2022-2023学年重庆市育才中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年重庆市育才中学校高二上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市育才中学校高二上学期期中数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将直线转化为斜截式得到直线斜率，再利用斜率公式求得直线的倾斜角即可.【详解】因为直线可化为，所以，设直线的倾斜角为，则由得，因为，所以.故选：D.2．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆的方程即得.【详解】因为圆的圆心为，则圆的圆心坐标是.故选：C．3．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线C的虚半轴长为1，半焦距为，则其渐近线方程为（    ）A． B． C．  D．【答案】B【分析】利用待定系数法结合题意求得双曲线方程，进而求得渐近线方程.【详解】依题意，设双曲线方程为，则由双曲线的几何性质易得，故，故双曲线方程为，所以其渐近线方程为.故选：B.4．已知两条直线与相互平行，则这两条直线间的距离为（    ）A．2 B．4 C． D．不确定【答案】A【分析】根据直线平行可得，进而根据平行线间距离公式即可求解.【详解】由两直线平行可得，所以 与，故两直线间的距离为 故选：A5．圆与直线的位置关系为（    ）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能【答案】C【分析】先求得直线所过的定点，再判断点与圆的位置关系，由此可知直线与圆的位置关系.【详解】因为直线方程为，所以令，则，即直线过定点，因为圆的方程为，故将代入得，所以点在圆的内部，故直线与圆相交.故选：C.6．已知直线：y = kx - 4与直线：x + 2y + 2 = 0的交点在第三象限.则实数k的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求得两直线的交点坐标，根据其所处现象列出不等式，求解即可.【详解】联立直线的方程可得，显然，故，则，根据题意，且，解得且，故.故选：A.7．古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点的距离之比为定值（≠1）的点所形成的图形是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，点P满足.当P、A、B三点不共线时，△PAB面积的最大值为（    ）A．24 B．12 C．6 D．4【答案】B【分析】设点，利用已知的等式，得到点的轨迹方程，从而确定点的轨迹是圆，将面积最大转化为圆上的点到直径的最大问题来分析，即可得到答案．【详解】设，因为，所以，化简整理可得，即，所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，又，且点，与圆心在轴上，故当点到x轴距离最大的时候，的面积最大值，因为圆上的P点到x轴的最大距离为半径，即的高的最大值为4，所以面积的最大值为．故选：B8．椭圆E:+=1（a>b> 0）左右焦点分别为上顶点为A，射线AF1 交椭圆E于B，以AB为直径的圆过，则椭圆E的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以AB为直径的圆过，即，由勾股定理与椭圆定义用表示出，，然后在和中，由得出的齐次等式，变形后可得离心率．【详解】由题意，设，则，又以AB为直径的圆过，即，所以，解得，所以，在和中，，，，所以，即，整理得，所以．故选：D． 二、多选题9．已知椭圆的焦距为2，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】就、分类讨论后可求的值.【详解】由椭圆的焦距，知，又，故当时，，当时，，故选：BC10．已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，利用点斜式可得直线方程.【详解】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，当直线时，因为直线的斜率为， 所以直线的方程是，即；当直线经过线段的中点时，则的斜率为，的方程是，即， 故选：AC11．若P是双曲线上一点，C的一个焦点为F，点，则下列结论中正确的是（    ）A．离心率为 B．的最小值是3C．的最小值是 D．焦点到渐近线的距离是2【答案】ACD【分析】对于A，将双曲线方程化为标准方程，易得，从而可求离心率；对于B，利用双曲线方程及两点距离公式，将问题转化为二次函数的最值，从而得解；对于C，利用双曲线的几何性质易得的最小值；对于D，利用点线距离公式即可求得焦点到渐近线的距离.【详解】对于A，由双曲线得，则，故，即，故双曲线离心率为，故A正确；对于B，设，则或，则，即，所以，故当时，，故，故B错误；对于C，易知，故C正确；对于D，由选项A知，双曲线焦点为，渐近线为，即，所以焦点到渐近线的距离为，故D正确.故选：ACD.12．已知圆 ，点P是直线l:x + y = 0上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（    ）A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为B．切线长PA的最小值为1C．四边形AMBP面积的最小值为1D．直线AB恒过定点【答案】BCD【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断B，由题可得四边形面积为，可判断C，由题可知点，，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可判断D．【详解】由圆，可知圆心，半径，圆心到直线的距离为，圆上的点到直线的最小和最大距离分别为和，由于圆上有两个点到直线的距离距离为，故A错误；由圆的性质可得切线长，当最小时，有最小值，又，，故B正确；四边形面积为，四边形面积的最小值为1，故C正确；设，由题可知点，，在以为直径的圆上，又，所以，即，又圆，即，两式子相减得：直线的方程为：，即，由，得，即直线恒过定点，故D正确．故选：BCD 三、填空题13．双曲线的实轴长为 _________ .【答案】6【分析】双曲线的几何性质，根据方程求出a的值即可.【详解】由得，a=3所以，实轴长为2a=6故答案为：6.14．已知圆C的方程为，过点（1，2）作圆C的切线，则切线方程为 _________ .【答案】【分析】首先判断点与圆位置关系，再设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程求参数k，即可写出切线方程.【详解】由题设，，故在圆上，根据圆及点（1，2），知：过点作圆C的切线斜率一定存在，∴可设切线为，由圆心到切线的距离，解得.∴切线方程.故答案为：.15．已知点和点，是直线上的一点，则的最小值是_________.【答案】【分析】先求得关于直线的对称点，结合图像，可知，当三点共线时，取得最小值.【详解】依题意，设是关于直线的对称点，则，且，解得，故，所以，即当三点共线时，取得最小值，又，所以，故的最小值为.故答案为：.16．已知椭圆的焦点为F1，F2，第一象限的点为椭圆上的动点，当为直角三角形时，点的横坐标是_________ .【答案】或【分析】分类讨论与两种情况，利用圆的性质可得点的轨迹方程，联立椭圆方程解之即可解.【详解】因为椭圆，所以，则，不妨设，如图，因为为椭圆上的动点，所以，又因为为直角三角形，点在第一象限，所以当时，易知，即点的横坐标是；当时，由圆的性质可知，点落在以为直径的圆在第一象限的弧上，此时圆心为，半径为，故点的轨迹方程为，联立，解得或（舍去），即点的横坐标是；综上：点的横坐标是或；故答案为：或.. 四、解答题17．已知△ABC的顶点，C在y轴上.(1)已知直线l过点A且在两条坐标轴上的截距之和为6，求l的方程；(2)若C到直线AB的距离为，求点C的坐标.【答案】(1)或(2)或 【分析】（1）根据直线的截距式方程，代入即可求解，（2）根据两点坐标，由斜截式求直线方程，进而根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）由于直线在两条坐标轴上的截距之和为6，可知直线与轴均有截距，且不为0，故设直线方程为： 因此或，即直线方程为或，故方程为：或（2）设直线方程为 将坐标代入得，所以直线的方程为：，即， 则点到直线的距离为 ，化简得，故或故或18．已知定点，动点.直线MA，MB的斜率之积为.(1)求点的轨迹方程:(2)直线与点的轨迹的交点为C，求的面积（ 为坐标原点）.【答案】(1)(2)12 【分析】（1）直接利用建立关于，的等式，进而得出动点的轨迹方程；（2）联立直线与曲线的方程可得点坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】（1），化简得，所以动点的轨迹方程是．（2）联立直线与曲线的方程，消元得，解得或，由于，所以这组解舍去，故，由于在轴上，所以19．已知直线，圆C的圆心为C（1，2）.(1)若，则直线l被圆C截得的弦长为2，求圆C的半径长；(2)当直线l被圆C截得的弦长最长、最短时，分别求出m的值.【答案】(1)圆C的半径长5.(2)直线l被圆C截得的弦长最长时，最短时. 【分析】(1)由几何法求得l被圆C截得的弦长即可得到值.(2) 当直线l过圆心时直线被圆C截得的弦长最长；可求出直线恒过定点，当时截得的弦长最短，得到的斜率从而可求出m的值.【详解】（1）当时，，圆心到直线的距离，直线l被圆C截得的弦长为，即，得.（2）当直线过圆心时，被圆截得的弦长最长，将C（1，2）代入得解得；因为直线变形为，由得，所以直线恒过定点.直线l被圆C截得的弦长为，要使截得的弦长最短，需要最大，当时最大，此时，故，而解得.20．已知椭圆C:，其右焦点为，左焦点为F1，A在椭圆上且满足.(1)求的大小；(2)若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）结合图像，利用椭圆的定义及余弦定理即可求得的余弦值，进而求得的大小；（2）设，则利用向量的数量积运算及代入法可得，结合由椭圆几何性质得到的的取值范围，利用二次函数的单调性即可求得的取值范围.【详解】（1）依题意，不妨设，则，又因为椭圆C:，所以，故，，则，所以由椭圆的定义可得，即，当点在椭圆左右顶点位置时，，不满足题意，所以点是椭圆上异于左右顶点的点，故在中，，因为，所以..（2）依题意，设，则由椭圆的几何性质易知，又由（1）得，，所以因为是该椭圆上的一个动点，则，即，故，因为开口向上，对称轴为，，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得最小值，又当时，，所以的最大值为，所以，即的取值范围为.21．在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，线段的中点为，点为上的点，且.(1)求证:平面平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2). 【分析】(1)由，为线段的中点，可得，又因为平面，可得，即可得平面，进而可得平面平面；(2)建立空间坐标系，用向量法求出二面角的余弦值，即可得正弦值.【详解】（1）证明：因为，为线段的中点，所以,所以,又因为,所以,即,所以①,又因为平面，平面，平面，所以,又因为,所以平面，又因为平面，所以②,又因为③,由①②③可得平面，又因为平面，所以平面平面；（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则,,由(1)可知平面，平面，所以，又因为，所以为的中点，又因为平面，平面，所以，又因为∥，所以，,所以平面,又因为,所以取平面的法向量为，又因为，,,设平面的法向量为，则有，所以，所以取，设二面角的大小为，则有，所以.22．已知椭圆C:（a > b > 0）的离心率，过左焦点F的直线l与椭圆交于点M、N.当直线l与x轴垂直时，的面积为（为坐标原点）.(1)求椭圆C的标准方程:(2)设直线l的倾斜角为锐角且满足，求直线l的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据直线与轴垂直时三角形的面积，以及椭圆的离心率，列出方程即可求得（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，求出的面积，另也可由求得的面积，由此得到关于的方程，即可求解.【详解】（1）当过左焦点F的直线l与x轴垂直时，，此时的面积为，且椭圆离心率，可得，解得则椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立可得，消去整理得，由于直线过椭圆的左焦点，故直线与椭圆必相交，则点到直线的距离且，解得所以直线的方程为，即或