2022-2023学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版),共12页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学(文)试题 一、单选题1.在空间直角坐标系中,已知,则线段中点坐标是( )A. B. C. D.【答案】A【分析】利用中点坐标公式直接求解.【详解】在空间直角坐标系中,已知点,则线段中点坐标是:,即中点坐标是.故选:A.2.已知抛物线的顶点在原点,焦点坐标为,则抛物线的方程为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据题意,由焦点坐标求,并确定焦点所在位置,进而求抛物线方程.【详解】∵抛物线的焦点坐标为,则,且焦点在轴正半轴上,∴,故抛物线的方程为.故选:D.3.若图中的直线、、的斜率分别为、、,则( )A. B. C. D.【答案】A【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】设直线、、的倾斜角分别为,则,由图可知:,,所以.故选:A4.已知直线,且,则( )A.或 B. C. D.【答案】D【分析】直接根据直线垂直得到,解得答案.【详解】直线,且,故,解得.故选:D.5.已知双曲线的左、右焦点为,虚轴的上、下端点为,则四边的面积为( )A.24 B.12 C.8 D.4【答案】B【分析】根据双曲线的性质结合菱形的面积公式求解即可【详解】设虚半轴、半焦距分别为b,c,则,所以四边形的面积为.故选:B6.以点,为直径端点的圆的方程是( )A. B.C. D.【答案】D【分析】求得圆心和半径,从而求得圆的方程.【详解】的中点坐标为,即圆心为,,所以圆的半径为,所以圆的方程为.故选:D7.已知点和,点C为直线上一点,则的面积为( )A.1 B. C.2 D.【答案】A【分析】由题可得,,然后利用平行线间距离公式可得点C到的距离,进而即得.【详解】由点,,可得,,又点C为直线上一点,可知,所以点C到的距离为,所以的面积为,故选:A.8.已知圆与圆恰有三条公切线,则实数a的值是( )A.4 B.6 C.8 D.16【答案】D【分析】由题可知,圆与圆外切,则有圆心距.【详解】圆化为:,则圆心为,半径,圆,圆心为,半径,若圆与圆恰有三条公切线,则两圆外切.两圆心的距离,则有,即,解得.故选:D9.双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5,则到另一个焦点的距离等于( )A.3 B.7 C. D.3或7【答案】D【分析】将双曲线方程化为标准式,即可求出、,设到另一个焦点的距离为,根据双曲线的定义可得,从而可得结果.【详解】解:双曲线,即, 所以,,则,,,设到另一个焦点的距离为,根据双曲线的定义可得,解得或,即点到另一个焦点的距离等于或.故选:D.10.已知直线过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于C点,若,则等于( )A.2 B.3 C. D.【答案】B【分析】过点作垂直于准线交准线于,过点作垂直于准线交准线于,根据相似得到,再利用抛物线的性质得到答案.【详解】如图所示:过点作垂直于准线交准线于,过点作垂直于准线交准线于,则,,,故,即.故选:B11.双曲线的左右焦点分别为和,过且与x轴垂直的直线与双曲线交于A,B两点,若为正三角形,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.【答案】B【分析】根据题意得到,代入双曲线方程,化简得到,解得答案.【详解】不妨设在第一象限,为正三角形,故,代入双曲线方程得到:,化简得到,解得或(舍去).故选:B12.已知椭圆,,分别为椭圆的左右焦点,若椭圆C上存在点()使得,则椭圆的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】利用结论建立不等式即可求解.【详解】根据题意作图如下:由图可得:当点P在椭圆的上(下)顶点处时,最大,要满足椭圆C上存在点()使得,则,∴,即:,整理得:,又,∴得到:,∴,∴椭圆离心率的取值范围为,故选:B. 二、填空题13.抛物线的焦点到准线的距离为______.【答案】1.【解析】利用抛物线的标准方程可得,由焦点到准线的距离为p,从而得到结果.【详解】抛物线的焦点到准线的距离为p,由标准方程可得.故答案为:1【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质,属于基础题.14.若直线过点,则此直线的斜率是_____________.【答案】【分析】根据直线的斜率公式计算即可.【详解】解:因为直线过点,所以此直线的斜率是.故答案为:.15.点是椭圆的一个焦点,点在椭圆上,线段的中点为.且(为坐标原点),则线段的长为_____________.【答案】6【分析】根据三角形中位线及椭圆定义,即可得线段的长.【详解】解:由题设椭圆的左焦点为,右焦点为,连接则,又点在椭圆上,线段的中点为.且,又为中点,所以由椭圆的定义得,所以.故答案为:6.16.油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史.为宜传和推广这一传统工艺,某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示.该伞沿是一个半径为2的圆,圆心到伞柄底端距离为,当阳光与地面夹角为时,在地面形成了一个椭圆形影子,且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上,该椭圆的离心率_____________.【答案】##0.5【分析】由伞沿半径及圆心到伞柄底端的距离,得伞柄与地面夹角为,阳光光线与伞柄平行,易得椭圆长半轴,短半轴的长,可求出离心率.【详解】因为伞沿是半径为2的圆,圆心到伞柄底端的距离为,设伞柄与地面的夹角为,则,所以,即阳光光线与伞柄平行,所以椭圆长半轴,短半轴,离心率.故答案为:. 三、解答题17.已知顶点(1)求边上中线所在的直线方程(2)求边上高线所在的直线方程.【答案】(1);(2). 【分析】(1)求出线段的中点坐标,用两点式求出直线方程,化为一般方程;(2)求出直线的斜率,得到边上高线所在直线的斜率,利用点斜式求出直线方程,化为一般方程.【详解】(1)线段的中点坐标为,即,所以边上中线所在的直线方程为:,整理得:;(2)直线的斜率为,所以边上高线所在直线的斜率为,所以边上高线所在直线的方程为,整理得:18.已知圆经过点,,且圆与轴相切.(1)求圆的一般方程;(2)设是圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程.【答案】(1)(2) 【分析】(1)设圆的方程为,依题意可得圆心在轴右侧,且跟轴的切点为,即可得到圆心的纵坐标为,再将点的坐标代入方程,即可得到方程组,解得即可;(2)设则,再由点是圆上的动点,代入圆的方程,即可得解.【详解】(1)解:设圆的方程为,因为圆过点,,又跟轴相切,圆必在轴右侧,且跟轴的切点为,圆心的纵坐标为.,解得,圆的方程为,化简得.(2)解:设.因为为线段的中点,所以,因为点是圆上的动点,所以,即,所以的轨迹方程为.19.已知双曲线的渐近线方程为,且经过点.(1)求双曲线C的方程;(2)直线与双曲线C交于A,B两点,O为坐标原点,求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据渐近线方程和点代入方程得到方程组,解得答案.(2)联立方程消去得到二次方程,根据韦达定理得到根与系数的关系,计算,再计算点到直线的距离得到面积.【详解】(1)根据题意:解得,故双曲线的方程为:.(2)设,则,消去得:,,又点O到直线的距离,.20.已知圆及直线.(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.【答案】(1)证明见解析(2), 【分析】(1)根据直线过定点,而该点在圆内,即可求解,(2)由时,圆心到直线的距离最大,进而可求最短的弦长以及直线方程.【详解】(1)将直线的方程变形为,令,解得,即直线过定点.因为,所以点在圆内部.所以不论m为何实数,直线与圆恒相交.(2)(1)的结论知直线过定点,且当直线时,此时圆心到直线的距离最大,进而被圆所截的弦长最短,故,从而此时,此时,直线方程为,即21.已知点,直线和交于点P,且它们的斜率之积为.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)过点的直线与C交于A,B两点,点,求直线与的斜率之和.【答案】(1)(2)0 【分析】(1)设 ,依题意由斜率公式得到方程,整理即可得解;(2)设直线l的方程为,,,联立直线与椭圆方程,消元、列出韦达定理,表示出直线与的斜率,整理计算可得.【详解】(1)解:设 ,依题意可得,所以,整理得,所以点的轨迹的方程为.(2)解:设直线l的方程为,,,联立方程,消去整理得因为直线与椭圆存在两个交点,故,根据韦达定理:则,,根据题意可知上式的分子,所以,即直线与的斜率之和为.22.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且.(1)求抛物线的方程;(2)若直线过F且与抛物线交于A,B两点,线段的垂直平分线交轴于点N,交于点M,求证:为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】(1)根据抛物线的定义可求得,即可得抛物线方程;(2)根据直线与抛物线的位置,分别求解线段,即可验证.【详解】(1)解:点在抛物线上,由抛物线的定义得故,所以.(2)解:由题意知直线l的斜率存在且不为0,∵直线l过焦点F,故设直线l的方程为,设.由,得,∴.∴,∴.∴的方程为.令,解得,∴,∴,为定值.
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