2022-2023学年山西省晋中市平遥县第二中学校高二上学期10月质检数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山西省晋中市平遥县第二中学校高二上学期10月质检数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省晋中市平遥县第二中学校高二上学期10月质检数学试题 一、单选题1．已知空间中四个不同的点、、、，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空间向量的线性运算化简可得结果.【详解】.故选：A.2．已知双曲线的虚轴长为4，则实数的值为（    ）.A．4 B． C． D．【答案】A【分析】由双曲线方程确定虚轴在轴，从而确定参数值．【详解】由题意虚轴在轴，，．故选：A．3．双曲线的渐近线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】由双曲线得， ，即 ，所以双曲线的渐近线方程是，故选：D．【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线的渐近线方程是；双曲线的渐近线方程是．4．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（    ）.A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定【答案】A【分析】根据圆心到直线的距离与半径进行比较来确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以直线和圆相切.故选：A5．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（    ）.A． B． C．或 D．4或【答案】C【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线开口向左，依题意，抛物线上的点与点间的距离为3，所以，抛物线方程为，令，得，解得，故选：C6．已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（      ）A． B．C． D．【答案】D【分析】设且，半径为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】依题意，圆经过点，可设且，半径为，则，解得，所以圆的方程为.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程的形式，以及合理应用圆的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．过点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，若直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则等于（    ）.A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用点差法求得正确答案.【详解】设，由于在椭圆上，所以，两式相减并化简得，即.故选：D8．如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，，E为弧AB的中点，F为母线BC的中点，则异面直线AC和EF所成角的正切值为（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则为圆台的高，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出，可得，设异面直线AC和EF所成角为，利用同角三角函数关系式可得答案.【详解】设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则，连接，因为是弧AB的中点，所以，以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，设异面直线AC和EF所成角为，所以，可得.故选：C. 二、多选题9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）.A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BC【分析】根据空间向量共面定理的知识确定正确答案.【详解】依题意构成空间的一个基底，A选项，由于，所以，，共面.B选项，由于不存在实数使，所以，，不共面，B选项正确.C选项，，由于不存在实数使，所以，，不共面，C选项正确.D选项，由于，所以，，共面.故选：BC10．已知圆：和圆：则（    ）A．两圆相交 B．公共弦长为C．两圆相离 D．公切线长【答案】AB【分析】先将圆的一般方程化为标准，再计算圆心间距离判断两圆的位置关系，最后根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案.【详解】圆的标准方程为：，圆心为（5，5）半径为 圆 的标准方程为：，圆心为（3，-1）半径为 所以两圆心的距离：，两圆相交，选项A正确，选项C错误；设两圆公共弦长为L，则有：，选项B正确，选项D错误.故选：AB11．已知方程表示的曲线为则以下四个判断正确的为（    ）A．当时，曲线表示椭圆B．当或时，曲线表示双曲线C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则【答案】BCD【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程，逐项判断正误；【详解】若曲线：表示椭圆，则且，故A不正确；若曲线：表示双曲线，则或，故B正确；若曲线：表示焦点在轴上的椭圆，则，故C正确；若曲线：表示焦点在轴上的双曲线，则，故D正确；故选：BCD12．在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（    ）A．若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线B．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆C．若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D．若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线【答案】ABD【分析】A.根据平面，判断点的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.【详解】A.在正方体中，平面，所以，所以平面，平面，所以，同理，所以平面，而点P在侧面所在的平面上运动，且，所以点的轨迹就是直线，故A正确；B.点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，即点的轨迹为小圆，设小圆的半径为，球心到平面的距离为1，则，所以小圆周长，故B正确；C. 点P到直线AB的距离就是点到点的距离，即平面内的点满足，即满足条件的点的轨迹就是线段，不是椭圆，故C不正确； D.如图，过分别做于点，于点，则平面，所以，过做，连结，，所以平面，所以，如图建立平面直角坐标系，设，，则，，即，整理为：，则动点的轨迹是双曲线，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型. 三、填空题13．若直线与直线平行，则______.【答案】或或【分析】由两直线平行可得出关于实数的等式，解之即可.【详解】因为，则，即，解得或.故答案为：或.14．若P是上的一点，是其焦点，若，则的面积为________．【答案】【分析】根据椭圆定义和焦点三角形，利用余弦定理和面积公式即可求解.【详解】根据椭圆的定义有①，，根据余弦定理得，②结合①②解得，所以的面积，故答案为：15．二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为________．【答案】【分析】利用向量运算表示,结合条件的垂直关系和长度关系可求.【详解】由条件，知，，.∴.∴，又∵，∴，∴二面角的大小为.故答案为：.【点睛】本题主要考查二面角的求解，二面角大小的求解首选向量法，明确向量夹角与二面角之间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16．如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.【答案】【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.【详解】设左焦点为，连接，依题意：是以为顶点的等腰直角三角形，，两点关于原点对称，结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，所以，设，则，，由，即，整理得，.故答案为： 四、解答题17．在中，边，所在直线的方程分别为，，点在边上.(1)求直线的方程；(2)若为边上的高，求直线的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知两直线方程联立求得点坐标，由斜率公式得直线斜率，从而得直线方程；（2）由垂直得直线方程后可得直线方程．【详解】（1）由，得，即，，直线方程为，即；（2）由题意，直线方程为，即．18．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.（2）根据椭圆的焦点和顶点，求得双曲线的，从而求得双曲线的标准方程.【详解】（1）设双曲线的方程为.由，，得，，，所以双曲线的方程为.（2）由题意可知，双曲线的焦点在轴上.设双曲线的方程为，则，，，所以双曲线的方程为.19．如图，平面，，，，，.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)线段上是否存在一点，使得平面.若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.（2）设，根据与平面的法向量平行来求得点的位置.【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.由已知可得，，，.，，.设平面的法向量，由得，可得平面的一个法向量，所以直线与平面所成角的正弦值.（2）假设存在点，满足条件.可设，，所以，所以.若符合题意，则，则，无解，所以不存在符合题意的点.20．已知直线与椭圆相交于不同两点.(1)若，，求椭圆的焦距；(2)求的取值范围.【答案】(1)2(2) 【分析】（1）把，代入椭圆方程，由得到的椭圆标准方程求焦距.(2)直线与椭圆联立方程组，消去，得到关于x 的一元二次方程，由，化简得，即可得到的取值范围.【详解】（1）由已知得椭圆方程为，所以，，故，所以焦距为2.（2）联立方程组，消去，得，直线与椭圆相交于不同两点，所以，化简得，因为，，所以，所以的取值范围是.21．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点：对于函数，求的最小值.【答案】【分析】根据给定的条件，利用式子的几何意义，结合两点间距离及对称问题求解作答.【详解】函数，因此表示点到点的距离与到的距离之和，而点在轴上，点关于轴的对称点，于是得，当且仅当点共线，即P与原点重合，时取等号，所以当时，取得最小值.22．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，为原点.求面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.（2）结合弦长公式求得三角形面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值.【详解】（1）由焦距为2，得，所以①.由椭圆过点，得②，将①代入②，整理得，解得，（舍去）.所以，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，消去，得.所以，解得.设，，则，.所以，原点到直线的距离.所以.由基本不等式知，.当且仅当，即时取等号.所以的面积的最大值为.【点睛】求解圆锥曲线中三角形面积有关的问题，关键点有三点：一个是弦长，一个是面积，一个是最值或取值范围.弦长的求法主要结合根与系数关系，面积还要结合点到直线的距离公式，求面积的最值或取值范围，可考虑基本不等式、二次函数的性质等知识来进行求解.