2022-2023学年云南省名校联盟高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年云南省名校联盟高二上学期期中考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年云南省名校联盟高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．复数（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的乘法运算可得答案.【详解】.故选：B2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解二次不等式解得集合，再根据集合的交运算，即可求得结果.【详解】因为，，所以.故选：C.3．已知空间向量，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量数量积的坐标运算可得答案.【详解】因为，所以，故.故选：A4．一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据古典概型的概率计算公式可得答案.【详解】依题意可得，取到的脐橙不是坏果的概率为.故选：D5．命题：，.命题：每个大于2的质数都是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是（    ）A．是假命题 B．：，C．是假命题 D．：存在一个大于2的质数不是奇数【答案】D【分析】首先判断出的真假，然后写出它们的否定，即可选出答案.【详解】若，则，所以是真命题，故A错误；：，，故B错误；是真命题，故C错误；：存在一个大于2的质数不是奇数，故D正确；故选：D6．过点作圆的一条切线，切点为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，然后代入计算即可得到结果.【详解】根据题意可得，圆心，，则，由圆的切线定理可得.故选:A7．若一个长方体的长､宽､高分别为4，，2，且该长方体的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，利用体对角线公式求得半径，结合球的表面积公式，即得解.【详解】由题意，长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，即球心即为体对角线交点，半径为体对角线的一半，即球的半径，则球的表面积.故选：D8．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据给定的条件，利用对数函数单调性比较大小，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为，因此，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用共面向量定理分析判断，其中选项ABD中，一个向量可以表示为另外两个向量的共线向量的和的形式，所以三个向量共面；只有选项C的向量不可以，即得解.【详解】因为所以共面；因为所以共面；，所以共面；假设存在实数满足，所以,所以 ，该方程组没有实数解.所以不存在实数满足，故不共面．所以选项C符合题意.故选：C10．函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将函数平方可得，结合二次函数的性质，可求解值域.【详解】因为（），所以，又，所以.故选：A11．设函数，给出下列结论：①若，，则；②存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称；③若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为；④，在上单调递增.其中正确的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据二倍角公式化简得，根据最值与周期的关系可判断①,根据平移可判断②，根据零点问题可判断③,根据整体法验证可判断④.【详解】因为，所以的最小正周期为.对于①，因为，故分别为最大、最小值，由于，所以的最小正周期，所以.故①错误；对于②，图象变换后所得函数为，若其图象关于原点对称，则，，解得，，当时，，故②正确；对于③，当时，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，故③正确；对于④，当时，，因为，所以，，所以在上单调递增.故④正确.综上，正确的个数为3.故选：C12．台风中心从地以的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出平面图形后，可求得到的距离，结合勾股定理可求得的长度，由此可得所求时长.【详解】以为圆心，为半径作圆，与运动方向交于两点，由题意知：，，，作，垂足为，则为中点，，，，城市处于危险地区内的时长为.故选：D. 二、填空题13．已知向量，，且，则___________.【答案】【分析】根据向量平行的坐标表示，求解即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：14．已知某地最近12天的平均气温（单位：℃）为12，13，17，19，12，16，15，17，15，18，14，18，则这12天平均气温的70%分位数为______℃.【答案】17【分析】先把数据由小到大进行排列，再求出70%分位数为第9个数据的气温，即可求解.【详解】解：这12天的平均气温的数据按照从小到大的顺序排列为：12，12，13，14，15，15，16，17，17，18，18，19，， 这12天平均气温的70%分位数为第9个数据的气温，即17℃.故答案为：. 三、双空题15．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线在轴上的截距为__________，__________．【答案】          【分析】根据截距的定义，以及斜率和倾斜角的关系和二倍角公式求解即可.【详解】令，得，则直线在轴上的截距为．依題意可得，则.故答案为：，.16．若空间中有三点，则到直线的距离为___________；点到平面的距离为___________.【答案】          【分析】利用空间向量的夹角去求到直线的距离；利用公式去求到平面的距离【详解】由可得则，又，则则到直线的距离为设平面的一个法向量为则，即，令，则，又则点到平面的距离为故答案为：； 四、解答题17．（1）求两条平行直线与间的距离；（2）求过点且与直线垂直的直线方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接根据平行线间的距离公式即可得结果；（2）根据垂直关系设所求直线的方程为，将点代入求出值即可.【详解】（1）两条平行直线与间的距离.（2）依题可设所求直线的方程为，将点的坐标代入得.则，故所求直线的方程为.18．在长方体中，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点.(1)的值；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，求向量，的坐标，根据数量积的坐标运算求解；（2）利用向量法求平面的法向量，利用向量夹角公式求与平面所成角的正弦值.【详解】（1）以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，.；（2）设平面的法向量为，则令，得.设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为.19．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动.(1)求甲最后没有得奖的概率；(2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）分第一关未通过，第一关通过第二关未通过，前两关通过第三关未通过三种情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式，求解即可；（2）若奖金为900，则甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，计算对应概率即可.【详解】（1）记第一关未通过为事件，第一关通过第二关未通过为事件，前两关通过第三关未通过为事件，甲最后没有得奖为事件，则，，，故.（2）记通过了前两关时最后获得二等奖为事件，通过了前两关时最后获得一等奖为事件，则，.因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为.20．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若，，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二倍角公式得到，再由余弦定理将角化边，最后由余弦定理计算可得；（2）由（1）可得，由正弦定理将边化角，由三角恒等变换公式化简得到，再根据三角形为锐角三角形及求出角的取值范围，最后由正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）解：因为，所以，即，由余弦定理可得，所以，所以，因为在锐角中，所以.（2）解：由（1）知，所以，因为，由正弦定理，所以，，所以因为，所以，所以，解得，又三角形为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即的取值范围为.21．已知圆．(1)若圆C被直线截得的弦长为8，求圆C的直径；(2)已知圆C过定点P，且直线与圆C交于A，B两点，若，求a的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据弦长为8，利用弦心距、半径、半弦长之间的关系列出方程求解即可；（2）求出动圆所过定点，再联立直线与圆的方程，求出交点坐标，由数量积的坐标运算列出不等式即可求解.【详解】（1）依题意可知圆的圆心为，到直线的距离，因为圆被直线截得的弦长为8，所以，解得，故圆的直径为.（2）圆的一般方程为，令，，解得，所以定点的坐标为.联立解得或所以，因为，所以.又方程表示一个圆，所以，所以的取值范围是.22．如图1，已知是边长为4的正三角形，，，分别是，，边的中点，将沿折起，使点A到达如图2所示的点的位置，为边的中点.(1)证明：平面.(2)若平面平面，求平面与平面夹角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，，设与交于点，连接，证明，根据线面平行的判定定理可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求得平面的法向量，根据向量的夹角公式结合同角的三角函数关系，即可求得答案.【详解】（1）证明：连接，，设与交于点，连接.因为，，分别是，，边的中点，所以且，则四边形为平行四边形，所以为的中点，因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连接，，由题意知,则，因为平面，平面平面，平面,所以平面，，，两两垂直.如图所示，以为原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即,令，得.由题意知为平面的一个法向量，由，可得，得平面与平面夹角范围为，故其正切值为.