四川省南充市嘉陵区实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份四川省南充市嘉陵区实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省南充市嘉陵区实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（    ）
A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件
B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件
C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨
D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次
3．如图， 将 绕着点逆时针旋转后得到， 若， 则的度数为 （　　）

A． B． C． D．
4．某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（    ）
A．x（x﹣1）＝21 B．x（x﹣1）＝21 C．2x（x﹣1）＝21 D．x（x＋1）＝21
5．如图，C是圆O劣弧AB上一点，∠ACB＝130°，则∠AOB的度数是(   )

A．100° B．110° C．120° D．130°
6．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（　　）

A． B． C． D．1
7．将二次函数y＝向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（　　）
A． B．
C． D．
8．关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
9．如果是一元二次方程的两个根，那么多项式的值等于（    ）
A．2018 B．2012 C． D．
10．如图，边长为1的正方形ABCD顶点A（0，1），B（1，1）；一抛物线y=ax2+bx+c过点M（﹣1，0）且顶点在正方形ABCD内部（包括在正方形的边上），则a的取值范围是（　　）

A．﹣2≤a≤﹣1 B．﹣2≤a≤﹣ C．﹣1≤a≤﹣ D．﹣1≤a≤﹣

二、填空题
11．若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___．
12．已知关于的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则另一个根为____．
13．已知一元二次方程 ， 随机从四个数中选一个作为的值． 则可以使得该方程有解的概率为 ____________．
14．如图，四边形的各边都与圆相切，它的周长为14，若，则的长为______．

15．已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是 ___________cm．
16．如图，是二次函数的图象，①；②；③；④，⑤．其中正确结论的序号是______．


三、解答题
17．解下列关于x的方程．
(1)；
(2)．
18．已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，函数的最小值为．
(1)求此函数的解析式；
(2)当y随x的增大而增大时，x的取值范围为______（请直接写出答案）．
19．2021年我省开始实施“ 3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（ 必考）， 物理和历史两个科目中任选 1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门，共计6门科目，总分750 分， 假设小丽在选择科目时不考虑主观性．
（1）小丽选到物理的概率为 ；
（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、 地理、 化学、生物四门科目中任选 2门选到化学、生物的概率．
20．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在第四象限．

(1)请画出关于x轴对称的；
(2)请画出绕原点顺时针旋转90°后的；
(3)求出（2）中线段AB所扫过的面积．
21．已知关于方程，其中是实数．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程有两个实数根为，求代数式的最小值．
22．如图， 在 中，是直径，是弦，平分且与交于点， 过作交的延长线于点．

(1)求证： 是的切线；
(2)若 ， 求的直径．
23．某景区纪念品超市以50元每个的价格新进一批工艺摆件，经过一段时间的销售发现日销量（个）与单个售价（元）之间的函数关系如下图．（景区规定任何商品的利润率不得高于）

（1）根据图象，直接写出与的函数关系式；
（2）该超市要想每天获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
24．如图，在边长为4的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
25．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形AOCD面积的最大值；
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2．A
【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【详解】解：A、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故A符合题意；
B、成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合题意；
C、襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天降雨的可能性是60%，故C不符合题意；
D、若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次不一定中奖1次，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3．A
【分析】由将绕着点B逆时针旋转45°后得到，可求得，然后由三角形内角和定理，求得的度数，继而求得答案．
【详解】将绕着点逆时针旋转后得到，
，
，


故选A
【点睛】此题考查了旋转的性质以及三角形内角和定理．注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键．
4．B
【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数为，由此列出方程即可得．
【详解】解：由题意，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
则可列方程为，
故选：B．
【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．
5．A
【分析】作圆周角∠ADB，根据圆内接四边形性质求出∠D，根据圆周角定理求出的度数即可．
【详解】解：如图，在优弧上任意取一点
∵∠ACB＝130°，四边形是圆内接四边形，
∴
∵
∴．

故选A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，添加辅助线构造圆周角是解题的关键．
6．B
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C，
画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．
7．B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将二次函数y＝向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为，
故选：B．
【点睛】本题考查了是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8．C
【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得：方程可化为，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，
设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，
∴该方程的两个根为一正一负，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
9．A
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，，进而得出，则原式化简为，接着利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，，
∴，
∴
，

∵m、n是一元二次方程即的两个实数根，
∴，，
∴原式．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．
10．D
【分析】当顶点与A点重合，可以知道顶点坐标为（0，1）且抛物线过（-1，0），由此可求出a；当顶点与B点重合，顶点坐标为（1，1）且抛物线过（-1，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．
【详解】解： ∵顶点是矩形ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，
∴当顶点与A点重合，顶点坐标为（0，1），则抛物线解析式y=ax2+1，
∵抛物线过M（-1，0），
∴0=a+1，
解得a=-1，
当顶点与B点重合，顶点坐标为（1，1），则抛物线解析式y=a（x-1）2+1，
∵抛物线过M（-1，0），
∴0=4a+1，
解得
∵顶点可以在矩形内部，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了抛物线的解析式y=ax2+bx+c中a、b、c对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决．
11．2
【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．
【详解】解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，
∴a-1+5=0，5+1-b=0，
∴a=-4，b=6，
∴a+b=2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．
12．2
【详解】解：设方程的另一个根为x2
因为一元二次方程x2-3x+m=0的一个根是1．
根据根与系数的关系，1+x2=3，得x2=3-1=2．
故答案是：2．

13．##0.75
【分析】先根据一元二次方程 有解求出，根据概率知识即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，即时，
∴若方程有解，共有 4 种等可能的结果数， 其中满足的结果有3种等可能性，
∴可以使得方程有解的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，求简单随机事件的概率等知识，熟知两个知识点是解题关键．
14．3
【分析】设边的切点分别为，由切线长定理可知，再根据四边形的周长为14，可以推出，由此即可得到答案．
【详解】解：设边的切点分别为，
由切线长定理可知，
∵四边形的周长为14，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．

【点睛】本题主要考查了切线长定理，熟知切线长定理是解题的关键．
15．1
【分析】根据展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，计算即可得出答案．
【详解】解：展开图扇形的弧长．
根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
∴这个圆锥的底面圆半径是（cm）．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥原图与展开图扇形之间的关系进行求解是解决本题的关键．
16．③④⑤
【分析】根据题意和函数图象，可以判断a、b、c的正负情况，当时，当时 ，函数图象与x轴两个交点，对称轴在的左边，从而逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】解：由图象可得，
∵对称轴在y轴的右边，
∴
∴，故①不符合题意；
当时， ，故②不符合题意；
当时，，故③符合题意；
函数图象与x轴有两个交点，则，故，故④符合题意，
由抛物线的对称轴为：
∴
∴ 故⑤符合题意；
故答案为：③④⑤．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
17．(1)，
(2)

【分析】（1）移项、提取公因式、令各因式值为0，计算求解即可；
（2）移项后求解的值，方程的解为计算求解即可．
【详解】（1）移项，得
由此可得

解得，．
（2）移项，得
，，

∴
∴．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活运用解一元二次方程的方法；如：公式法、配方法、因式分解法等．
18．(1)
(2)

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过点，
∴，解得
∴．
（2）∵二次函数，对称轴为直线，
∴开口向上，
∴y随x的增大而增大时，．
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是求出二次函数解析式．
19．（1）；（2）
【分析】（1）由题意可知小丽只有两种可选择：物理或历史，即可求解；
（2）从所有等可能结果中找到同时包含生物和化学的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】（1）因为小丽只有两种可选择：物理或历史，所以小丽选到物理的概率为
（2）设思想政治为 A， 地理为 B，  化学为 C， 生物为 D，画出树状图如下：

共有 12 种等可能情况， 选中化学、生物的有2 种，
∴P（选中化学、生物）==.
【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）分别找到点A、B、C三点关于x轴对称的点A1，B1，C1，顺次连接即可；
（2）分别找到点A、B、C三点绕原点顺时针旋转90°后的点A2，B2，C2，顺次连接即可；
（3）线段AB所扫过的面积为B点扫过的扇形面积减去A点扫过的扇形面积，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；

（3）解：∵，
∴线段AB所扫过的面积为
【点睛】此题考查了坐标与图形，作图－轴对称变换，旋转变换，以及扇形面积计算等知识，准确画出图形是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；
（2）将将代入原方程得到，再根据方程得到，，代入代数式，配方可得m的最小值．
【详解】解：（1）△=
=
=
=
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵为方程的实数根，
∴将代入原方程得：
，，
∴，
==，
∵，，
原式=
=
=
故原代数式的最小值为．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
22．(1)证明见解析
(2)10

【分析】（1）连接 ，由题意可得，可证，根据切线的判定可证得结论；
（2）过点 作， 垂足为可证明四边形是矩形，可得，再根据勾股定理可求长，即可求的直径．
【详解】（1）如图， 连接 ，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）如图， 过点 作， 垂足为
，
四边形是矩形，
，
，      
，
，
在 Rt 中，，    
，
，
，
的直径是 10 ．

【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
23．（1）；（2）销售单价应定为70元；（3）销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元
【分析】（1）设y=kx+b，将点(60，140)，(70，120)代入即可求出y与x的函数关系式；
（2）由题意得：利润=单个利润×日销量，根据等量关系列方程，即可求解．
（3）设每天获得的利润为W元，由题意得W与x的二次函数关系式，分析二次函数的图像与性质，以及二次函数的最值，即可求解．
【详解】解：（1）设（，为常数）将点，代入得，
解得
∴y与x的函数关系式为：y=−2x+260；
（2）由题意得：，化简得：，
解得：，，
∵，且，
∴（舍去），
答：销售单价应定为70元．
（3）设每天获得的利润为元，由题意得，
∵，抛物线开口向下，
∴有最大值，当时，，
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确列出函数关系式，是解题的关键.
24．(1)见解析；
(2)

【分析】（1）由旋转的性质可知，从而得到，通过证明即可；
（2）设，则，，在中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵将绕点A顺时针旋转90°得到，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）设，则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
即．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
25．(1)y＝x2＋x−3
(2)13.5
(3)存在P1（−3，−3），P2（，3），P3（,3）

【分析】（1）根据OC＝3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，−3），把点B，C的坐标代入y＝ax2＋3ax＋c，求出a点坐标即可求出函数解析式；
（2）过点D作DE∥y轴分别交线段AC于点E．设D（m，m2＋2m−3），然后求出DE的表达式，把S四边形ABCD分解为S△ABC＋S△ACD，转化为二次函数求最值；
（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，由题意可知点P2、P3的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．
【详解】（1）解：（1）∵B的坐标为（1，0），
∴OB＝1．
∵OC＝3OB＝3，点C在x轴下方，
∴C（0，−3）．
∵将B（1，0），C（0，−3）代入抛物线的解析式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2＋x−3．
（2）解：如图1所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．

∵x＝−＝，B（1，0），
∴A（−4，0）．
∴AB＝5．
∴S△ABC＝AB•OC＝×5×3＝7.5．
设AC的解析式为y＝kx＋b．
∵将A（−4，0）、C（0，−3）代入得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝−x−3．
设D（a，a2＋a−3），则E（a，−a−3）．
∵DE＝−a−3−（a2＋a−3）＝−（a＋2）2＋3，
∴当a＝−2时，DE有最大值，最大值为3．
∴△ADC的最大面积＝DE•AO＝×3×4＝6．
∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=7.5+6=13.5，
∴四边形ABCD的面积的最大值为13.5．
（3）解：存在．
①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．

∵C（0，−3），令x2＋x−3＝−3，
∴x1＝0，x2＝−3．
∴P1（−3，−3）．
②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC＝P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC＝P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．
∵C（0，−3），
∴P2，P3的纵坐标均为3．
令y＝3得：x2＋x−3＝3，解得；x1＝，x2＝．
∴P2（，3），P3（,3）．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（−3，−3），P2（，3），P3（,3）．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答（3）时要注意进行分类讨论．