河南省商丘市梁园区第十六中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

这是一份河南省商丘市梁园区第十六中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省商丘市梁园区第十六中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列图案中是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
2．已知一粒大米的质量约为千克，这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．一个多边形的内角和为540°，则它是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．不是五边形
4．下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A．（a2b）2＝a2b2 B．a6÷a2＝a3
C．（3xy2）2＝6x2y4 D．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m5
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为(　 　)

A．30° B．40° C．60° D．80°
7．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明ΔABC≌ΔEDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（   ）

A．HL B．SAS C．SSS D．ASA
8．如图，4张边长分别为、的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（    ）

A． B．
C． D．
9．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（　　）

A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4）
10．如图，中，，平分与相交于点，则的长为（　　）

A．4 B．13 C．6.5 D．7

二、填空题
11．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
12．如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是_____．
13．如图，在ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝_____．

14．若关于x的方程无解，则a的值是___．
15．如图，直角中，斜边，为直线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是_________．


三、解答题
16．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）分解因式：；
（4）分解因式：．
17．解分式方程：
（1）；
（2）．
18．（1）已知，求的值；
（2）先化简：，然后在，0，1，2四个数中给选择一个你喜欢的数代入求值．
19．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BE＝CD，点F在AE的延长线上，AF＝AC．

(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)若∠BAD＝18°，求∠AFC的度数．
20．作图题：

(1)如图①，已知：．求作：射线，使平分；（要求：尺规作图，不写作法，但需保留作图痕迹）
(2)题（1）中作图的依据是全等三角形判定方法中的______；
(3)在图②中作出，使它与关于轴对称；
(4)在图②中的轴上找到一点，使的周长最小．
21．在近期“抗疫”期间，学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1元，且用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同．
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过6600元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
22．如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．

(1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：______；
(2)如图（3），中，，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长；
(3)如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：．
23．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）OA＝________，OB＝_________．
（2）连接PB，若△POB的面积为3，求t的值；
（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样点P，使△EOP≌△AOB，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．


参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A.不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使得对折后的部分可以重合，因此不符合题意．
B.不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使得对折后的部分可以重合，因此不符合题意．
C.是轴对称图形，沿着中间的一条直线对折，上下部分正好重合，故满足题意．
D.不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使得对折后的部分可以重合，因此不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了对称轴图形的概念，掌握对称轴图形的概念，寻找对称轴，使得折叠后的两部分重合才是解题的关键．
2．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：由题意可知，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．B
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式计算即可得解．
【详解】设它是n边形，
根据题意得，（n﹣2）•180＝540，
解得n＝5．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形内角和定理，掌握n边形的内角的和等于: (n大于等于3)是解题的关键.
4．D
【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、是最简分式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
5．D
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【详解】A、积的乘方等于乘方的积，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
6．C
【分析】先根据三角形外角性质，用∠C表示出∠AED，再根据等边对等角和三角形内角和定理，列出等式即可求出∠C的度数，再求∠DAE．
【详解】解：设∠C=x，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x，
∴∠AED=x+10°
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=x+10°
根据三角形的内角和定理，得x+x+(20°+x+10°)=180°
解得x=50°，
∴∠DAE=50°+10°=60°
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，求出∠C的度数是解答本题的关键．
7．D
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，根据已知选择判断方法．
【详解】因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC=90，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选D
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．A
【分析】根据外面大正方形的面积减去中间小正方形的面积等于4个长方形的面积即可得．
【详解】解：由图可知，外面大正方形的面积减去中间小正方形的面积等于4个长方形的面积，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，找出图中的面积关系是解题关键．
9．A
【分析】根据全等三角形的判定定理画图并逐一判断即可.
【详解】解:如图所示:

∵A（2，0），B（0，4）
∴OA=2，OB=4，∠AOB=90°
当C1坐标为（0，﹣4）时,B、O、C1同一条直线上，不能构成三角形，故选A；
当C2坐标为（﹣2，0）时，OC2= OA=2，∠C2O B =∠AOB=90°，OB=OB
∴△C2O B≌△AOB，故不选B；
当C3坐标为（2，4）时，BC3= OA=2，∠C3 B O =∠AOB=90°，OB=BO
∴△C3BO≌△AOB，故不选C；
当C4坐标为（﹣2，4）时，BC4= OA=2，∠C4BO =∠AOB=90°，OB=BO
∴△C4BO≌△AOB，故不选D.
故选A.
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，掌握SAS判定两个三角形全等是解决此题的关键.
10．D
【分析】延长交于，延长交于，如图所示，根据题意得到是等边三角形，利用等边三角形的性质有，再根据等腰三角形三线合一得到，设，则，从而由得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：延长交于，延长交于，如图所示：

∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，平分，
∴，即，
设，
在中，，则，
由得，，解得，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形背景下求线段长，涉及等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线定义、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握特殊三角形的判定与性质是解决问题的关键．
11．x≠5
【详解】试题分析：依题意得：x﹣5≠0，解得x≠5．故答案为x≠5．
考点：分式有意义的条件．

12．64
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵x2+16x+k是一个完全平方式，
∴
故答案是：64．
【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握计算公式．
13．115°
【分析】由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，由三角形的内角和定理可求出x+y＝65°，则可得出答案．
【详解】解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
【点睛】本题考查等边对等角、三角形内角和等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．1或2##2或1
【详解】解：方程去分母，得：ax=4+x﹣2，
解得，
∴当a=1时，方程无解．
把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2．
综上所述，当a=1或2时，方程无解．
故答案为：1或2
15．
【分析】取中点，连接，如图所示，根据直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半，以及含的直角三角形性质：所对直角边是斜边的一半，再根据旋转性质得到，从而，结合两个三角形全等的判定定理得到，进而有，即当取最小值时，有最小值，根据点到直线最短距离是垂直时得到可知当时，有最小值，从而利用直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半即可得到答案．
【详解】解：取中点，连接，如图所示：

∵，点是中点，，
∴，，，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即当取最小值时，有最小值，
当时，有最小值，此时，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及直角三角形斜边中线等于斜边一半，含的直角三角形性质，旋转性质、全等三角形的判定与性质、点到直线最短距离等知识，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解决问题的关键．
16．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）先计算括号内的同底数幂的乘法、幂的乘方，再计算括号内的整式减法，然后计算同底数幂的除法即可得；
（2）先计算平方差公式和完全平方公式，再计算整式的加减即可得；
（3）先利用平方差公式进行因式分解，再计算整式的加减，然后提取公因式即可得；
（4）综合利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可得．
【详解】解：（1）原式

；
（2）原式

；
（3）原式


；
（4）原式
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、乘法公式、因式分解等知识点，熟练掌握整式的运算法则和因式分解的方法是解题关键．
17．（1）；（2）无解 ．
【分析】（1）方程两边同乘x-3后化为整式方程，解整式方程后再检验即可得到结论；
（2）方程两边同乘（x+2）（x-2）后化为整式方程，解整式方程后再检验即可得到结论．　
【详解】（1）解：去分母﹐得
解得
检验：当时，
所以是原方程的解
（2）去分母﹐得
解这个方程，得
经检验是原方程的增根，所以原分式方程无解
【点睛】本题考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的求解方法和步骤是解题关键．
18．（1）；（2），选择，式子的值为1（或选择，式子的值为3）
【分析】（1）结合，利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则即可得；
（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择合适的的值代入计算即可得．
【详解】解：（1）

，
，
，
，
解得；
（2）




，
，
，
选择，则原式．
（或选择，则原式）．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、分式的化简求值，熟练掌握各运算法则是解题关键．
19．(1)见解析
(2)81°

【分析】（1）根据等边对等角和等式的性质以及SAS证明△ABD≌△ACE即可．
（2）由△ABD≌△ACE，推出∠BAD=∠FAC=18°，进而利用等腰三角形的角解答．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵BE＝CD，
∴BE﹣DE＝CD﹣DE，
即BD＝CE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠BAD＝∠FAC＝18°，
∵AF＝AC，
∴∠AFC＝．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于基础题目．
20．(1)图见解析
(2)定理
(3)图见解析
(4)图见解析

【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法即可得；
（2）根据定理即可得；
（3）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得；
（4）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点．
【详解】（1）解：如图①，射线即为所求．

（2）解：如图①，连接，

由尺规作图可知，，
在和中，，
，
，
即射线平分，
则题（1）中作图的依据是全等三角形判定方法中的定理，
故答案为：定理．
（3）解：如图②，即为所求．

（4）解：如图②，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点．

【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、三角形全等的判定与性质、画轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握尺规作图和轴对称图形的画法是解题关键．
21．（1）A：2.5元，B：1.5元；（2）1200个
【分析】（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1）元，根据数量=总价÷单价，结合用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，根据总价=单价×数量，结合总价不超过6600元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】解：（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1）元，
依题意可得：
解得：x=1.5，
经检验，x=1.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+1=2.5，
∴A型口罩的单价是2.5元，B型口罩的单价是1.5元；
（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，
依题意得：，
解得：，
∴增加购买A型口罩的数量最多是1200个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．(1)
(2)
(3)证明见解析

【分析】（1）首先利用长方形的面积公式，把大长方形的面积表示出来，然后根据大长方形的面积也可以表示成一个小正方形面积与三个长方形的面积之和，分别表示出一个小正方形面积与三个长方形的面积，最后再根据同一图形（大长方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，即可得出等式．
（2）首先利用直角边，把的面积算出来，然后根据斜边的高，把的面积表示出来，最后再根据同一图形的面积，用两种不同的方法求得的结果相等，即可得出等式．解出即可得到的长．
（3）利用，分别表示出、、的面积，化简即可得出相应的结论．
【详解】（1）大长方形的面积可以表示为，
大长方形的面积也可以表示成一个小正方形面积与三个长方形的面积之和，即．
根据同一图形（大长方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，
可得等式为：．
故答案为：(x+2)(x+3)=x2+5x+6；
（2）中，∵，，
∴，
又∵是斜边边上的高，
，
∴，
∵两种不同的方法求得的结果应该相等，
可得：，
解得：；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
又∵，
可得：.
【点睛】本题考查了几何图形与整式乘法，解本题的关键在熟练掌握等面积法求线段的长．
23．（1）6，3；（2）t＝4或8；（3）当t＝3或9时，△POQ与△AOB全等
【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出m、n；
（2）分点P在线段AO上、点P在线段AO的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算；
（3）分点P在线段AO上、点P在线段AO的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，|m﹣n﹣3|≥0，（2n﹣6）2≥0，
∴|m﹣n﹣3|＝0，（2n﹣6）2＝0，
∴m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0，
解得，m＝6，n＝3，
∴OA＝6，OB＝3，
故答案为：6；3；
（2）当点P在线段AO上时，OP＝6﹣t，
则×（6﹣t）×3＝3，
解得，t＝4，
当点P在线段AO的延长线上时，OP＝t﹣6，
则×（t﹣6）×3＝3，
解得，t＝8，
∴当t＝4或8时，△POB的面积等于3；
（3）如图1，当点P在线段AO上时，
∵△POE≌△BOA，
∴OP＝OB，即6﹣t＝3，
解得，t＝3，
如图2，当点P在线段AO的延长线上时，
∵△POE≌△BOA，
∴OP＝OB，即t﹣6＝3，
解得，t＝9，
∴当t＝3或9时，△POQ与△AOB全等．


【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质、绝对值的非负性，准确计算是解题的关键．