2022-2023学年上海市徐汇中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市徐汇中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解．

【详解】由题意，若“直线与平面垂直”则“直线垂直于平面内无数条直线”成立的，所以充分性是成立的；

若“直线垂直于平面内无数条直线”则直线“直线不一定平面垂直”，所以必要性不成立，

所以“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”成立的充分不必要条件．

故选A．

【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

2．如图，、、、是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（    ）

A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直

【答案】A

【分析】如图，延长GM到N,使,连接AN,DN.由和分别平行于正方体的两条相交的对角线，从而得与相交．

【详解】如图，延长GM到N,使,连接AN,DN.

，AN∥FM,

∴A,B,N三点共线，

同理D,C,N三点共线，

与相交，

故选：．

【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

3．长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合中元素的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】建系，利用空间直角坐标系结合数量积的坐标运算理解分析.

【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，

∵，则对，均有，

故集合，只有一个元素.

故选：A.

4．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（    ）

A．23 B．24 C．26 D．27

【答案】D

【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.

【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，

因为，所以，

因为重叠后的底面为正方形，所以,

在直棱柱中，平面BHC，则,

由可得平面，

设重叠后的EG与交点为

则

则该几何体的体积为.

故选：D.

二、填空题

5．一个球的半径为，则其体积为_________．

【答案】##

【分析】利用球体的体积公式可求得结果.

【详解】由题意可知，该球的体积为.

故答案为：.

6．直线、确定一个平面，则、的位置关系为________.

【答案】平行或相交##相交或平行

【分析】利用平面的基本性质求解.

【详解】因为直线、确定一个平面，

所以、的位置关系为平行或相交，

故答案为：平行或相交

7．已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为___________；

【答案】

【分析】根据圆柱的侧面积公式计算可得.

【详解】圆柱底面积为，所以底面半径r为3，且圆柱的高h为4，所以圆柱的侧面积为.

故答案为：.

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ .

【答案】1

【分析】先根据侧面展开是面积为的半圆算出圆锥的母线，再根据侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长求解.

【详解】如图所示：

设圆锥的半径为r，高为h，母线长为l，

因为圆锥的侧面展开图是半径为l，面积为的半圆面，

所以，解得，

因为侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长，

所以，

故圆锥的底面半径.

【点睛】本题考查圆锥的表面积的相关计算.主要依据侧面展开的扇形的弧长即底面圆的半径，扇形的弧长和面积计算公式.

9．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，大小为________.

【答案】

【分析】根据题意,将几何体复原,根据正方体的性质可得△的形状,从而可得结果.

【详解】几何体复原如图所示:

则△是正三角形,所以.

故答案为 :.

【点睛】本题考查了由几何体的展开图复原几何体,考查了空间想象能力,正方体的结构特征,属于基础题.

10．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且直观图的面积为2，则该平面图形的面积为_________．

【答案】

【分析】把给定的斜二测直观图还原为原平面图形，再结合已知计算作答.

【详解】依题意，在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上取点A，使，在y轴正半轴上取点C，使，

过C作轴，使，连接AB，则直角梯形是直观图等腰梯形对应的原图形，如图，

等腰梯形的面积，则，

则直角梯形的面积，

所以该平面图形的面积为.

故答案为：

11．在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10，则这个点到二面角的棱的距离为___________.

【答案】20

【分析】画出简图，结合三角函数关系即可求解.

【详解】

如简图所示，两平面相交于点，，，，，则为二面角的平面角，则，即点到二面角的棱的距离为20.

故答案为：20

12．在菱形中，，，为菱形所在平面外一点，，，到直线距离为_________．

【答案】5

【分析】作，垂足为，可得就是到直线的距离.根据线面垂直的性质可得，，根据勾股定理即可求解.

【详解】如图，作，垂足为，

因为，即平面，且平面，

所以.

因为平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为,,所以.

因为平面，平面，所以.

所以.

故答案为:5.

13．如图，长方体中，，，则二面角的余弦值为_________．

【答案】

【分析】首先取的中点，连接，根据题意得到为二面角的平面角，再计算其余弦值即可.

【详解】取的中点，连接，如图所示：

因为长方体中，，，

所以，即.

，

所以，且.

所以为二面角的平面角，

.

故答案为：

14．如图，在正方体中，，中点为P，则过P､A､C三点的截面面积为___________.

【答案】

【分析】利用两平行直线确定一个平面的方法，作出截面图形为梯形，根据正方体棱长为1，求出梯形面积即可.

【详解】取的中点，连接，则有，

又，所以，梯形即为所求截面.

根据正方体的棱长等于1，求出梯形各边长，

，，，

所以梯形的高为，

面积

所以过、、三点的截面面积为

故答案为：.

15．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的母线长为______________.

【答案】9

【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为r，由题可得，即求.

【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为r，则，

∴.

故答案为：9.

16．如图，正方体则下列四个命题：

①点在直线上运动，三棱锥的体积不变；

②点在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变；

③点在直线上运动，二面角的大小不变；

④点是平面上到点和距离相等的动点，则的轨迹是过点的一条直线；

其中的真命题是________（请在横线上填上正确命题的序号）

【答案】①③④

【分析】利用锥体的体积公式可判断①的正误；利用线面角的定义可判断②的正误；利用二面角的定义可判断③的正误；利用空间中两点间的距离公式可判断④的正误.

【详解】①在正方体中，且，则四边形为平行四边形，，

平面，平面，所以，平面，

点在直线上运动，点到平面的距离为定值，

为定值，①正确；

设直线与平面所成的角为，

当点在直线上运动，点到平面的距离为定值，但在变，则不是定值，故直线与平面所成角的大小不是定值，②错；

设二面角的大小为，点在到面的距离不变，到的距离不变，故为定值，

所以二面角的大小不变，③正确；

设正方体边长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、，设点，

由可得，解得，

因此，的轨迹是过点的一条直线，④正确.

故答案为：①③④.

三、解答题

17．如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点．

(1)求四面体的体积；

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意可得平面，根据即可求解；

（2）连接,,可得为异面直线与所成的角或补角，利用勾股定理求出、及，在中利用余弦定理即可求.

【详解】（1）连接，因为、分别是棱、的中点，

所以平面，即平面.

因为正方体的棱长为4，所以.

所以.

（2）连接,,易知四边形为平行四边形，所以.

则为异面直线与所成的角或补角.

在中，,

,

.

则.

故异面直线与所成角的余弦值为.

18．在四棱锥中，底面是正方形，平面，，．

（1）分别取侧棱、中点、，证明：直线与平面平行；

（2）求四棱锥的表面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）根据线面平行判定定理即可证明；

（2）先证明的形状，再根据图形面积公式计算即可．

【详解】（1）连接，因为、分别为、中点，所以

又因为平面，面，所以平面；

（2）因为平面，平面，所以，同理

又平面，所以

又因为是正方形，所以，，所以平面

又平面，所以，同理

则四棱锥的表面积

19．如图，已知在圆锥中，为底面圆O的直径，点C为弧的中点，．

(1)证明：平面；

(2)若点D为母线的中点，求与平面所成角的正切值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】(1)由线面垂直，得线线垂直，进而证明线面垂直.

（2）∠ADO为AD与平面SOC所成角，解三角形，即可求出.

【详解】（1）因为SO⊥平面ABC，AB平面ABC，所以SOAB,因为C为的中点，所以AB⊥OC，又SO平面SOC，OC平面SOC, SOOC=O,

所以AB⊥平面SOC

（2）连结OD.因为AB⊥平面SOC,所以∠ADO为AD与平面SOC所成角，

设OA=a，则OC=a，SO=AB=2a，所以，所以,

,所以AD与平面SOC所成角的正切值为.

20．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.

(1)求这种“笼具”的体积（，结果精确到）；

(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（，结果精确到1元）

【答案】(1)（）

(2)（元）

【分析】（1）由题意即可求出底面半径，圆锥的高，则可计算出“笼具”的体积；

（2）由底面半径，圆锥的高，则可计算出“笼具”的表面积，则可计算出50个“笼具”的造价.

【详解】（1）设圆柱的底面半径为，圆锥的高为.

由题意得，，

所以，，

所以“笼具”的体积为（）.

（2）圆柱的侧面积为（），

圆柱的底面积为（），

圆锥的侧面积为（），

所以“笼具”的表面积为（），

故制作50个“笼具”共需（元）.

21．如图，是底面边长为1的正三棱锥，D､E､F分别为棱长上的点，截面底面ABC，且棱台与棱锥的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

(1)证明：为正四面体；

(2)若，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(3)设棱台体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由（直平行六面体指侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱）

【答案】(1)见解析；

(2)；

(3)存在，其他见解析

【分析】（1）由棱长和相等结合截面底面ABC，求得，即可得证；

（2）取的中点，先判断出为二面角的平面角，再求出相关边长，即可求得二面角的大小；

（3）构造直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，由体积相等解出即可求解.

【详解】（1）由棱台与棱锥的棱长和相等，可得，

又平面平面ABC，三棱锥是正三棱锥，则，

，则，则为正四面体；

（2）

取的中点，连接，由可得，又平面，，

则平面，又平面，则，为二面角的平面角，由（1）知，

三棱锥的各棱长均为1，则，又，则，则，

则，即二面角的大小为；

（3）

存在满足条件的直平行六面体.易得棱台的棱长和为定值6，体积为，设直平行六面体的棱长均为，

底面相邻两边的夹角为，则该六面体棱长和为6，体积为，

令，取的中点，连接，作底面，垂足为，易得在上，且，

则，则的体积为，

则，即，即显然有解，则，

故存在棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直平行六面体符合要求.