2022-2023学年上海市鲁迅中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市鲁迅中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．投掷一枚骰子，下列事件中是对立事件的是（    ）

A．向上的点数是1与向上的点数是5

B．向上的点数小于3与向上的点数大于3

C．向上的点数是奇数与向上的点数是偶数

D．向上的点数大于3与向上的点数小于5

【答案】C

【分析】根据对立事件的条件进行判断；

【详解】根据对立事件的概念可知必有一个发生且有且仅有一个发生

A：事件A和事件B有可能同时不发生，故A错误；

B：有可能投掷的点数是3，事件A和事件B有可能同时不发生，故B错误；

C：事件A和事件B满足对立事件的条件，故C正确；

D：事件A发生，事件B有可能同时发生，不满足对立事件的条件，故D错误.

故选：C

2．如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点

【答案】B

【分析】根据异面直线的定义判断即可.

【详解】A选项：四边形是平行四边形，与相交，故A错；

C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错；

D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错；

利用排除法可得选项B正确.

故选：B.

二、填空题

3．不可能事件的概率为___________（填数字）.

【答案】0

【分析】不可能事件是指不可能发生的事件，由此可得答案;

【详解】不可能事件是指不可能发生的事件，故其发生的概率为0，

故答案为:0

4．过平面外一点与这个平面平行的直线有___________条

【答案】无数

【分析】结合平面的基本性质，以及线，面平行判定定理和性质定理，即可得到结论.

【详解】如图所示，因为点，在平面作两条相交直线，

由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作，

由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作，

因为且，设直线与确定平面，则平面，

在平面内过点的所有直线都平行与平面，

故过平面外一点能作出无数条直线和这个平面平行.

故答案为：无数条.

5．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B= ___________;

【答案】

【分析】由角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，可知两角相等或互补，从而得解.

【详解】

若角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且方向相同，则∠A与∠B相等

此时；

②当角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A与∠B互补，此时.

故答案为70或110.

【点睛】本题主要考查了平行公理，属于基础题.

6．两个事件､满足，且和独立，则___________.

【答案】

【分析】由已知可得，根据相互独立事件概率的乘法公式可得，再由对立事件的概率公式即可求解.

【详解】因为，所以，

因为两个事件､相互独立，则､相互独立，

所以，

所以，

故答案为：.

7．已知一个样本1､3､4､a､7，它的平均值是4，则这个样本的方差是___________.

【答案】

【分析】结合平均数的概念求出的值，进而代入方差的计算公式即可求出结果.

【详解】因为一个样本1､3､4､a､7，它的平均值是4，则，则，

所以方差为，

故答案为：.

8．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________人．

【答案】12

【分析】根据分层抽样的抽样原理即可求解．

【详解】采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为．

故答案为：12．

9．教育部门对某校学生的阅读素养进行调研，在该校随机抽取了100 名学生进 行百分制检测，现将所得的成绩按照 ，分成 6 组，并根据所得数据作出了频率分布直方图 (如图所示)，则成绩在这组的学生人数是________.

【答案】20

【分析】根据频率分布直方图求出成绩在这组的频率，从而可得出答案.

【详解】解：由频率分布直方图可知，

成绩在这组的频率为，

所以成绩在这组的学生人数为（人）.

故答案为：20.

10．某社区安置了15个体温检测点，每个检测点每天检测的人数都是随机的，不受位置等因素影响，如图是由2021年1月1日检测人数绘制的茎叶图，则某个检测点在这一天检测人数达145及以上的概率是________．

【答案】

【分析】根据茎叶图中的数据即可求解.

【详解】由茎叶图可知：

检测人数达145及以上的有8个检测点，占全部的，

由古典概型可知：

这个检测点在这一天检测人数达145及以上的概率为.

故答案为：

11．从正方体的六个面中任意选取3个面，其中有2个面不相邻的概率为________．

【答案】##0.6

【分析】分两步：第1步，先选不相邻的两个面，共有3种选法(都是相对的面)；第2步，再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法；再由分步乘法原理可得总的选法种数，再进一步除以，即可计算出所求概率.

【详解】分两步：第1步，先选不相邻的两个面，共有3种选法(都是相对的面)；

第2步，再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法；

这样前后选出的两个面符合题目要求．

所以共有选法种数为，

故所求概率为：，

故答案为：.

12．如图，已知，D是中点，则点B到平面的距离是___________.

【答案】##

【分析】证明，得线面垂直，从而得点到平面的距离，由此易得其长度．

【详解】因为，所以，

所以，，

又D是中点，所以，

，平面，所以平面，的长就是点B到平面的距离，

由已知，，

故答案为：．

三、解答题

13．设甲、乙两射手独立地射击同一目标，甲的命中率为，乙的命中率为，求：

(1)在甲、乙各一次的射击中，目标被击中的概率；

(2)在甲、乙各两次的射击中，甲比乙多击中目标的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；

（2）依题意分甲击中次、乙击中次或甲击中次、乙击中次或甲击中次、乙击中次种情况讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.

【详解】（1）解：甲、乙各一次的射击中目标被击中的对立事件为甲、乙均没有射击中目标，

所以目标被击中的概率.

（2）解：依题意可得甲击中次，乙击中次或甲击中次，乙击中次或甲击中次，乙击中次，

当甲击中次，乙击中次时概率，

当甲击中次，乙击中次时概率，

当甲击中次，乙击中次时概率，

所以在甲、乙各两次的射击中，甲比乙多击中目标的概率.

14．同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数.

(1)试表示 “出现两个1点”这个事件相应的样本空间的子集；

(2)求出现两个1点”的概率；

(3)求“点数之和为7”的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由题意直接写出基本事件即可得出答案.

（2）样本空间一共有个基本事件,由（1）可得答案.

（3）列出“点数之和为7”的基本事件，从而可得答案.

【详解】（1）“同时抛掷两颗骰子”的样本空间是{1，2，…，6；1，2，…，6}，其中i、j分别是抛掷第一颗与第二颗骰子所得的点数.

将“出现两个1点”这个事件用A表示，则事件A就是子集.

（2）样本空间一共有个基本事件，它们是等可能的，从而“出现两个1点”的概率为.

（3）将“点数之和为7”这个事件用B表示，则{，，，，，}，事件B共有6个基本事件，

从而“点数之和为7”的概率为.

15．如图，在正方体中.

(1)求异面直线和所成角的大小；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算可得，即得解；

（2）分别求解两个平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可

【详解】（1）

由正方体，故两两垂直，不妨令正方体边长为1

以为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

故

由于，故

异面直线和所成角的大小为

（2）由（1），

设平面的法向量为

，令，故

设平面的法向量为

，令，故

设二面角的平面角为，由图得二面角为钝角

故

故，即二面角的大小为

16．如图，在正方体中，是棱的中点.

(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

(2)求证：直线面.

【答案】(1)平面AEC，理由见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）以线面平行的判定定理去证明直线与平面平行即可；

（2）以线面垂直的判定定理去证明直线面即可.

【详解】（1）

连接BD，设，连接OE. 在中，O、E分别是BD、的中点，则.  

因为直线OE在平面AEC上，而直线不在平面AEC上，

根据直线与平面平行的判定定理，得到直线平面AEC.

（2）

正方体中，

故，又，故

同理

故，又，故

又

根据直线与平面垂直的判定定理，得直线平面.