得：，，三点共线，直线l方程为，则点中点B在切线方程上，其中代入切线方程中，得：①，由，，三点共线可得：，即②，联立①②可得：，，因为在椭圆方程上，可得：③，把，代入③中，解得：，即点的轨迹方程是以为圆心，半径为4的圆，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为，则，即

故答案为：
【点睛】本题是圆锥曲线的光学性质的运用，即从椭圆一个焦点出发的光线经过椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点，这在焦点关于切线对称的问题上，属于一个隐含条件，只有用到这个性质，才能顺利的解决问题；当然双曲线和抛物线都有类似的性质，双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.

四、解答题
17．已知圆.
(1)若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程；
(2)若圆与圆C相切，求实数m的值.
【答案】(1)或
(2)或

【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况；
（2）分内切和外切，结合公式，列式求值.
【详解】（1）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意.
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，
则，解得，所以直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
（2）圆的方程可化为.
若圆与圆C外切，则，解得.
若圆与圆C内切，则，解得.
综上，或.
18．如图，直三棱柱中，，，E是BC中点.

(1)若棱上存在一点M，满足，求AM的长；
(2)求直线BC与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)存在，且
(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用求得.
（2）根据向量法求得直线BC与平面所成角的余弦值.
【详解】（1）依题意，建立如图所示空间直角坐标系，
，设，
,
若，则，
则棱上存在一点M，满足，且.
（2），
设平面的法向量为，
则，故可取，
设直线BC与平面所成角为，
，所以.
即直线BC与平面所成角的余弦值为.

19．①过且垂直于长轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3；②P为椭圆C上一点，面积最大值为.在上述两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
设椭圆左右焦点分别为，，上下顶点分别为，，短轴长为，______.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与C交于不同的两点M，N，若，试求内切圆的面积.
【答案】(1)条件选择见解析，椭圆的标准方程为
(2)

【分析】（1）根据所选条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）求得直线的方程，并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，结合的面积求得其内切圆的面积.
【详解】（1）依题意，
若选①：由，，
所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
若选②：对于，
当最大，也即是椭圆的上下顶点时，
三角形的面积取得最大值为，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，
由于，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
由消去并化简得，，
设，则，
所以，
到直线即的距离为，
所以三角形的面积为，
设三角形的内切圆半径为，
则，
所以内切圆的面积为.
20．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AC=4，AB=2，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在线段AC上移动，P为棱AA1的中点.

(1)若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：AD∥平面B1PQ;
(2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为，求点P到平面BQB1的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）取BB1中点E，连接AE，EH，结合已知条件易得EH∥B1Q、AE∥PB1，根据线面平行的判定可证面，面，再由面面平行的判定及性质即可证结论.
（2）连接PC1，AC1有PC1⊥AA1，由面面垂直的性质可得PC1⊥面ABB1A1，过P作PR⊥AA1交BB1于点R，进而构建空间直角坐标系，设=λ=λ(0,-2,2)，λ∈[0,1]，确定相关点坐标，求面PQB1、面AA1C1C的法向量，根据已知二面角的余弦值求参数λ，进而可得，连接BP，应用等体积法求P到平面BQB1的距离.
【详解】（1）如图，取BB1中点E，连接AE，EH，由H为BQ中点，则EH∥B1Q.
在平行四边形AA1B1B中，P、E分别为AA1，BB1的中点，则AE∥PB1，
由EH∩AE=E且面，面，
所以面，面，又PB1∩B1Q=B1，
所以面EHA∥面B1QP，而AD面EHA，
∴AD∥面B1PQ.

（2）连接PC1，AC1，由四边形A1C1CA为菱形，则AA1=AC=A1C1=4.
又∠C1A1A=60°，则△AC1A1为正三角形，P为AA1的中点，即PC1⊥AA1.
因为面ACC1A1⊥面ABB1A1，面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1，PC1面ACC1A1，
∴PC1⊥面ABB1A1，在面ABB1A1内过P作PR⊥AA1交BB1于点R.
建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P(0,0,0)，A1(0,2,0)，A(0,-2,0)，C1(0,0,2)，C(0,-4,2)，

设=λ=λ(0,-2,2)，λ∈[0,1]，则Q(0,-2(λ+1),2λ)，
∴=(0,-2(λ+1),2λ).
∵A1B1=AB=2，∠B1A1A=60°，则B1(,1,0)，
∴=(,1,0).
设面PQB1的法向量为=(x,y,z)，则,令x=1，则=1,-,-，
设面AA1C1C的法向量为=(1,0,0)，二面角B1-PQ-C1的平面角为θ，则，解得λ=或λ=-(舍)，
∴=且Q(0,-3,)，又B(,-3,0)，
∴=(,0,-)，故||=，=(,4,-)，故||=.
所以，即，
连接BP，设P到平面BQB1的距离为h，则××4××=××4××h，
∴h=，即点P到平面BQB1的距离为.
21．1.已知椭圆的右焦点为，下顶点为，离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与轴交于点，过作斜率为的直线交椭圆于不同的两点，延长交于点，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用离心率和求出与的值，进而求出椭圆方程；（2）设出点和点坐标，利用直线方程得到的横坐标，进而求出与的长，根据题意设出直线BC：，联立后利用韦达定理，再结合求出的与的长，不等式，得到关于的不等关系，解出答案，结合得出的k的取值范围，最终确定答案
【详解】（1）由题意得：，，故，由得：，故椭圆的标准方程为
（2）如图所示，，设，，因为直线BC的斜率存在，所以，故直线：，令得：，同理，设直线BC：，由，可得：，故，解得：或.
又，，故，所以，

故，解得：，综上：

22．已知点Q在圆上，，BQ的垂直平分线交AQ于点M，设点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)记曲线C的左右顶点分别为，直线l交曲线C于P，Q两点，且，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由.
【答案】(1)
(2)直线过定点，定点为

【分析】（1）结合椭圆的定义求得曲线的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程并与曲线的方程联立，结合进行化简，从而求得定点的坐标.
【详解】（1）圆的圆心为，半径，
依题意可知，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹是椭圆，
，
所以曲线的方程为.
（2）由（1）得，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
由解得，则，
由得，
由于，所以解得，所以直线的方程为过点.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去并化简得，
，①，
设，
则.
由得，，
整理得，
，
整理得，
由于不恒为，所以，，
代入①得，符合，
所以直线的方程为，过点，
综上所述，直线过定点，定点为.
【点睛】方法点睛：在研究动点的轨迹方程时，主要根据题目所给条件，结合圆锥曲线的定义，或者题目所给等量关系式，来求得曲线的轨迹方程.研究直线和圆锥曲线交点问题，要注意直线的斜率是否存在.