2022-2023学年重庆市铁路中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年重庆市铁路中学校高二上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市铁路中学校高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知，，则 （   ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】向量数量积的坐标运算，就可以得到结果.【详解】因为，， 故选：D2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得到得到答案.【详解】椭圆焦点在轴上，且，故.故选：B.3．圆与圆的公共弦长等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】联立圆的方程求出公共弦的端点坐标，用两点距离公式即可求出公共弦长.【详解】解：联立，解得或，故公共弦长等于.故选：D.4．在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，，，设异面直线与所成角为，则.故选：B5．设实数，满足，则的最小值为（    ）A． B．4 C． D．8【答案】C【分析】根据题意得到表示直线上的点与点的距离，从而利用点到直线的距离公式即可求得最小距离.【详解】，所以表示直线上的点与点的距离，所以最小值为.故选：C.6．若直线与直线平行，则实数的值为（　　　）A． B．1 C．1或 D．【答案】A【分析】根据两直线平行得到，解得，再代入检验.【详解】解：因为直线与直线平行，所以，解得或，当时直线为，显然不成立，故舍去；当时直线为，符合题意；故选：A7．如图，在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则的值为（ ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据空间向量关系表示出，平方处理即可求得模长.【详解】由题平行六面体中，M为AC与BD的交点，，，，，所以故选：B8．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（　 　）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]【答案】B【分析】分别取棱、的中点、，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，分别取棱，的中点、，连，，，，，分别为所在棱的中点，则，，，又平面，平面，平面.，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，又，平面平面.是侧面内一点，且平面，点必在线段上.在中，.同理，在中，可得，为等腰三角形.当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长.由于，则,，.线段长度的取值范围是.故选：B. 二、多选题9．给出下列命题，其中正确的命题是（　　　）A．若 ，则 或B．若向量 是向量 的相反向量，则C．在正方体 中， D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则【答案】BCD【分析】根据向量模长，相等向量，相反向量概念逐项判断真假.【详解】对于选项A：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A错误；对于选项B：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B正确；对于选项C：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以C正确；对于选项D：若 ，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论也正确，所以D正确.故选：BCD.10．已知直线与圆，则（    ）A．直线与圆C相离B．直线与圆C相交C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个【答案】BD【分析】根据直线与圆的位置关系可判断.【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.故选：BD11．下列说法错误的是（    ）A．直线与直线互相垂直则B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或C．过、两点的所有直线的方程为D．无论为何值，直线必过定点【答案】AC【分析】对于A：取特殊值否定结论；对于B：分直线经过原点和不经过原点直接求直线方程；对于C：取特殊值或否定结论；对于D：用代入法进行验证.【详解】对于A：当a=0时，直线与直线分别化为：y=1和x=2，互相垂直.故A错误；对于B：当直线经过原点时，所求直线为：；当直线不经过原点时，用截距式方程表示：，因为在轴和轴上截距都相等，所以a=b，把（1，1）代入解得：a=b=2，所以所求直线为.故B正确；对于C：当或时，经过、两点的所有直线的方程不能表示为：.故C错误；对于D：把代入恒成立，所以无论为何值，直线必过定点.故D正确.故选：AC12．在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②的模，(表示向量，的夹角)．在正方体中，有以下四个结论，正确的有（　　　）A． B．与共线C． D．与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【分析】根据所给定义及正方体的性质一一计算可得.【详解】解：对于A，设正方体的棱长为，在正方体中，则，因为，且，所以，所以，所以，所以A正确；对于B，，，，平面，平面，因为平面，所以，同理可证，再由右手系知，与同向，所以B正确；对于C，由，和构成右手系知，与方向相反，又由模的定义知，，所以，则，所以C错误；对于D，正方体棱长为，，正方体表面积为，所以D对．故选：ABD． 三、填空题13．直线 的倾斜角是________.【答案】【分析】利用倾斜角与斜率的关系即可得出．【详解】解：设直线的倾斜角为，则，，，．【点睛】本题考查了倾斜角与斜率的关系，当倾斜角时，斜率，属于基础题．14．直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若直线l在y轴上的截距为6，则a＝________．【答案】     【分析】令x=0，则y=2（a﹣1）+a=6，解得即可．【详解】令x=0，则y=2（a﹣1）+a=6，解得a=．故答案为．【点睛】本题考查了直线的截距，属于基础题．15．函数的最小值是________.【答案】【详解】 当且仅当 时, 上式等号成立, 即当 时, y 取最小值. 四、解答题16．已知点P是椭圆（a > b > 0）上的一点，和是焦点，焦距为6，且.(1)求椭圆的标准方程:(2)若动直线L过与椭圆交于A、B两点，求的周长.【答案】(1)；(2)20. 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的定义求出a，b即可作答.（2）由（1）结合椭圆的定义，求出的周长作答.【详解】（1）令椭圆半焦距为c，则，即，由椭圆的定义知，因此，，所以椭圆的标准方程是.（2）由（1）知椭圆长半轴长，因弦AB过椭圆右焦点，而是左焦点，所以的周长.17．已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为.(1)求点的坐标；(2)求点的坐标及边所在直线方程.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）直接联立高和中线的方程解得答案.（2）设，根据斜率垂直得到，中点在中线上得到，解得坐标，得到直线方程.【详解】（1）因为点为高与中线所在直线的交点，由，解得，，（2）设，因为与高垂直，所以，故即①，线段中点在中线上，所以，即②由①②可解得，，，，方程为：，即.18．如图，在四棱锥SABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为BS上一点，且BE＝2ES．(1)证明直线SD∥平面ACE；(2)求点E到平面ACS的距离．【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）连接交于点F，由可得，再结合可得，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由题意可证得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解．【详解】（1）连接交于点F，连接，因为，所以与相似，所以，又，所以，因为平面平面，所以直线平面（2）因为平面平面，平面平面平面，，所以平面，以C为坐标原点，所在的方向分别为y轴､z轴的正方向，与均垂直的方向作为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，于是，则点E到平面ACS的距离为．19．已知圆过点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，其中为坐标原点，求直线的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出圆的标准方程，将两点坐标代入圆的方程，圆心坐标代入直线方程，解出三个参数，即可求出圆的方程；（2）根据条件设出直线的方程，消去得到关于的一元二次方程，将韦达定理的表达式代入，解出的值，分别判断是否满足，从而得出直线方程.【详解】（1）设所求圆的方程为，则由题可得：，解得： 故所求圆C的方程为.（2）由题设，可知直线的方程为.代入方程，整理得，设，则，，由题设可得，解得或，经检验 不满足   满足 所以的方程为.20．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且.(1)求点P的轨迹方程；(2)若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程;(3)若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）设出，由题意列出方程，化简得到点P的轨迹方程；（2）利用相关点法求解点M的轨迹方程；（3）表示的几何意义为圆心为，半径为2的圆上的点与连线的斜率，画出图形，数形结合求出最值，从而求出取值范围.【详解】（1）设，则，化简得：，故点P的轨迹方程为；（2）设，因为点M为AP的中点，所以点P的坐标为，将代入中，得到，所以点M的轨迹方程为；（3）因为点在（1）的轨迹上运动，所以，变形为，即点为圆心为，半径为2的圆上的点，则表示的几何意义为圆上一点与连线的斜率，如图：当过的直线与圆相切时，取得最值，设，则由点到直线距离公式可得：，解得：或·，故的取值范围是.21．已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上.(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD//平面EMC；(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时平面MEC与平面ECF的夹角的余弦值，若不存在，说明理由.【答案】(1)O在EA延长线上，且AO=2，证明见解析；(2)存在，点为线段AB的靠近点A或B的四等分点，. 【分析】（1）延长FM与EA的延长线交于点O，判断点O在平面ADE内，连DF交CE于N，结合线面平行的判定推理作答..（2）以AE的中点H为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量确定点M的位置，再计算两个平面夹角余弦作答.【详解】（1）依题意，四边形是矩形，而点M为AB的中点，延长FM与EA的延长线交于点O，又平面ADE，即有平面ADE，因，且，因此点A为线段EO中点，即AO=2，M为线段FO的中点，连DF交CE于N，连接MN，矩形CDEF中，N是线段DF中点，于是得，而平面，平面，所以平面.（2）依题意，平面，则平面，且为二面角的平面角，即，连接，而，即有为正三角形，取的中点H，连DH，则，由平面，平面，得平面平面，而平面平面，于是得平面，取BF中点G，连接HG，由矩形得，即有两两垂直，以点H为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则点，假设存在点M满足条件，因点M在线段AB上，设，，，设平面的一个法向量，则，令，得，因直线DE与平面EMC所成的角为60°，则，解得或，即存在点满足直线DE与平面EMC所成的角为60°，点为线段AB的靠近点A或B的四等分点，设平面的一个法向量，则，令，得，令平面MEC与平面ECF的夹角为，则，所以平面MEC与平面ECF的夹角的余弦值为. 五、双空题22．点P是直线上的动点，直线与圆分别相切于A，B两点，则当点 P的坐标为___________时， 切线段 的长度最短；四边形面积的最小值为___________.【答案】          【分析】由，当最短时的长度最短，求出直线的方程与联立可得解得坐标；由四边形，当最短时最小，可得的最小值.【详解】由得圆心，半径圆，因为，所以当最短时的长度最短，由圆心做直线的垂线，垂足为，此时最短，所以直线的斜率为，方程为，由解得，即.四边形，所以当最短时最小，由圆心到直线的距离为，所以的最小值为.故答案为：；.