2021-2022学年广东省广州市十六中高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广东省广州市十六中高二下学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．曲线在点处切线为，则 等于（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】C
【解析】根据导数的定义结合导数的几何意义，即可得出答案.
【详解】由题意可得
而
故选：C.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及导数的定义，属于基础题.
2．函数f（x）＝的图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性排除选项A,C，然后利用特殊值判断即可．
【详解】解：由题得函数的定义域为，关于原点对称.
所以函数是奇函数，排除选项A,C.
当时，，排除选项D，
故选：B．
3．的展开式中的系数为（ ）
A．B．5C．D．25
【答案】A
【分析】利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的系数为．
故选：A
4．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有（ ）
A．144种B．72种C．36种D．246种
【答案】A
【详解】甲乙相邻，看作一个整体，内部排列，他们两人都和丙不相邻，因此采用插空法，先排甲乙丙外的三人，三人之间或两边会出现四个空，将甲乙看作的一个人和丙选两空排列，
由此可知，不同的排法共有种,
故选:A
5．函数在上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对函数 求导，由于函数在给定区间上单调递增，故恒成立.
【详解】由题意可得， ， ，，.
故选：A
6．若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式求出函数的单调区间,然后求出函数的极大值,结合函数的单调性以及区间得到关于a的不等式，解出即可.
【详解】由，
令得，令可得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值，
令解得或
而函数在开区间上有最大值，故最大值即为极大值，
所以且，解得.
故选：D
7．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰､短道速滑和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种.
A．30B．60C．90D．150
【答案】D
【分析】将5人分为、两种形式分组，应用排列组合及不平均分组方法求分配方案数.
【详解】由题设，将5人分为、两种分组方式，
1、分组：种；
2、分组：种；
所以共有150种分配方案.
故选：D
8．设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，得到正确答案.
【详解】因为，，构造函数，
则，，，，
在上递增，在上递减.则有最大，即，.
若有两个解，则，
所以所以
即,
令，则，
故在上单增,所以，
即在上，.
若，则有，即.
故，所以.
当时，有，故
所以.
综上所述：.
故选：A
【点睛】利用函数单调性比较大小的类型：
（1）比较幂指数、对数值的大小；
（2）比较抽象函数的函数值的大小；
（3）利用单调性解抽象（结构复杂）函数型不等式.
二、多选题
9．以下求导运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】本题主要运用求导公式：，，但要注意常数的理解及解析式的转化处理．
【详解】，A不正确；
，B正确；
，C正确；
(为常数)，D不正确．
故选：BC．
10．由0，1，2，3，5，组成的无重复数字的五位数的偶数，则（ ）
A．若五位数的个位数是0，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数
B．若五位数的个位数是2，则可组成18个无重复数字的五位数的偶数
C．若五位数的个位数是2，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数
D．总共可组成8个无重复数字的五位数的偶数
【答案】AB
【分析】由于0是特殊元素，故按0分类讨论可得出答案.
【详解】对于A，若五位数的个位数是0，则前4位数在剩下的4个数任意排列，共个无重复数字的五位数的偶数，故A正确；
对于B、C，若五位数的个位数是2，则0必须在十位、百位、千位中任选一位来排有3种选法，那么剩下的数就可以任意排列，共有个无重复数字的五位数的偶数，故B正确，C错误；
对于D，由选项A、B可知选项D不正确.
故选：AB
11．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．两两互斥B．
C．事件B与事件相互独立D．
【答案】ABD
【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A，因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，故A项正确；
对于B，因为，，故B项正确；
对于C，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，故C项错误.
对于D，又，所以，故D项正确.
故选：ABD
12．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．若有3个零点，则a的范围为
B．时，是的极值点
C．时.有唯一零点且
D．时，恒成立
【答案】AC
【分析】对于A,有3个零点转化成直线与的交点个数，对的单调性进行考察，进而可得a的范围.
对于B，时，对求导，分析单调性，进而确定极值点可判断.
对于C，时，对求导，分析单调性，根据零点存在性定理可做出判断.
对于D，时，取一个特殊值即可推翻.
【详解】令，则，记则
所以在单调递增，且值域为，在上单调递减，在上单调递增，且在上的值域为
若有3个零点，则，故A对.
当时，，，在单调递增，在单调递减.当时，最小值为0，故可知，所以在上单调递增，无极值点，故B错.
当时，，，在单调递增，在单调递减.当时，最小值为1，故可知，所以在上单调递增，此时有唯一的零点，且，由零点存在性定理可知，故C对.
当时，，，故D错.
故选:AC
三、填空题
13．已知函数，则的单调递增区间是_________.
【答案】
【分析】先求定义域，求导后令求得不等式解集，结合定义域最终求得结果.
【详解】函数定义域为，，令得：，结合定义域，可知的单调递增区间为
故答案为：
14．将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有种不同的放法，则在的展开式中，含项的系数为______．
【答案】70
【分析】先求出，再由二项式定理展开求解
【详解】由题意得：
在展开式中，，当即时，该项为
故答案为：70
15．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数b=__________.
【答案】.
【详解】设直线与曲线和曲线的切点分别为，.
∵直线是曲线的切线，也是曲线的切线
∴，即.
∴切线方程为，即为或，即为
∴，则
∴
故答案为.
点睛：本题以导数的几何意义为载体，解答本题的关键是根据两函数在交点处的切线相同得到关于切点坐标的方程组，根据得到的相等关系将问题转化为求参数即可．
16．给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色．若有4种不同的颜色可供选择，则共有______种不同的染色方案．
【答案】288
【分析】分类考虑用三种不同颜色涂色和用四种不同颜色涂色，算出每种情况的不同涂色方案，即可得答案.
【详解】如图示，六个区域分别设为A,B,C,D,E,F区域，
若仅用三种不同的颜色涂色，那么A,C一定涂相同颜色，
此时共有种不同的涂色方案；
若选四种不同颜色涂色，
那么当A,C涂色相同时，那么A，B，C，D用了三种不同颜色，
这时考虑给E涂色时，可能是涂剩下的那一种颜色，也可能涂和AC或B相同的颜色，
此时有 种不同涂色方案，
当A,C涂色不相同时，有 种不同涂色方案，
故共有的涂色方案共有 种，
故答案为：288
四、解答题
17．已知数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，再结合等比数列的定义，即可求出结果；
（2）由（1）可知，再利用错位相减法，即可求出结果.
【详解】(1)解：因为，当时，，解得
当时，，
所以，
即.
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
(2)解：由（1）知，则，
所以①
②，
①-②得
.
所以数列的前项和
18．如图所示，在四棱维中，面，且.
(1)求与所成的角；
(2)求直线与面所成的角的余弦值；
(3)求点B到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的夹角的余弦值，求异面直线的夹角.
（2）建立空间直角坐标系，根据法向量与直线的方向向量的夹角来确定线面角的正弦值，再根据同角关系求余弦值.
（3）根据等体积的方式，求点到面的距离.
【详解】(1)因为面，所以两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
，所以与所成的角为
(2),设平面的法向量为，令，则，
设直线与面所成的角的为，又，
，
直线与面所成的角的余弦值为
(3),,故,所以，
设点B到平面的距离为，则由等体积法可得,即,从而可得，
点B到平面的距离
19．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．
(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；
(2)设表示选出的3名同学中男生的人数，求的分布列．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】(1)利用对立事件概率公式能求出选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；
(2)根据题意，的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
【详解】(1)解：由题意可知，选出的3名同学全是男生的概率为，
所以选出的3名同学中至少有1名女生的概率；
(2)解：根据题意，的可能取值为，则
， ，
，
所以的分布列为：
.
20．甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列；
(3)求的期望及标准差.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)，
【分析】（1）第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，进而结合概率的乘法公式即可求出结果；
（2）求出ξ的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与标准差的概念即可求出结果；
（3）由期望公式、标准差公式可求解.
【详解】(1)因为第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，
所以;
(2)由题意，可取0，1，2.
P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝.
故ξ的分布列为：
(3)由（2）有E(ξ)＝，
D(ξ)＝，所以.
21．已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先对函数求导，根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，进而可求出切线方程；
（2）根据题中条件，得到对恒成立，令，对其求导，利用导数的方法判定其单调性，求出其最小值，即可得出结果.
【详解】（1）因为，所以，，，
切线方程为，即；
（2）当时，恒成立，即对恒成立，
令，则，
令，则，
，，是增函数，
令，得，
，，
，为增函数，；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
时，取得最小值为，
整数的最大值为
【点睛】思路点睛：
由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
22．已知函数.
(1)若在处取得极值，求的单调区间；
(2)若，求在区间上的最值；
(3)若函数有1个零点，求a的取值范围.（参考数据：）
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间
(2)最小值,最大值为
(3)
【分析】（1）求导，且，求得，根据导数与函数单调性的关系，即可求得单调区间；
（2）根据导数与函数单调性，可求闭区间上的最值.
（3）求得及其导数，讨论函数的单调性结合零点存在定理可求参数的范围.
【详解】(1)由题意可得，，
则，由，即，
所以，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以单调递减区间为，单调递增区间；
(2)由（1）在上单调递减，在单调递增
故当时,取最小值,
所以取最大值为
(3)，，
若，则在上恒成立，
当时，，此时在上无零点，
当时，而，，
故在上有且只有一个零点.
若，
当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故，
当时，，此时在上有且只有一个零点.
当时，，
当时，，
此时，，
设，则，
故在上为增函数，故，
而，故此时在上有且只有两个不同的零点，
不合题设，舍，
综上，的取值范围．
【点睛】本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性的关系，函数零点问题，考查分离参数法，函数思想，计算能力，属于中档题．
ξ
0
1
2
P