2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题1．已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为8，则m＝（    ）A．4 B．8C．16 D．18【答案】C【解析】根据椭圆的标准方程以及焦点可得，由2a＝8，从而求出.【详解】椭圆的焦点在y轴上，则由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，需熟记椭圆的性质，属于基础题.2．已知两直线与平行，则a等于（    ）A．-7或-1 B．7或-1 C．-7 D．-1【答案】C【分析】根据两直线与平行，得到，解得或，再进行验证，即可求解.【详解】由题意，两直线与平行，则满足，即，解得或当时，直线与平行，此时两直线重合，舍去；当时，直线与平行，满足题意,综上可得：.故选：C.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线平行的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．已知方程表示椭圆，则的取值范围为（    ）A．且 B．且C．  D． 【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程可得，即得.【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得且.故选：B.4．直线与圆的位置关系是A．相交且直线过圆心 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相离【答案】D【详解】圆心（1，-1）到直线3x+4y-14=0的距离为,所以直线与圆相离，故选;D5．若焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得，再结合渐近线方程求解即可.【详解】解：因为双曲线的焦点在轴上，故双曲线的方程为，所以渐近线方程为，因为双曲线的离心率为，即，所以，所以渐近线方程为.故选：C6．直线的倾斜角的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据直线方程求出直线的斜率，再由的范围即可求解.【详解】直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，因为α∈，所以≤≤，因此k＝2cos α∈．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈．又θ∈[0，π)，且正切函数在上单调递增，在上为单调递增函数，结合正切函数的图像可知 所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.故选：B【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.7．过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据直线与已知圆相切，讨论切线斜率情况，设切线方程并结合点线距离公式求参数，即可写出切线方程.【详解】由题设，圆的圆心为，半径为1，∴在圆外，显然是其中一条切线，当切线斜率存在时，设切线方程为，则，可得，∴切线方程为.综上，切线方程为或.故选：C8．动圆过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合圆相切时满足的条件以及双曲线的定义即可求出结果.【详解】设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为．动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切，当两圆相内切时，定圆在动圆的内部，此时，当两圆相外切时，此时，所以，即动点到两定点、的距离之差的绝对值为常数，且，所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以，所以动圆的轨迹方程是．故选：C.9．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若为钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据为钝角三角形，得到，从而由求解.【详解】因为为钝角三角形，所以，即，即，即，即，又因为，所以所以椭圆的离心率的取值范围为，故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.【详解】由已知，不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.11．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河“，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤5，若将军从点A（4，0）出发，河岸线所在直线方程为x+y＝8，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出A关于x+y＝8的对称点B，根据题意，|BO|为最短距离，求出即可．【详解】解：设点A关于直线x+y＝8的对称点B（a，b），设军营所在区域的圆心为O，根据题意，|BO|为最短距离，AB的中点为（，），直线AB的斜率为1，由，解得a＝8，b＝4，所以|BO|3．故选：B．12．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线相交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（　　）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】先由2，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．【详解】如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FB⊥OA，又因为2，所以A为线段FB的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠2+∠4＝2∠2＝∠3．故∠2+∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒．∴，e2＝4⇒e＝2．故选：B．【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 二、填空题13．点到直线的距离等于______．【答案】7【分析】直接由点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意知点到直线的距离为.故答案为：7.14．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使|AB|最小，则直线l的方程是________________．【答案】x－y＋3＝0【详解】易知点P在圆的内部，根据圆的性质，若使|AB|最小，则AB⊥CP，因为圆心C(0,1)，所以kCP＝＝－1，kl＝1，因此直线l的方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.15．曲线C的方程为x2＋＝1，其上一点P(x，y)，则3x＋y的最大值为_________.【答案】【分析】令3x＋y＝n，与椭圆联立得12x2－6nx＋n2－3＝0，，由Δ≥0即可得最值.【详解】令3x＋y＝n，代入x2＋＝1，消去y化简整理，得12x2－6nx＋n2－3＝0，Δ＝36n2－4×12(n2－3)≥0，解得－2≤n≤2.答案：2.【点睛】本题主要考查了由联立处理直线与椭圆的位置关系，属于基础题. 三、双空题16．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若且，则______，C的离心率为______．【答案】     ##0.25     【分析】根据双曲线的定义结合条件可得相关线段的长度，进而可得，然后利用余弦定理可得，即得.【详解】由双曲线的定义，可知，因为，所以，，又，所以，因为，所以，又，所以，在中，，在中，由余弦定理可得，所以，所以.故答案为：；. 四、解答题17．求满足下列条件的曲线的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是、，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10的椭圆方程；(2)已知双曲线的渐近线方程为，焦距为10．【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）结合椭圆的定义求得，由此求得椭圆的标准方程；（2）分焦点在轴，轴讨论，结合条件即得.【详解】（1）因为椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为，又椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10，故，∴，又∵，∴，∴所求椭圆的标准方程为；（2）当双曲线的焦点在轴时，可设双曲线标准方程为，则，解得，所以双曲线的标准方程为；当双曲线的焦点在轴时，可设双曲线标准方程为，则，解得，所以双曲线的标准方程为；所以双曲线的标准方程为或.18．如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.（1）求边所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】(1) 直线AB斜率确定，由垂直关系可求得直线AD斜率，又T在AD上，利用点斜式求直线AD方程；（2）由AD和AB的直线方程求得A点坐标，以M为圆心，以AM为半径的圆的方程即为所求.【详解】（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为-3.又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，即.（2）由，解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为.所以为矩形外接圆的圆心.又，从而矩形外接圆的方程为.【点睛】方法点睛：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．19．如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上的中点．(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）设，，则，代入，整理得；（2）由题意可求得直线方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理法及弦长公式即得．【详解】（1）设点的坐标为，点的坐标为，由题可得，即，因为在圆上，得，故，整理得，故的方程为；（2）由点斜式知，过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，，由，可得，所以，，故线段的长度为，所以直线被所截线段的长度为.20．已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为．(1)求圆的标准方程；(2)设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．【答案】(1)(2)5，或 【分析】（1）根据题意，过点的直径所在直线方程为，进而与直线联立方程即可得圆心，进而求解方程；（2）要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，再根据三角形面积公式计算，且所在直线方程为，再与圆的方程联立即可求得的坐标为或，再分别讨论求解方程即可.【详解】（1）解：由题意，过点的直径所在直线方程为，即．联立，解得，∴圆心坐标为，半径，∴圆的方程为；（2）解：，要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，此时的最大值为；∵，∴所在直线方程为，即，联立，得或，即的坐标为或，当时，的方程为，即；当时，的方程为，即．综上所述，所在直线方程为或．21．已知椭圆：的离心率为，且点为椭圆上一点.(1)求椭圆的方程.(2)已知，直线：交椭圆于A，B两点，证明：直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据条件可得，，解出即可；（2）设，，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理得到，，然后由算出答案即可.【详解】（1）由题意，，，解得，，因此椭圆的方程为；（2）证明：直线的方程为，设，，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为.由消去，得，易知，得，，所以直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.22．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，左焦点为，且过点.O为坐标原点，与的面积的比值为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线与椭圆C交于P，Q两点，记直线，的斜率分别为，，若k为，，的等比中项，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由与的面积的比值为，得到，再将代入椭圆C的方程得到，结合，求得的值，即可求解；（2）联立方程组，得到，，根据，求得，再结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆的左焦点为，因为与的面积的比值为，即，解得，即，将代入椭圆C的方程，可得，又由，解得，所以椭圆C的标准方程为.（2）设，，且，联立方程组，整理得，则，可得又由，，因为，，所以，所以，因为的斜率，的斜率，则把，代入上式并化简得，因为，所以，又因为，所以，当，时，，所以直线l的方程为，此时由，可得因为，所以，且，可得，，所以，点到直线的距离所以因为，所以，，所以面积的取值范围为.【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.