2022-2023学年浙江省衢温“5 1”联盟高二创新班上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年浙江省衢温“5 1”联盟高二创新班上学期期中联考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省衢温“5+1”联盟高二创新班上学期期中联考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算．【详解】，，所以．故选：A．2．复数（i为虚数单位），则z等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由，得.故选：C.【点睛】本题考查复数的综合运算，掌握复数运算法则是解题基础．3．已知向量，，下列选项正确的是（    ）A．若，则m＝2 B．若，则m＝－2C．若，则m＝2 D．若，则m＝－2【答案】C【分析】本题考查平面向量已知平行与垂直，求参数的值，代入公式即可.【详解】若,则，，故A,B选项错误.若，则.故C正确，D错误.故选：C4．命题“，使得”的否定是（    ）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得【答案】D【分析】本题考查特称命题的否定，其否定为全称命题,并否定其结论.【详解】本题考查特称命题的否定，因为特称命题的否定是全称命题，所以命题，使得的否定是，使得.故选：D5．绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好．现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法（    ）A．228 B．132 C．180 D．96【答案】B【分析】本题分抽取的4人中含甲和不含甲两大类讨论，采取捆绑法分析情况，再利用加法和乘法原理得到所有情况即可.【详解】4人去3个省份，且每个省至少一个人则必会有两人去同一省份，若抽取的4人中不含甲，在这四人中任意取两人进行捆绑，则共有种，②若4人中含有甲，则在剩余的4人中抽取3人，共有种，接下来若甲和另1人去同一省份，则共有种，若甲单独一人去一个省份，则共有种，根据加法和乘法原理可得共有，此类情况共有种综上共有种.故选：B.6．设，，，则（    ）A． B． C．  D．【答案】A【分析】构造两个函数，，通过分析两个函数的单调性分别比较a和b，b和c的大小.【详解】设，，不难看出在小于0，因此在单调递减，且故方法一：设，，由泰勒公式可知故，当时，，因此在单调递增，且，故即，也就是方法二：设，，则，因为当时，，在上为单调递增函数，因此，即综上故选：A7．已知直线l：和圆C：相交于M，N两点，下列说法错误的是（    ）A．的取值范围是 B．圆心C到直线l距离的取值范围是C．∠MCN的最小值是 D．面积的最大值是2【答案】D【分析】根据直线恒过的定点，以及过圆内一点截圆所得弦长最值的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对直线，，其恒过与的交点；对圆，其圆心为，半径；对A：当直线过圆心时，此时取得最大值为；当时，取得最小值为，故A正确；对B：当直线过圆心时，圆心C到直线l距离取得最小值为；当时，圆心C到直线l距离取得最大值为，故正确；对：当，在△中，由余弦定理可得：，故，当时，，故，故正确；对：当时，三点可以构成三角形，则其面积；当时，三点无法构成三角形；综上的面积没有最大值，故错误.故选：.8．以双曲线C：焦点F为圆心，a为半径的圆与双曲线一条渐近线交于A，B两点，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意求得为上靠近的三等分点，据此列出满足的等量关系，求解即可.【详解】过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，连接，如下所示：易知，又，故可得，设点，一条渐近线为，则点到渐近线距离，则，则，又，在△中，勾股定理可得，则，故双曲线的离心率为.故选：B. 二、多选题9．公差为d的等差数列前n项和为，若，则下列选项，正确的有（    ）A．d＞0 B．时，n的最大值为9C．有最小值 D．时，n的最大值为17【答案】BD【分析】根据等差数列的单调性以及前项和的函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：由可得，，，故，A错误；对B：由A得，数列为单调减数列，且，，故时，n的最大值为9，正确；对：由得，，故是关于的开口向下的二次函数，其有最大值没有最小值，错误；对：因为数列的前项均为正数，且，，故时，n的最大值为17，正确；故选：.10．已知p：，，q：x＋y≥t，若p是q的充分不必要条件，则t的值可以是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【分析】根据充分不必要条件的定义求解．【详解】，所以，但反过来，不能推出且，选项AB满足题意，CD不满足题意，若，则不是的充分条件，如，满足条件，但不满足，同理D也不合题意．故选：AB．11．函数的图像，可能是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】显然 是奇函数，根据a的取值不同分别讨论在第一象限的单调性即可.【详解】对于A，若 ，则 ，正确；对于B，若 ，当 时， ，令 ，得 ，当 时， ，单调递增，当 时， ，单调递减，所以 时函数 的极小值，与图像吻合，正确；对于C，若 ，当 时则有，函数 单调递增，并且 ，当 ，当 时， ，与C图吻合，正确；对于D，由以上的讨论可知，当 时， 不可能是减函数，错误；故选：ABC.12．如图，长方体中，AB＝BC＝2，，点P是底面ABCD所在平面内的动点，点R是线段的中点，点Q是直线上的动点，下列结论正确的有（    ）A．的面积的最小值是B．四面体的体积为定值C．若与所成角为，则动点P的轨迹是抛物线D．若点P在直线BD上，则PR与平面所成角的最大值为【答案】ABD【分析】对于A选项.可根据图中几何特征进行判断；对于B可根据等体积法进行判断；对于CD选项，建立如图建立以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，为z轴的空间直角坐标系，找到各点通过向量进行计算.【详解】对于A.由图可知点Q与重合时，点Q到线段的距离最短，此时的面积的最小，，故A正确；对于B. 四面体的体积等价于四面体的体积，其中点到平面距离为定值，而的面积也是定值2， 故B正确；对于C.如图建立以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，为z轴的空间直角坐标系.，，，，整理可得：，显然动点P的轨迹不是抛物线故C错误.对于D. ，，，其中，，，，设平面的法向量为，则令，则，所以PR与平面所成角的正弦为：当时，取最大值，此时PR与平面所成角的最大，故PR与平面所成角的最大值为，D正确.故选:ABD【点睛】方法点睛：空间直角坐标系中未知点的设立方式（以本题D选项中P点为例）：①首先假设未知点坐标为②确定未知点所在直线，根据向量共线条件列式③找出直线的方向向量，将未知点的坐标值全部用表示出来即可. 三、填空题13．已知，则在x＝1处的切线方程是______．【答案】【分析】根据导数求出在x＝1处的切线斜率，用点斜式求出切线方程.【详解】已知当时，由，得根据点斜式可得：故答案为: 14．已知周期为函数，直线是图象的一条对称轴，则函数的单调递增区间是______．【答案】【分析】根据函数最小正周期求得，结合对称轴求得，再求函数单调增区间即可.【详解】根据题意可得：，，解得；当时，，故，令，解得.即的单调增区间为：.故答案为：.15．设全集，集合，当取满区间所有值时，集合A的补集表示区域的面积为______．【答案】【分析】根据题意集合A表示原点到所有直线的距离都等于1，即直线都与圆心在原点，半径为1的单位圆相切.【详解】由集合可知几何意义为：原点到所有直线的距离都等于1，即这些直线都与圆心在原点，半径为1的单位圆相切.所以集合A的补集表示的区域为圆心在原点，半径为1的圆去除边界的部分，故面积.故答案为：16．已知x，且满足，则的最小值为______．【答案】【分析】利用三角换元，以及由导数判断函数单调性求函数最值即可.【详解】令，故，令，故令，即，解得，此时单调递增；令，解得，此时单调递减，故当时，取得最小值，同时，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查最值的求解，处理问题的关键是利用三角换元，转化目标代数式为三角函数式，从而利用导数求解最值，属综合困难题. 四、解答题17．在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若．(1)求B；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合特殊角的三角函数值，即可求得结果；（2）构造关于的函数关系，求其值域即可.【详解】（1）根据正弦定理可得：，即，又，故，又，因此．（2）由正弦定理：，∴，，又，故，是锐角三角形，则，因此，，，故，∴．18．已知各项为正数的数列前n项和为，若．(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列前n项和为，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用求得的递推关系，得数列为等差数列，从而易得通项公式；（2）由错位相减法求得和即可证．【详解】（1）当n＝1时，，解得：．当时，由得：，因此，，又，∴，即：是首项为1，公差为2的等差数列，因此，的通项公式．（2）依题意得：，，∴，两式相减，得：，，因此，．19．如图，三棱锥中，，，．(1)AB上是否存在点Q，使得．若存在，求出点Q的位置并证明，若不存在，说明理由；(2)若，求直线AB与平面PAC所成角的正弦值．【答案】(1)存在Q，且Q是AB中点时，，证明见解析(2) 【分析】（1）取AB的中点为Q，根据条件容易证明 ；（2）根据线面夹角的定义，构造三角形按照正弦函数的定义计算即可.【详解】（1）存在Q，且Q是AB中点时，；证明如下：如图，取AC中点M，连结PM，QM，，，∴，又∵PA＝PC，∴， ，∴平面PMQ， 平面PMQ，即：；（2）如图，过点B作AC的平行线交MQ的延长线于点D，由（1）知：平面PMQ，∴ 平面PMD， 平面PMD， ，∠BDP＝90°， ，，，， 中，，DM＝BC＝1，，，由于平面PMQ， 平面PAC，∴平面平面PAC，在 中， ， ,点Q到平面PAC的距离 ，，因此AQ与平面PAC所成角的正弦值，即：直线AB与平面PAC所成角的正弦值为．20．2023年开始，浙江省将实行新高考改革，语、数、英三门科目与其他10省市都统一用全国试卷．为了了解学生对数学学科的学习情况，随机调查了某校100位学生在一天中课外学习数学的时间（分钟），并且分成了七组，第一组：，第二组：第七组：．由于某些原因，造成一些数据丢失，用字母a，b，c替换丢失的数据（如图）．已知第二组和第六组的频率相同，且前三组的频率成等比，后三组的频率成等差．(1)求样本频率分布直方图中的a，b，c；(2)求样本平均数；(3)根据统计，数学学科的优秀率与课外学习数学的时间有关系，如下表．试根据样本数据估计该校3000名学生中数学学科优秀的人数．学习时间（分钟）优秀率10%20%30%50%  【答案】(1)，，(2)(3)该校数学优秀学生人数大约为585人 【分析】（1）设第二组人数和第六组人数为x，第三组人数为y，根据直方图中的频率结合等差数列、等比数列的性质列方程组求解．（2）取各组数据中点值乘以相应频率再相加可得；（3）结合直方图中的频率及各组优秀率计算人数．【详解】（1）第一组的人数：0.002×20×100＝4，第四组的人数：0.0155×20×100＝31，第七组的人数：0.001×20×100＝2，设第二组人数和第六组人数为x，第三组人数为y，前三组频率成等比，得：①，后三组频率成等差，得：后三组人数和为：3x，样本容量为100，∴4＋x＋y＋31＋3x＝100②，由①②解得：x＝10，y＝25或x＝－26，y＝169（舍去），∴，第六组人数为18得：，．（2）样本平均数．（3）估计该校数学优秀学生人数．综上可知：该校数学优秀学生人数大约为585人．21．如图，过点的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，点P是直线BO上的点，且轴．(1)当最小时，求直线l的方程；(2)若直线PC，PD分别与抛物线相切，切点是C，D，求证：C，M，D三点共线．【答案】(1)或(2)证明见解析 【分析】(1)设,用两点间的距离公式求出关系式，化简就可以得出结果.(2)因为 A，M，B三点共线，则,又P，O，B三点共线,，即可得到P点的坐标，写出抛物线的两条切线方程，验证Ｃ，Ｄ两点在直线ＣＤ上，而Ｍ也在直线ＣＤ上，则C，M，D三点共线．【详解】（1）设，，当且仅当时，取得最小，此时．直线l的方程是：或（2）设，，，，∵A，M，B三点共线，得：，化简得：ab＝－4，又P，O，B三点共线，，化简得：t＝ab＝－4，∴，直线PC切抛物线于点，设直线PC的方程为联立方程组，整理得：，因为直线与抛物线相切，则，即，整理得：，所以，因为在抛物线上，所以，所以，代入直线方程，得又因为，，代入得∴PC方程为：，同理：PD方程为：，PC，PD相交于点，∴，，即：，两点均在直线ay＝x－4上，直线CD方程为：ay＝x－4，经过点，因此：C，M，D三点共线．22．已知函数（其中）．(1)当a＝1时，求函数的单调区间；(2)，恒成立，求实数a的取值的集合．【答案】(1)在区间和上是单调递增函数(2) 【分析】（1）求出的导数，根据导数的取值判断函数的单调区间；（2）根据不等式要求分离参数a得或，通过导数分类讨论在x不同区间下的最值，从而得出实数a的取值范围.【详解】（1）∵，化简得：，设,，因此恒成立．∴在区间和上是单调递增函数．（2），（i）当x＞0时，恒成立，（ii）当x＜0时，恒成立，令，即：当x＞0时，，当x＜0时，，，令，，由则函数递增，x＞0时，，即：，当x＞0时，是减函数，，当x＜0时，，即：，当x＜0时，是增函数，，因此，在上是减函数，在上是减函数．当x＞0时，，当x＜0时，，又由洛必达法则得：，因此，x＞0时，，x＜0时，，综上可知：．【点睛】本题考查分类讨论和恒成立问题，恒成立问题可按如下规则转化：一般地，已知函数（1）若总有成立，故；（2）若总有成立，故；另外本题中采用的泰勒公式作用仅限于对函数进行适当的缩放，故考生此公式可进行记忆以便后续类似题的直接使用.