2022-2023学年山东省菏泽市成武县育青中学九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市成武县育青中学九年级（上）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省菏泽市成武县育青中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上任一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B．若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（　　）

A．a B．a C．a D．a
2．（3分）如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（　　）
A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
3．（3分）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，，∠D＝128°，则∠B的度数为（　　）

A．128° B．126° C．118° D．116°
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，则方程可化为（　　）
A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x+8）2＝23 D．（x﹣8）2＝9
5．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣5
C．y＝2（x﹣4）2﹣1 D．y＝2（x﹣4）2﹣5
6．（3分）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tanB＝（　　）

A．2 B．2 C． D．
7．（3分）如图，在长为30m，宽20m的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为551m2，求道路的宽度．设道路的宽度为xm，则可列方程（　　）

A．（20+x）（30+x）＝551 B．（20﹣x）（30﹣x）＝551
C．20×30﹣20x﹣30x＝551 D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
2
4
5
…
y
…
﹣7
﹣2
1
1
﹣7
﹣14
…
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向上
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最大值是2
D．抛物线与x轴只有一个交点
二．填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围是 　 　．
10．（3分）如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 　 　．

11．（3分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正确的结论有 　 　．

12．（3分）如图，正方形ABCD中，扇形ABC与扇形BCD的弧交于点E，AB＝2cm，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2．（不求近似值）

13．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣2，5），则该抛物线上纵坐标为5的另一个点D的坐标是　 　．
14．（3分）车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到 　 　km/h．

三、解答题（共78分）
15．（4分）计算：﹣12022|2|．
16．（6分）如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到正面为横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，试求此时热气球（体积忽略不计）附近的温度．（参考数据：，，）

17．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BCAB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值．

18．（10分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
19．（6分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF．判断EF和BC的位置关系，并证明．

20．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点在y轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点．
①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；
②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N纵坐标n的取值范围．
21．（10分）如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式组的解集．

22．（6分）有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．
（1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率．
（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？
23．（14分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点H（n，t）为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为H1，当点H1落在第二象限内，H1A2取得最小值时，求n的值．


2022-2023学年山东省菏泽市成武县育青中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上任一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B．若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（　　）

A．a B．a C．a D．a
【分析】首先证明△CAD∽△CBA，得，从而，即可得出答案．
【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴，
∴，
∵△ABD的面积为a，
∴S△CADa，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
2．（3分）如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（　　）
A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
【分析】根据相似三角形的判定方法可得新三角形与Rt△ABC是相似的，从而可得锐角A的大小是不变的，即可解答．
【解答】解：∵Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍后，所得的三角形与Rt△ABC是相似的，
∴锐角A的大小是不变的，
∴锐角A的正弦、余弦值是没有变化，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（3分）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，，∠D＝128°，则∠B的度数为（　　）

A．128° B．126° C．118° D．116°
【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：连接AC、CE，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，
∴∠CAE+∠D＝180°，
∴∠CAE＝180°﹣128°＝52°，
∵，
∴∠ACE＝∠AEC（180°﹣52°）＝64°，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴∠AEC+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣64°＝116°，
故选：D．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，则方程可化为（　　）
A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x+8）2＝23 D．（x﹣8）2＝9
【分析】将常数项移动方程右边，方程两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2+8x+7＝0，
移项得：x2+8x＝﹣7，
配方得：x2+8x+16＝9，即（x+4）2＝9．
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
5．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣5
C．y＝2（x﹣4）2﹣1 D．y＝2（x﹣4）2﹣5
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1+3）2﹣3+2，即y＝2（x+2）2﹣1；
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
6．（3分）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tanB＝（　　）

A．2 B．2 C． D．
【分析】先判断DA＝DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可计算．
【解答】解：
∵CA是∠BCD的平分线，
∴∠DCA＝∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，
∵AB⊥AC，
∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），
∴点F是AC中点，
∴AF＝CF，
∴EF是△CAB的中位线，
∴EFAB＝2，
∵1，
∴DF＝EF＝2，
在Rt△ADF中，AF4，
则AC＝2AF＝8，
tanB2．
故选：B．

【点评】本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点，难度较大．
7．（3分）如图，在长为30m，宽20m的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为551m2，求道路的宽度．设道路的宽度为xm，则可列方程（　　）

A．（20+x）（30+x）＝551 B．（20﹣x）（30﹣x）＝551
C．20×30﹣20x﹣30x＝551 D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551
【分析】由道路的宽度为xm，可得出剩余田地部分可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据剩余田地的面积为551m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽度为xm，
∴剩余田地部分可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
依题意得：（20﹣x）（30﹣x）＝551．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
2
4
5
…
y
…
﹣7
﹣2
1
1
﹣7
﹣14
…
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向上
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最大值是2
D．抛物线与x轴只有一个交点
【分析】根据给出的自变量x与函数值y的对应值逐一分析解答即可．
【解答】解：∵抛物线经过点（﹣2，﹣7），（4，﹣7），
则对称轴为x＝1，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+k，
代入点（0，1）和（﹣1，﹣2）得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2，
∵a＝﹣1，
∴抛物线开口向下，故A不符合题意；
∵对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故B不符合题意；
∵抛物线的顶点坐标为（1，2），开口向下，
∴二次函数的最大值为2，故C符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点为（1，2），
∴抛物线与x轴有两个交点，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数解析式是解题的关键．
二．填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围是 　且k≠0　．
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别列出不等式组求解即可．
【解答】解：根据题意可知，．
解得：且k≠0，
故答案为：且k≠0．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，根据题意列出不等式组是解题的关键．
10．（3分）如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 　（1，2）或（﹣1，﹣2）　．

【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：由题意得，点A与点C是对应点，
△AOB与△COD的相似比是3，
∴点C的坐标为（3，6），即（1，2），
当点C值第三象限时，C（﹣1，﹣2）
故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．

【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键．
11．（3分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正确的结论有 　②⑤⑥　．

【分析】根据对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，可判断①；由顶点坐标可判断②；由B坐标可判断③；由抛物线与x轴交点坐标个数可判断④；由抛物线与x轴交点的横坐标可判断⑤；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，故⑥正确．
【解答】解：∵二次函数对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，
∴ab＜0，c＞0，abc＜0．
∴故①不正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，
∴顶点坐标为（1，a+b+c），且开口向下，二次函数的最大值为a+b+c，
故②正确；
∵抛物线过B（﹣1，0），
∴x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
故③不正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故④不正确；
∵对称轴为直线x＝1，B（﹣1，0），
∴A（3，0），
由图象可知，﹣1＜x＜3时，y＞0，
故⑤正确；
∵x1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴c+3a＝0．
故⑥正确．
故答案为：②⑤⑥．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与x轴的交点等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键．
12．（3分）如图，正方形ABCD中，扇形ABC与扇形BCD的弧交于点E，AB＝2cm，则图中阴影部分的面积为 　π　cm2．（不求近似值）

【分析】根据正方形的性质，可得边相等，角相等，根据扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，可得△BCE的形状，根据图形的割补，可得阴影的面积是扇形，根据扇形的面积公式，可得答案．
【解答】解：正方形ABCD中，
∴∠DCB＝90°，DC＝AB＝2cm．
扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，
∴△BCE是等边三角形，∠ECB＝60°，
∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB＝30°．
根据图形的割补，可得阴影的面积是扇形DCE，
S扇形DCE＝π×22π（cm2），
故答案为：π．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，扇形的面积，灵活应用图形的割补是解题关键．
13．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣2，5），则该抛物线上纵坐标为5的另一个点D的坐标是　（4，5）　．
【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再根据抛物线关于对称轴对称即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），
∴其对车轴为x1．
设D（x，5），
∵点C（﹣2，5）在此抛物线上，
∴1，解得x＝4，
∴D（4，5）．
故答案为：（4，5）．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的图象关于对称轴对称是解答此题的关键．
14．（3分）车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到 　240　km/h．

【分析】依据行程问题中的关系：时间＝路程÷速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式，把t＝2.5h代入即可得到答案．
【解答】解：∵从甲地驶往乙地的路程为200×3＝600（km），
∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为t，
当t＝2.5h时，即2.5，
∴v＝240，
答：列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到240km/h．
故答案为：240．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键．
三、解答题（共78分）
15．（4分）计算：﹣12022|2|．
【分析】这里，先算﹣12022＝﹣1，4，|2|＝2，再进行综合运算．
【解答】解：﹣12022|2|
＝﹣1﹣4+2
＝﹣3．
【点评】本题考查了实数的综合运算，计算过程中要细心，注意正负符号，综合性较强．
16．（6分）如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到正面为横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，试求此时热气球（体积忽略不计）附近的温度．（参考数据：，，）

【分析】过A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，则CD＝AD，再由锐角三角函数定义得BDAD，则ADAD＝75，求出AD的长，即可解决问题．
【解答】解：过A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，如图所示：
则∠ACD＝45°，∠ABD＝53°，
在Rt△ACD中，tan∠ACD，
∴CDAD，
在Rt△ABD中，tan∠ABD，
∴BDAD，
由题意得：ADAD＝75，
解得：AD＝300（m），
∵此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，
∴此时热气球（体积忽略不计）附近的温度约为：20℃0.6℃＝18.2℃，
答：此时热气球（体积忽略不计）附近的温度约为18.2℃．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和锐角三角函数定义是解题的关键．
17．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BCAB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值．

【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；
（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2＝MN•MC；代入数据可得MN•MC＝BM2＝8．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．

（2）证明：∵AC＝PC，
∴∠A＝∠P，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．
又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，
∴∠COB＝∠CBO，
∴BC＝OC．
∴BCAB．

（3）解：连接MA，MB，
∵点M是 的中点，
∴，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴．
∴BM2＝MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∵AB＝8，
∴BM＝4 ．
∴MN•MC＝BM2＝32．

【点评】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
18．（10分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，利用经过两次上调价格后的价格＝原价×（1+这两次价格上调的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元．
【解答】解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝16.9，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）．
答：这两次价格上调的平均增长率为30%．
（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，
依题意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，
整理得：m2﹣4m+3＝0，
解得：m1＝1，m2＝3．
又∵要让顾客获得更大的优惠，
∴m的值为3．
答：每包应该降价3元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（6分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF．判断EF和BC的位置关系，并证明．

【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠EAD＝∠FAD，则根据圆周角定理得到，再利用垂径定理的推理得到AD⊥EF，于是可判断EF∥BC．
【解答】解：EF∥BC．
理由如下：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
即∠EAD＝∠FAD，
∴，
∵AD为直径，
∴AD⊥EF，
而AD⊥BC，
∴EF∥BC．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和等腰三角形的性质．
20．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点在y轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点．
①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；
②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N纵坐标n的取值范围．
【分析】（1）由题意可知b＝0，再将（2，2）代入y＝ax2+bx﹣2即可求解析式；
（2）①求出A（，0），B（，0），再由2[c+2+（c+2）2]＝4（c+2），即可求c；
②由题意可得m，k＜0，再由m＞6，可得k＜0，联立，得到AB的中点为（，1），设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为y＝k'x+b，与x轴的交点P（，0），与y轴的交点为N（0，b），由∠PNO＝∠AMO，可得k'＝m，则有线段AB的垂直平分线为yx，所以N点纵坐标为n，即可求n．
【解答】解：（1）∵顶点在y轴上，
∴b＝0，
∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），
∴4a﹣2＝2，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2；
（2）①当k＝0时，y＝c，
联立，
∴A（，c），B（，c），
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴P点在AB的垂直平分线上，
∴P点在抛物线的顶点（0，﹣2）处，
∵AB＝2，AP＝BP，
∴2[c+2+（c+2）2]＝4（c+2），
∴c＝﹣1；
②∵c＝1，
∴y＝kx+1，
∴m，
由题意可知，k＜0，
∵m＞6，
∴k＜0，
联立，
∴x2﹣kx﹣2＝0，
∴xA+xB＝k，
∴AB的中点为（，1），
设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为y＝k'x+b，
∴与x轴的交点P（，0），与y轴的交点为N（0，b），
∵PN⊥AB，
∴∠PNO＝∠AMO，
∴，
∴k'＝m，
∴yx+b，
∴线段AB的垂直平分线为yx，
∴N点纵坐标为n，
∴n．

【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，求出线段垂直平分线的解析式是解题的关键．
21．（10分）如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式组的解集．

【分析】（1）把A点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出B点的坐标，求出C点的坐标，再根据三角形面积公式求即可；
（3）根据图象即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y＝x+m的图象上，
∴2+m＝1，即m＝﹣1，
∵A（2，1）在反比例函数的图象上，
∴，
∴k＝2；
（2）连接OA、OB，
∵一次函数解析式为y＝x﹣1，令y＝0，得x＝1，
∴点C的坐标是（1，0），
由解得，，
∴由图象可得：点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴；
（3）由图象可知不等式组的解集为1＜x≤2．

【点评】本题考查了待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式、两函数的交点问题和函数的图象等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键，用了数形结合思想．
22．（6分）有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．
（1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率．
（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？
【分析】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．
【解答】解：（1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表：

1
2
3
4
5
5
10
15
20
6
6
12
18
24
7
7
14
21
28
8
8
16
24
32
由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，所以甲获胜的概率为P甲．（4分）
（2）这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率P甲，乙获胜的概率P乙，，所以，游戏对双方是不公平的．（6分）
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（14分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点H（n，t）为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为H1，当点H1落在第二象限内，H1A2取得最小值时，求n的值．

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PG∥y轴交AC于点G，设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1），S△PAC（t）2当t时，△PAC的面积最大值为，此时P（，）；
（3）由题意可知H1在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，再由H1A2＝（t）2，可得当t时，H1A2有最小值，求出n的值即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）两点代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）设AC的直线解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+1，
过点P作PG∥y轴交AC于点G，
设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1），
∴PG＝﹣t2+t+2，
∴S△PAC3×（﹣t2+t+2）（t）2，
∴当t时，△PAC的面积最大值为，
此时P（，）；
（3）点H（n，t）为抛物线上的一个动点，点H1与H点关于y轴对称，
∴H1（﹣n，t），H1在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴t＝﹣n2﹣2n+3，
∴H1A2＝（n+1）2+t2＝t2﹣t+4＝（t）2，
∴当t时，H1A2有最小值，
∴n2+2n+3，
解得n＝1．


【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，求出动点H1的函数解析式是解题的关键．
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