2022-2023学年四川省广安市第二中学校高二上学期11月期中考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省广安市第二中学校高二上学期11月期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出抛物线的焦点坐标.

【详解】因为抛物线的标准方程为，所以，则.

故该抛物线的焦点坐标为.

故选：D.

2．已知命题：，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即得.

【详解】∵命题：，，

∴为：，.

故选：B.

3．设，则“”是“直线直线平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分不必要条件的定义判断即可.

【详解】当时，，，此时.

所以“”是“”的充分条件.

当时，则有，解得或，

若，则；若，则.

所以“”推不出“”即“”是“”的不必要条件.

故“”是“直线直线平行”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考虑两个条件之间的推出关系是基本方法，本题属于容易题.

4．曲线与曲线的（    ）

A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等

【答案】D

【分析】分别求出两曲线表示的椭圆的位置，长轴长、短轴长、离心率和焦距，比较可得答案.

【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，长轴长为10，短轴长为6，

离心率为 ,焦距为8,

曲线焦点在x轴上的椭圆，长轴长为，

短轴长为 ，离心率为 ,焦距为 ,

故选：D

5．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习索描的重要一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是一个底角为60°的直角梯形，设圆柱半径，则该椭圆的焦距为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设圆柱的底面半径为，由题意知，，椭圆的长轴长，短轴长为，可以求出的值，即可得椭圆的焦距.

【详解】依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示．

．

从而．

因此在椭圆中长轴长，所以

短轴长，所以，

，所以，则.

故选：A．

6．圆与直线相切于点，且圆心的横坐标为1，则圆被轴截得的弦长为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】设圆心为，由切线性质得，可求出n，进而由垂径定理求得弦长.

【详解】设圆心为，∵圆与直线相切于点，直线斜率∴，

∴半径，则圆被轴截得的弦长为.

故选：D

7．已知一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解.

【详解】设点关于直线的对称点为，

则，化简得，解得，

故反射光线过点与点，

则反射光线所在直线的方程为.

故选：C.

8．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为点到抛物线焦点距离等于点到抛物线的准线的距离，所以到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小等价于到点的距离与点到抛物线准线距离之和取得最小，如图，由几何性质可得，从向准线作垂线，其与抛物线交点就是所求点，将代入，可得，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为，故选D.

【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.

9．直线与曲线（m，n为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由，得，然后根据所给图形逐个分析即可

【详解】解：由，得，

对于A，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、三象限，所以A错误；

对于B，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、三、四象限，所以B正确；

对于C，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、四象限，且由图可知两图在轴上有公共点，则可得，从而有，直线方程为，由，可得或，则交点应在第一象限，所以C错误；

对于D，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、四象限，所以D错误，

故选：B

10．设，，则的最大值与最小值之和等于（    ）

A．4 B．6 C． D．

【答案】B

【分析】根据等式得出代入原式，构造二次函数即可找到最大值，最小值.

【详解】由得，且，代入

得：，令，

在单调递增，故，

故选:B

11．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】根据抛物线的焦点弦长公式计算．

【详解】抛物线，可知，

设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，显然，

过焦点的弦，，

∴，

故选：D．

12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，.这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形.若，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：设椭圆和双曲线的半焦距为，，由于是以为底边的等腰三角形，若，即有，由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得，即由，再由三角形的两边之和大于第三边，可得，可得，既有，由离心率公式可得，由于，则由，则的取值范围是，故选C.

【解析】圆锥曲线的几何性质.

【方法点晴】本题主要考查了圆锥曲线的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，椭圆与双曲线的离心率等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中借助三角形的三边之间的关系，列出关于表达式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.

二、填空题

13．两圆和的公切线有______条．

【答案】3

【分析】求出圆心距，和半径比较判断出两圆位置关系即可得出.

【详解】由题可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，

则圆心距，

所以两圆外切，则公切线有3条.

故答案为：3.

14．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于________．

【答案】1

【分析】根据题意可得，根据对称性不妨取焦点坐标为，渐近线为，利用点到直线距离，求焦点到其渐近线的距离，或直接使用结论：焦点到其渐近线的距离为．

【详解】∵双曲线方程为：，则

解法一：不妨取焦点坐标为，渐近线为，即

∴焦点到其渐近线的距离

解法二：根据结论焦点到其渐近线的距离为

故答案为：1．

15．已知点为双曲线的左支上一点，为坐标原点，为双曲线的左，右焦点．且，则双曲线的离心率为______．

【答案】##

【分析】由几何关系得，再由双曲线的性质求解，

【详解】由题意得，则，

而，，则，

由，得，

故答案为：

16．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．

【详解】解：设抛物线的方程：，焦点为F，则，则，

∴抛物线的标准方程：，焦点坐标，准线方程为，

圆的圆心为，半径为1，

由直线PQ过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l的方程为：，

设P､Q坐标分别为和，

由联立，得，恒成立，

由韦达定理得：，，

∴，，

∴，

则

.

当且仅当时等号成立，

故答案为：

三、解答题

17．（1）求长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆标准方程；

（2）已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程．

【答案】（1）；（2）.

【分析】根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质求解即可.

【详解】（1）设椭圆方程为：且a > b > 0，

，，

，

，

故椭圆方程为：；

（2）的焦点为：，

根据题意得到：，则，解得：，

故，

故双曲线的方程为：.

18．命题 “方程表示圆”，命题 “方程表示双曲线”．

(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；

(2)若为真命题，为真命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据圆的一般式方程的约束条件解不等式即可得答案；

（2）根据为假命题，为真命题求解即可.

【详解】（1）解：因为“方程表示圆”，

所以，，即，解得．

所以，实数的取值范围是.

（2）解：若q为真命题，则，解得 或．

因为为真命题，为真命题，

所以，为假命题，为真命题，

所以，或或或

因此，实数m的取值范围是或

19．设，圆：.

（1）若，点的坐标为，为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；

（2）若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，求的值.

【答案】(1)；(2) 或

【分析】(1)由题意，设的坐标为，由中点坐标公式可得的坐标，将的坐标代入圆的方程即可.

(2)由题意可得圆的圆心和半径，结合点到线的距离公式即可得出结果.

【详解】(1)由题意，设，又，得，

若，圆：，为圆上的动点，

则，即.

(2)圆：，得圆心，半径，

若圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1，

则圆心到直线的距离，

有，解得或，

故或.

【点睛】直接法求曲线方程的关注点：

①若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．

②若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹的形状、位置、大小等．

20．已知抛物线与直线相交于、两点.

（1）求证：；

（2）当的面积等于时，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）设、，直线过定点，利用向量共线可得，证出即可.

（2），将直线与抛物线联立，利用韦达定理即可求解.

【详解】证明：设、；

直线过定点，，，

由、、共线，

∴，

又，∴，

∴，

∴，

解：，则，得，

则，

∴，

.

21．已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与其一条渐近线平行.

(1)求双曲线C的方程；

(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A､B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）根据题意列出关于a,b的等式，结合离心率即可求得a,b，可得双曲线方程；

（2）判断出符合题意的点存在，并判断其位于轴上；然后进行说明理由，设直线线方程，并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，结合可得､的斜率之和为，列出等式并化简即可求得参数的值，从而说明结论成立.

【详解】（1）设，由条件知的斜率等于，

即，又， ,

，，

双曲线的方程为：.

（2）存在点满足恒成立，且点在轴上.

理由如下:设点，过点，设直线,

由,消去得, ,

设，

由韦达定理得，①,，②

，､的斜率之和为，

即，因为，，

所以代入整理得：，③

将①②代入③可得，即,④

④式对任意实数都成立，，

,即存在点满足恒成立，且点在轴上.

22．已知椭圆C：的离心率为，椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l：与椭圆C交于异于点B的两点P，Q，直线BP，BQ与x轴相交于，，若，求证：直线过一定点，并求出定点坐标．

【答案】(1)

(2)证明见解析，过定点为

【分析】（1）根据椭圆定义与离心率求解；

（2）将直线与椭圆联立，写出直线BP，BQ的方程，求出，由得到的关系，从而证明直线过一定点.

【详解】（1）∵，，∴，，．

故椭圆方程为；

（2）联立直线和椭圆可得，解得，

于是有：，

，．

由题意BP：，BQ：，

分别和联立得，，，

由，得，即

整理得，

整理得，解得或者．

当时，直线过点B,与题意矛盾，应舍去.

故直线的方程为：，过定点为．