2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期开学考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期开学考试数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解集合中的不等式和集合中函数的定义域，化简两个集合，再求集合的交集即可.【详解】由题意，，，则.故选：B.2．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（    ）A．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．月接待游客量逐月增加【答案】D【分析】由折线图逐项分析求解即可【详解】对于A：由折线图可知：各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故A正确；对于B：由折线图可知：2014年至2016年的同一个月月接待游客量均在增加，故年接待游客量逐年增加，故B正确；对于C：由折线图可知：各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；对于D：由折线图可知：2014年8月至9月，游客接待量由35万人下降到30万人，故D错误；故选：D3．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法【答案】B【分析】此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．【详解】依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．故选B．【点睛】本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查．4．已知变量之间的线性回归方程为,且变量之间的一组相关数据如表所示：则下列说法错误的是（    ）681012      632A．变量,之间呈负相关关系 B．C．可以预测,当时, D．该回归直线必过点【答案】B【分析】根据线性回归方程的斜率可判断变量之间的正负相关关系;线性回归方程过,求出的值;将代入线性回归方程中,即可求出预测值;将代入线性回归方程中,即可判断D的正误.【详解】解:由题知线性回归方程为,故选项A正确;,且线性回归方程过,代入中可得,,故选项B错误;将代入线性回归方程中,可得,故选项C正确;将代入中可得,所以回归直线必过点,故选项D正确.故选:B5．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【答案】C【详解】试题分析：由题意得，，选C.【解析】茎叶图 6．采用系统抽样方法从人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为.抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为A． B． C． D．【答案】C【详解】从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k＝，因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…，第n组号码为9＋(n－1)×30＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．【解析】系统抽样. 7．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，所以，故；同理，，故.因为，故.故最低费用为.故选B. 8．若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A．  B． C．  D． 【答案】B【详解】因为，且，所以设，则，所以单调递增，所以 ，所以选B.【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.9．若正数x，y满足，则的最大值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】已知等式变形为，然后用“1”的代换求出的最小值即可得．【详解】∵x，y均为正数，，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴，所求最大值为．故选：D．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是     A． B． C． D．【答案】D【分析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m的取值范围.【详解】若不等式有解，即即可，，，则，当且仅当，即，即时取等号，此时，，即，则由得，即，得或，即实数m的取值范围是，故选D．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．11．已知实数满足，且，则的最小值为A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，变形，展开，利用基本不等式即可求最值.【详解】因为，所以，即，，当且仅当即时取等号.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.12．在正方体中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为．若该正方体外接球的表面积为，则动点F的轨迹长度为（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】取AD的中点H，连接EH，判断出为EF与底面ABCD所成的角，即．设正方体的棱长为a，利用外接球的表面积求出.判断出F的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，利用弧长公式求出动点F的轨迹的长度.【详解】如图1，取AD的中点H，连接EH，则.在正方体中，底面ABCD，所以底面ABCD.所以为EF与底面ABCD所成的角，则．设正方体的棱长为a，因为该正方体外接球的表面积为，所以，解得，所以，从而，所以F的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2．在图2中，，所以，则，根据对称性可知，所以，故动点F的轨迹周长为．故选：A 二、填空题13．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有_____．【答案】①③【分析】根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．【详解】①甲地：个数据的中位数为，众数为，根据数据得出：甲地连续天的日平均温度的记录数据可能为：、、、、，其连续天的日平均气温均不低于；②乙地：个数据的中位数为，总体均值为，当个数据为、、、、，可知其连续天的日平均温度有低于，故不确定；③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，若有低于，假设取，此时方差就超出了，可知其连续天的日平均温度均不低于，如、、、、，这组数据的平均值为，方差为，但是进一步扩大方差就会超过，故③对．则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可．14．已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.15．已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.16．在面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是______.【答案】【分析】由平面几何的知识结合三角形面积公式可得，由平面向量数量积的运算可得，由余弦定理结合基本不等式可得，进而可得，令，利用导数求得的最小值后即可得解.【详解】因为、分别是、的中点，所以到的距离等于点到的距离的一半，所以，又，所以，因此，所以；又由余弦定理可得：，当且仅当时，取等号；所以，令，，；又，由得，所以；由得，所以；所以在上单调递减，在上单调递增；所以，因此的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式、余弦定理、导数的应用及向量数量积的最值问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题. 三、解答题17．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】(1) ，；(2) ，.【分析】(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.【详解】(1)由题得，解得，由，解得.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，乙离子残留百分比的平均值为【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18．某公司有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．【答案】（1）750；（2）7.【分析】（1）根据题意可列出，进而解不等式求得的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得的取值范围，即可得出答案.【详解】解：（1）由题意得：，即，又，所以．即最多调整750名员工从事第三产业；（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，即，所以，即，在，恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立．所以，又，所以，所以a的最大值为7.19．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由等差等比的通项公式列出方程，求解得出通项公式；（2）先得出数列的通项公式，再由错位相减法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以又，解得，所以由，可得①由，可得②联立①②，解得，由此可得所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）解：设数列的前项和为，由，有，故上述两式相减，得得.所以，数列的前项和为.20．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.[方法二]：正弦化角（通性通法）设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．[方法三]：余弦与三角换元结合在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，所以周长的最大值为．【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.21．在如图所示的圆柱中,为圆的直径,是上的两个三等分点,,,都是圆柱的母线.(1)求证：平面;(2)若已知直线与平面所成角为求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)根据题意由面面平行,证明线面平行即可;(2)由可得到底面的长度和角度,由与平面所成角为可得到母线长,通过建立直角坐标系,求两个面的法向量,进而求得二面角大小的余弦值.【详解】（1）证明:为圆的直径,是上的两个三等分点,,,均为等边三角形,,四边形是平行四边形,,又平面平面,平面,平面平面,平面,,平面平面,平面,平面.（2）连接,则圆,,,又,以为原点,所在直线分别为轴,建系如图示:则,,设平面的法向量,,令则,而平面的法向量为,,即二面角的余弦值22．已知函数当时，求函数的定义域；若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）将问题转化为解不等式，即，然后就与的大小进行分类讨论，求出该不等式的解，即可得出函数的定义域；（2），将问题转化为：关于的方程有两个不同的正根，得出，两根之和为正、两根之积为正，列出不等式组可解出实数的取值范围.【详解】（1）由题意，，即，解方程，得，.①当时，即当时，解不等式，得或，此时，函数的定义域为；②当时，即当时，解不等式，得，此时，函数的定义域为；③当时，即当时，解不等式，解得或，此时，函数的定义域为；（2）令，则关于的方程有四个不同的实根可化为，即有两个不同的正根，则，解得.【点睛】本题考查含参不等式的求解，考查函数的零点个数问题，在求解含参不等式时，找出分类讨论的基本依据，在求解二次函数的零点问题时，应结合图形找出等价条件，通过列不等式组来求解，考查分类讨论数学思想以及转化与化归数学思想，属于中等题．