2022-2023学年浙江省杭州市学军中学高二上学期期中数学试题 解析版

杭州学军中学2021-2022学年第一学期期中考试

高二数学试卷

时限：120分钟    满分：150分  

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

2．若､是两条不同的直线，､､是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，则

D．若，，则

3．如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（    ）

A．2 B．－2 C．2,－2 D．2,0,－2

4．已知，，且，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

5．已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（    ）

A． B．

C． D．

6．直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是

A．或 B．或

C． D．

7．在正方体中，和的中点分别为M，N.如图，若以A，M，N所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为（    ）

A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形

8．椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，是点关于原点的对称点，若，，则椭圆的离心率为

A． B．

C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设直线系：，则下面四个命题正确的是（    ）

A．点到中的所有直线的距离恒为定值

B．存在定点不在中的任意一条直线上

C．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上

D．中的直线所能围成的正三角形面积都相等

10．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．直线与直线的斜率之积为

C．存在点满足

D．若的面积为，则点的横坐标为

11．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点，则下列结论正确的是

A．若时，平面平面

B．若时，直线与平面所成的角的正弦值为

C．若直线和异面时，点不可能为底面的中心

D．若平面平面，且点为底面的中心时，

12．已知､是椭圆的左､右焦点，，椭圆上（异于顶点）的点满足，则下列选项正确的有（    ）

A．直线必定与椭圆相切

B．三角形与三角形面积之和为定值6

C．三角形与三角形面积之和为定值6

D．点､到直线的距离相等

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为___________.

14．已知直线：，则动直线被圆截得的弦长最短为___________.

15．如图，已知分别是正方形的边的中点，现将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是_______．

16．已知斜率不为0的直线过椭圆：的左焦点且交椭圆于两点，轴上的点满足，则的取值范围是___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知中，角所对的边分别为，且

（1）求角C的大小；

（2）求的取值范围．

18．如图，已知三棱锥中，平面平面，，，．

（1）证明：；

（2）求直线和平面所成角的正弦值．

19．已知是圆上一点，，，其中．

（1）若直线与圆相切，求直线的方程：

（2）若存在两个点使得，求实数的取值范围．

20．如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点.

(1)求二面角的平面角的余弦值；

(2)设是线段上的动点，当与所成角取得最小值时，求线段的长度.

21．设是坐标原点，以、为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和恰好有两个交点.

（1）求的方程；

（2）是外的一点，过的直线、均与相切，且、的斜率之积为，记为的最小值，求的取值范围.

参考答案：

1．B

【分析】求出直线斜率，即可得出倾斜角.

【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角为.

故选：B.

2．D

【分析】ABC可以画出相应的图形进行判断；D选项用面面垂直的判定定理判断

【详解】A选项，如图所示，当，时，与存在三种关系，∥，或与相交，显然A错误；

B选项：若，，，则与存在两种关系或与相交；故B错误；

C选项：若，，则与存在两种关系或与相交；故C错误；

D选项：面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直，可知D选项正确

故选：D

3．C

【详解】(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2.

4．A

【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可

【详解】设向量与的夹角为，

因为，，且，

所以，得，

所以，

所以，

因为，所以，

故选：A

5．C

【分析】分析可知，直线的斜率为，且线段的中点在直线上，可列出关于实数的等式组，由此可得出关于实数的值.

【详解】由中点坐标公式，得线段的中点坐标为，

直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，

所以，，解得.

故选：C.

6．A

【解析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，画出图象，要使直线与曲线有且仅有一个交点，从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于和另一个点，及与曲线交于点，分别求出，则的范围可得．

【详解】解：曲线有即，

表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），

如图，设、、，

当直线经过点时，，求得，

此时只有一个公共点，符合题意；

当直线经过点、点时，，求得，

此时有2个公共点，不符合题意；

当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，

可得，求得或（舍去），

即：时，只有一个公共点，符合题意，

综上得，实数的范围为或，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，可用数形结合的方法较为直观.

7．B

【分析】根据平面的性质，延长线段到正方体的表面，找到平面与正方体棱的交点，连接起来即可判断.

【详解】如图，延长相交于点，

连接并延长，与相交于点，与的延长线相交于点，

连接，与相交于点，

连接，则五边形即为截面.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平面的基本性质，属于基础题.

8．C

【分析】作另一焦点为，连接，，根据平面几何知识得出三角形为等腰直角三角形，设，根据椭圆的定义以及勾股定理，构造齐次方程，即可得出离心率.

【详解】作另一焦点为，连接，，则四边形为平行四边形

，且，则三角形为等腰直角三角形

设，则，即

在三角形中，由勾股定理得

则，即

故选：C

【点睛】本题主要考查了构造齐次方程求椭圆的离心率，属于中档题.

9．ABC

【分析】先利用点到直线的距离公式得出直线系：表示的是圆的切线的集合，这样ABC选项能直接判断；D选项需要数形结合判断

【详解】点到中的直线的距离设为d，则为定值，故直线系：表示圆的切线的集合.

显然选项A正确；一定不在中的任意一条直线上，B选项正确；由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上，C选项正确；

如图所示，中的直线所能围成的正三角形有两类，一种是圆的外切三角形，如△ADE，此类三角形面积均相等，另一种是在圆的同一侧，如△ABC，这类三角形面积也相等，但两类三角形面积不等，故D选项不正确.

故选：ABC

10．BD

【分析】根据椭圆的定义判断A，设，计算斜率之积，判断B，求出当是短轴端点时的后可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D．

【详解】由题意，，，，，短轴一个顶点，

，A错；

设，则，，

所以，B正确；

因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；

，，，则，，D正确．

故选：BD．

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义及椭圆的性质．有结论如下：椭圆上的点与两焦点连线的斜率为定值，椭圆上的点对两焦点的张角最大时，点为短轴端点．

11．AC

【分析】推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断A选项的正误；设的中点为，连接、，证明出平面，找出直线与平面所成的角，并计算出该角的正弦值，可判断B选项的正误；利用反证法可判断C选项的正误；计算出线段和的长度，可判断D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】因为，，，所以平面，

平面，所以平面平面，A项正确；

设的中点为，连接、，则.

平面平面，平面平面，平面.

平面，设平面所成的角为，则，

，，，则，B项错误；

连接，易知平面，由、、确定的面即为平面，

当直线和异面时，若点为底面的中心，则，

又平面，则与共面，矛盾，C项正确；

连接，平面，平面，，

、分别为、的中点，则，

又，故，，则，D项错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查立体几何综合问题，涉及面面垂直的判断、线面角的计算以及异面直线的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

12．AB

【分析】根据题意，结合过椭圆上一点的切线的性质和结论，以及三角形的面积公式，一一判断即可.

【详解】为方便解题，现补充以下两个结论.

结论1：，是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上异于顶点的任一点，则点处的切线平分的外角.

证明：如图，设椭圆，则过椭圆上一点的切线为：，

因此切线的斜率，因此，

因为，，

所以

，

同理，

因此，即点处的切线平分的外角.

结论2：、为椭圆的两条切线，切点为、，则平分.

证明：如图，作关于的对称点，关于的对称点，由结论1易知，、、 三点共线，、、 三点共线.

因为，，且，，

所以与全等，因此，

又因为与全等，所以，

所以，因此平分.

对于本题，结合题意，作出如下图形，其中点为椭圆的左顶点，关于的对称点为，关于的对称点为.

因为，且与椭圆相切，所以结合以上两个结论，易知直线必定与椭圆相切，

又因点异于椭圆顶点，所以与不平行，因此点､到直线的距离不相等，故A正确，D错误；

结合结论2的证明过程，易知与全等，与全等，

因此，

故三角形与三角形面积之和为定值6，因此B正确；

而对于选项C，假设，则，设，则椭圆过点的切线为：，因切线过点，所以，即，

联立，得，即或(舍)，

故，

即三角形与三角形面积之和不为定值6，因此C错.

故选：AB.

【点睛】求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

13．

【分析】由直线与直线平行的性质列出方程，求出，从而直线，直线，由此能求出直线与之间的距离

【详解】解：直线与直线平行，

，

解得，

直线，直线，

直线与之间的距离为．

故答案为：

14．

【分析】求出圆心到直线的距离，表示出弦长，即可求出最短弦长.

【详解】圆化为，即圆心为，半径为3，

则圆心到直线的距离为，

则直线被圆截得弦长为，则当时，弦长取得最短为.

故答案为：.

15．

【分析】设正方形ABCD的边长为2，则我们可以求出△BDF中，DF，BF，BD的长，由于∠DFB即为异面直线FB与AE所成角，利用余弦定理，解三角形DFB即可得到答案．

【详解】如图所示：

连接BD，∵AE∥DF

∴∠DFB即为异面直线FB与AE所成角.

由题意可知，∠DFC，所以三角形DFC为等边三角形，所以DC=DF=FC.

设正方形ABCD的边长为2，则在△BDF中，DF=1，BF=，BD

∴cos∠DFB=

故答案为

【点睛】本题考查异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，求出异面直线FB与AE所成角的平面角是解答本题的关键．

16．

【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理分别求得和的表达式，即可求出范围.

【详解】由题可得点为线段的垂直平分线与轴的交点，

因为，可设直线方程为，设，

联立方程可得，则，

所以线段的中点坐标为，

，

的垂直平分线方程为，

当时，，即，

所以，

则.

故答案为：.

17．（1）；（2）．

【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解.

（2）利用二倍角公式以及三角形的内角和性质可得，利用三角函数的性质即可求解.

【详解】解：（1）由已知及正弦定理得

，

，

因为，所以，     

因为，所以，     

因为，所以．     

（2）

．      

因为，所以，，

，，

所以，即的取值范围是．

18．（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）取的中点，的中点，连、、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，利用面面垂直的性质可得出平面，进而得出，再证明出，可得出平面，由此可得出；

（2）过点作垂足为点，推导出平面，计算出，可得出点到平面的距离为，由此可计算出直线和平面所成角的正弦值为，进而得解.

【详解】（1）取的中点，的中点，连、、.

，为的中点，，

又，为的中点，，，

又 ，为的中点，，

又 平面平面，交线为，平面，平面，

平面，，

又，平面，平面，；

（2）由（1）知平面，平面，平面平面，

过点作垂足为点，

平面平面，平面，平面，

所以，即是点到平面的距离，

平面，平面，，

，，，

，，

又是的中点，点到面的距离，

与面所成角的正弦值为.

【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了线面角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

19．（1）或；（2）.

【解析】（1）求出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求出实数的值，进而可得出直线的方程；

（2）求出以为直径的圆的方程，确定该圆的圆心坐标和半径长，结合已知条件转化为两圆相交即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）已知是圆上一点，，.

圆心为，半径，直线的斜率为.

直线的方程为，即.

直线与圆相切，，解得或.

因此，直线的方程为或；

（2）因为、，

所以的中点，且.

则以为直径的圆的圆心为，半径为.

存在两个点使得，所以圆与圆相交，

即，即，

解得且.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求直线方程，以及与圆相关的动点问题，将问题转化为两圆的位置关系是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

20．(1)

(2)

【分析】（1）延长，过点作,垂足为，过点作,垂足为,连接,则是二面角的平面角，再解三角形即得解；

（2）连接,以为原点，由题得,以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出当=时，与所成的角最小，即得解.

【详解】（1）解：

由题得.

所以，所以是钝角.

延长，过点作,垂足为，过点作,垂足为,连接,

则是二面角的平面角.

由题得，

所以，

所以,.

所以二面角的平面角的余弦值为.

（2）解：连接,以为原点，由题得,以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由题得设

即,

因为

所以

令，

令

时，函数单调递增，时，，函数单调递减.

所以当=时，取最大值，此时与所成的角最小，

.

21．（1）；（2）.

【分析】（1）根据已知条件求出、、的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）设过的切线方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去可得出关于的一元二次方程，由直线与椭圆相切可得出，可得出关于的二次方程，结合韦达定理得出，进而可得出的表达式，根据二次函数的基本性质得出，结合的取值范围可得结果.

【详解】（1）由题意可得，，

又因为以为直径的圆和恰好有两个交点，则，

，可得，因此，椭圆的方程为；

（2）由题意可知，直线、的斜率存在且不为零，

设过点的切线，

联立，消去可得，

由于直线与椭圆相切，则，

化简并整理得，

整理成关于的二次方程得（易知），

设直线、的斜率分别为、，

易知、为关于的二次方程得的两根，

所以，，，所以，，

，

易知当时，有，

，，即的取值范围是.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.