2022-2023学年天津市蓟州区高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年天津市蓟州区高二上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市蓟州区高二上学期期中数学试题 一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点则线段AB的长度是（    ）A． B． C． D．4【答案】A【分析】利用空间两点间的距离公式求解.【详解】解：因为点所以，故选：A2．圆心坐标为，半径长为2的圆的标准方程是A． B．C． D．【答案】C【分析】根据圆的标准方程的形式写.【详解】圆心为，半径为2的圆的标准方程是.故选C.【点睛】本题考查了圆的标准方程，故选C.3．在空间直角坐标系中，点在坐标平面的射影坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据坐标平面满足横坐标为0即可解决.【详解】在空间直角坐标系中,点在坐标平面的射影坐标是 .故选：A.4．两条平行直线之间的距离为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】由平行线之间的距离公式直接求解即可.【详解】解：，则两平行线之间的距离为.故选：B.5．设，直线与直线垂直，则（    ）A．-2 B．1 C．-2或1 D．【答案】D【分析】利用两直线垂直公式求解.【详解】解：因为直线与直线垂直，所以，解得，故选：D6．若过点，且与圆相切的直线方程为（    ）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】验证点在圆外，然后讨论切线斜率存在与不存在两种情况即可解决.【详解】圆的圆心是 ，半径是 ，把点的坐标代入圆的方程可知点P在圆外，当直线斜率不存在时，直线为 ，不满足题意；当直线斜率存在时，设直线为 ，即 ，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，解得 或 ，切线为或 ，故选：D.7．在棱长为1的正方体中，点B到直线距离是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，根据空间里面点到直线的距离的向量算法求解.【详解】以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴， ,，，，，取，，则，·＝，过点B作，点B到直线的距离为∴点B到直线的距离为.8．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出直线过定点，由几何性质可知即为点到直线的距离最大值，进而求出，得到此时直线的斜率，从而求出方程.【详解】变形为，故，解得：，故直线过定点，故为点到直线的距离最大值，即，且此时直线的斜率为，故此时直线方程为，整理得：.故选：C9．已知直线与圆相交于两点,点分别在圆上运动,且位于直线两侧,则四边形面积的最大值为（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理结合圆的性质求出的长，由圆的性质可知当为弦的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，从而可求出面积的最大值.【详解】解：把圆化为标准方程，圆心，半径，直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距，由勾股定理的半弦长为，弦长为，又两点在圆上，并且位于直线的两侧，四边形的面积可以看出是两个三角形和的面积之和，如图所示，当为如图所示的位置，即为弦的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形的面积最大，最大面积为，故选：A．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及圆的内接四边形面积最大问题，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 二、填空题10．已知空间向量，则____.【答案】5【分析】由向量的坐标运算求解即可.【详解】，故答案为：511．已知点P（1，2）到直线的距离为_____________.【答案】##0.2；【分析】利用点到直线的距离公式求解.【详解】解：点P（1，2）到直线的距离为，故答案为：；12．设空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为________.【答案】【分析】由结合向量的坐标运算求解即可.【详解】因为，，所以向量在向量上的投影向量的坐标为故答案为：13．圆与圆的公共弦长为_________．【答案】【分析】两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程，计算圆的圆心到公共弦所在直线的距离，再利用圆的弦长公式即可得出答案.【详解】解：由圆与圆，两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为，圆的圆心，半径，则圆心到直线的距离，所以公共弦长为.故答案为：.14．直三棱柱中，，分别是的中点，，则所成角的余弦值为___________【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所成角的余弦值.【详解】依题意可知两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，设，则，设所成角为，则.故答案为：15．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.【答案】【详解】试题分析：设，则，故圆C的方程为【解析】直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．  三、解答题16．如图，棱长为2的正方体中，E，F，G分别是的中点，(1)求证：;(2)求点G到平面EFC的距离.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标和，的坐标，根据数量积的结果，即可证明；（2）求得平面的法向量和的坐标，以及在法向量上的投影向量的模长，即可求得结果.【详解】（1）建立以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴的空间直角坐标系如下所示：则，，则，故.（2）因为，设平面CEF的法向量为，则有故，即，令，则，即，又，所以点G到平面CEF的距离.17．已知的顶点.(1)求边上的中线所在直线的方程；(2)求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求.【详解】（1）线段的中点为，则中线所在直线方程为：，即.（2）设两坐标轴上的截距为，若，则直线经过原点，斜率，直线方程为，即；若，则设直线方程为，即，把点代入得，即，直线方程为；综上，所求直线方程为或.18．如图，在三棱锥中，⊥底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．(1)求证：∥平面；(2)求平面PAC与平面EMN所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得的方向向量和平面的法向量，根据其数量积的结果即可证明；（2）分别求得两个平面的法向量，结合法向量夹角和二面角之间的关系，即可求得结果.【详解】（1）因为面面，故，又，故以为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如下所示：依题意可得，，，，，，，．=，=.设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得.又，故可得.因为平面BDE，所以MN//平面BDE.（2）易知为平面CEM的一个法向量，设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以．不妨设，可得；设平面PAC与平面EMN所成角为，，所以平面PAC与平面EMN所成角的余弦值为.19．已知圆过点，且与直线相切于点．(1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求直线的方程；【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）设圆心坐标为，根据题意由求解；（2）易得圆心C到直线的距离，再分直线斜率不存在和存在，利用点到直线的距离公式求解.【详解】（1）解：设圆心坐标为，则，解得：，圆的半径，圆C的方程为：.（2）为直角三角形，，，则圆心C到直线的距离；当直线斜率不存在，即时，满足圆心C到直线的距离；当直线斜率存在时，设，即，，解得：，，即；综上所述：直线的方程为或.20．如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，且，，是棱的中点.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)在线段上（不含端点）是否存在一点，使得平面MAC与平面ACE所成角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)线段上存在一点，，理由见解析. 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量以及的方向向量，利用向量法求解线面角即可；（2）假设存在这样的点，设出点的坐标，分别求得平面的法向量，结合数量积运算即可求解.【详解】（1）因为面面，故，又，故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，，.设平面的法向量为.∵，∴，即，不妨取，得； 又.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．（2）假设在线段上（不含端点）存在一点，使得平面MAC与平面ACE所成角的余弦值为.连接.设， 得.设平面的法向量为.∵，∴，即，不妨取，得；设平面MAC与平面ACE所成角为，则，化简得，解得，或，∴在线段上存在一点，且或时，使得平面MAC与平面ACE所成角的余弦值为.