2021-2022学年上海市市北中学高二下学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市市北中学高二下学期期末数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知物体做直线运动的方程为，则表示的意义是（ ）
A．经过4s后物体向前走了10mB．物体在前4秒内的平均速度为10m/s
C．物体在第4秒内向前走了10mD．物体在第4秒末的瞬时速度为10m/s
【答案】D
【分析】根据导函数的定义判断可得选项.
【详解】解：由导数的意义知表示物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s．
故选：D.
2．若，则的值是（ ）
A．-2B．-3C．125D．-131
【答案】C
【详解】试题分析：令，得；令，得，即．又，所以，故选C．
【解析】二项式定理．
3．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为
A．55B．89C．120D．144
【答案】A
【分析】根据杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，找出规律，即可求出数列的第10项，得到答案.
【详解】由题意，可知，
，
故选A.
【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中读懂题意，理清前后项的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、多选题
4．对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．
【详解】解：因为，故选项A正确；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C错误；
因为，故选项D正确．
故选：AD．
三、填空题
5．除以的余数是___________.
【答案】
【分析】由结合二项式定理可求得除以的余数.
【详解】，
而能被整除，
故除以的余数是.
故答案为：.
6．展开式的中间项是___________.
【答案】
【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求解.
【详解】解：展开式的通项为：，展开共有7项，故中间项是第4项，
，
故答案为：.
7．函数的导数为___________.
【答案】
【分析】根据导数四则运算，即可求解.
【详解】解： ，
故答案为：
8．计算：___________.
【答案】35
【分析】直接求解.
【详解】,
故答案为：35.
9．设常数，在空格内，写出左边到右边的推导过程：___________.
【答案】
【分析】根据基本初等函数的导数及导数的运算，即可求解.
【详解】.
故答案为：.
10．将4本不同的书分给3所不同的学校，其中一所学校分得2本，另两所学校各分得1本，则分书的种数为___________.
【答案】36
【分析】这是部分均匀分配问题，先分堆，后分配.
【详解】解：分书的种数为(种).
故答案为：36.
11．曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】根据导数求切线斜率，即可求解.
【详解】解：，所以切线斜率为：，切线方程为，
整理得：，
故答案为：
12．已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是___________.（填序号）
①恒成立；
②；
③；
④；
⑤
【答案】②⑤
【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据图象的单调性判断①②③选项，根据图象的凹凸性判断④⑤选项.
【详解】由题中图象可知，导函数的图象在x轴下方，即，且其绝对值越来越小，因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的大致图象如图所示．
选项①，导函数只能反映原函数的单调性，不能反映原函数的正负，故①错；
选项②表示与异号，即图象的割线斜率为负，故②正确，
选项③表示与同号，即图象的割线斜率为正，故③不正确；表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当和时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有，故④不正确，⑤正确．
故答案为:②⑤．
四、双空题
13．有8名学生排成一排，甲､乙相邻的排法种数为___________，甲不在排头，乙不在排尾的排法种数为___________.（用数字作答）
【答案】 10080 30960
【分析】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列；
（2）可采用间接法得到；
【详解】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列，故有种情况；
（2）利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情况，故有种情况
故答案为：10080；30960
14．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示当x为___________时，正三棱柱的体积最大，最大值是___________.
【答案】
【分析】先设内部小三角形的边长为，根据三棱柱的体积的表达式，构建函数，利用导函数求最值，即可.
【详解】解：由题意得：
内部小三角形的边长为，又，所以，
三棱柱的体积为，
令
，
所以故，
所以.
故答案为：；；
五、解答题
15．求函数的导函数，并由此确定正切函数的单调区间.
【答案】单调递增区间为：
【分析】根据导函数及定义域，即可求解单调区间.
【详解】解：，又定义域为
,所以单调递增区间为：,无单调递减区间.
16．一个罐子中有同样大小及重量的20个玻璃球，其中4个是红色的，6个是黑色的，10个是白色的.经充分混合后，从罐子中同时取出2个球，求下列事件的概率：
(1)两个球都是黑色的；
(2)两个球的颜色不同.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据组合数公式即可求解，
（2）先算出摸出的两个球是同色的概率，再用排除法即可求解.
【详解】(1)两个球都是黑色的概率为
(2)两个球的颜色不同的概率为.
17．设展开式的各项系数和为t，其二项式系数和为h，若，求：
(1)展开式中x的无理项个数；
(2)展开式中系数最大的项.
【答案】(1)5
(2)
【分析】(1)由二项式系数和与各项系数和可得n，再由通项公式，即可求解.
(2)假设第项系数最大，再由不等式，即可求解.
【详解】(1)解：各项系数和为，
解得：，解得，
展开式通项公式为，，
当时，是整数，时，不是整数，系数是无理数，共有5项．
(2)假设第项系数最大，则
，即，
解得：，
又,所以，所以系数最大的项为：.
18．（1）若，解不等式；
（2）在的展开式中，第k项，第项，第项的系数成等差数列，求n和k的值；
（3）设计一道排列组合的应用题，验证下面这个等式成立：
【答案】(1) ；(2) ,.(3)过程见解析;
【分析】(1)利用排列数公式,即可求解;
(2)列用二项式展开式的通项公式,即可求解;
(3)根据的展开式中项的系数设计题目,即可证明.
【详解】解:(1) 得,,化简得,又,所以
(2),所以有
展开得:,
化简得:,整理得,
且,
解得: 或,
所以只能是一个奇数的平方,
令,
所以,,
此时,
所以,.
(3)题目为: “求的展开式中项的系数为多少? ”,
解:由题意可得: 展开式中含项为,
也可以拆开为,故展开式中含项可以按照前面提供个x,后面提供个x, 前面提供个x,后面提供个x,……以此类推,
即可得展开式中含项为,
所以得证.
19．已知函数.
(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若，求函数在上的最大值和最小值；
(3)若，求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；由此启发，给出以下结论成立的一个判断依据，“在区间（a为常数）上，可导函数的图象在可导函数的图象上方”（不必证明）.
【答案】(1)极小值
(2)，
(3)见解析
【分析】（1）代入，从而化简并求其定义域，再求导判断函数的单调性及极值即可；
（2）代入，从而化简并求其定义域，再求导判断函数的单调性及求函数的最值；
（3）代入，令，从而化在区间，上，函数的图象在的图象下方为在，上恒成立，再化为函数的最值问题即可．
【详解】(1)解：当时，的定义域为，
，
当时，，当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以在处取得极小值；
(2)解：当时，的定义域为，
，
故在，上是增函数，
故，；
(3)证明：令，
则，
，，
，
在，上是增函数，
故，
故在区间，上，函数的图象在的图象下方，
要使在区间（a为常数）上，可导函数的图象在可导函数的图象上方，
只需要函数在区间（a为常数）上恒成立即可.