2022-2023学年四川省峨眉第二中学校高二上学期10月月考数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省峨眉第二中学校高二上学期10月月考数学（理）试题

一、单选题

1．下列命题正确的是（    ）

A．若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

B．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行

C．两相交直线确定一个平面

D．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥

【答案】C

【分析】ABD选项均可举出反例，C选项，根据不在同一条直线上的三点确定一个平面进行证明即可.

【详解】A选项，若一个平面中的无数条直线均平行，则不能得到这两个平面平行，A错误；

B选项，如图，，，但与不平行，B错误；

C选项，两相交直线的交点设为A点，再分别在两直线取两个点（除A点），则三个点不共线，由不在同一条直线的三点确定一个平面，C正确；

D选项，如图所示，该几何体由两个三棱锥拼接而成，不是棱锥，D错误.

故选：C

2．如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是（    ）

A．直三棱柱 B．圆柱 C．正四棱锥 D．圆锥

【答案】D

【分析】根据给定的条件，利用几何体的结构特征及三视图的意义逐项判断作答.

【详解】对于A，直三棱柱侧面是矩形，将三棱柱竖直放在水平面上，其正视图可为矩形，A可能；

对于B，圆柱的轴截面是矩形，将圆柱竖直放在水平面上，其正视图可为矩形，B可能；

对于C，正四棱锥的底面是正方形，将正四棱锥底面垂直于水平面并正对人放置，其正视图可为矩形，C可能；

对于D，圆锥的轴截面是三角形，底面是圆，无论怎样放置，其正视图都不可能是矩形，D不可能.

故选：D

3．用一张长为，宽为的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】分别讨论矩形的长与宽为圆柱的底面周长的两种情况，可得结果.

【详解】设圆柱底面圆的半径为，则

当矩形的长为圆柱的底面周长，有，得；

当矩形的宽为圆柱的底面周长，有，得；

综上：或.

故选：C.

4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】方法一：还原原图形，再求出面积；

方法二：先求出直观图的面积，再根据直观图和原图形的面积比进行求解

【详解】方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，，故面积为.

方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为，

故原图的面积为.

故选：A

5．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为.故选C.

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定的三视图，还原几何体，再利用几何体的体积公式计算作答.

【详解】依题意，给定的三视图所对的几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥和一个半圆柱构成的组合体，如图，

三棱锥的底面等腰直角三角形底边为半圆柱底面圆直径2，三棱锥的高为1，半圆柱的高为2，

所以这个几何体的体积为.

故选：C

7．下列命题为真命题的是（    ）

A．若两条直线和同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

C．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

D．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线也异面

【答案】B

【分析】ACD选项，均可举出反例，B选项，利用线面平行的性质进行证明.

【详解】若两条直线和同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行或相交或异面，

如图1，直线，，但与相交，A错误；

B选项，如图2，直线平面，且直线平面，平面平面，

过直线的平面，交平面与直线，

则，因为平面，而平面，

所以平面，

因为平面，平面平面，

所以，

故若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行，B正确；

C选项，如图3，平面，交线为，在平面内有一直线，与DE平行，在直线上，存在3点到另一个平面的距离相等，故C错误；

若一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线异面或相交，

如图1，与异面，与平行，但与相交，D错误.

故选：B

8．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为1cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为（　　）

A．（2+4）cm2 B．（4+2）cm2 C．（4+4）cm2 D．（2+8）cm2

【答案】A

【分析】根据正四棱柱的各个顶点都在一个半径为1cm的球面上，可知，解出棱柱的高即可利用面积公式求解.

【详解】设正四棱柱的 为h，

因为正四棱柱的各个顶点都在一个半径为1cm的球面上，

所以，

解得，

所以cm2，

故选A.

【点睛】本题主要考查了球的内接正四棱柱，四棱柱的表面积，属于中档题.

9．如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形E是BC的中点，则下列叙述正确的是（    ）

A．与是异面直线 B．平面

C． D．平面

【答案】C

【解析】证明共面，由此判断A选项错误.由与不垂直，判断B选项错误.通过证明平面，证得，由此判断C选项正确.由而与平面相交，判断D选项错误.

【详解】对于A选项，由于都含于平面，所以不是异面直线，故A选项错误.

对于B选项，由于，所以与平面不会垂直，故B选项错误.

对于C选项，在等边三角形中，，根据直三棱柱中易得，所以平面，所以，所以C选项正确.

对于D选项，由于，而与平面相交，所以直线与平面不平行，故D选项错误.

故选：C

【点睛】本小题主要考查异面直线判断、异面直线垂直、线面垂直、线面平行等命题的真假性判断，属于基础题.

10．是体积为的棱柱，则三棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据等体积法结合同底等高的棱锥和棱柱体积的关系进行求解

【详解】不妨设三棱柱的高为，则，

故.

故选：D

11．已知三棱锥底面是边长为的等边三角形，顶点与边中点的连线垂直于底面，且，则三棱锥的外接球半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】找到球心的位置，求出各边长，设出，利用半径相等列出方程，求出半径.

【详解】连接，取靠近点的三等分点，则为等边三角形的外心，

过点E作，则点O即为三棱锥的外接球球心，连接OS，OC，

过点O作交SD于点F，则，

因为底面是边长为的等边三角形，所以，，

设，则，

设外接球半径为，则，

，

故，解得：，

所以，故.

故选：D

【点睛】立体几何外接球问题，通常要找到一个特殊三角形或四边形，找到其外心，从而找到球心的位置，从而利用球的半径相等列出方程，求出半径，进而求解球的表面积或体积等.

12．正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，利用正三棱柱的结构特征，分别利用勾股定理和余弦定理，即可求解.

【详解】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示，

由，可得，

由，则，解得，则，

在直角中，，则，

在直角中，，则，

在直角中，，则，

在中，，

由余弦定理可得，

即，

所以截面的周长为，故选B.

【点睛】本题主要考查了几何体的截面问题，其中解答中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质找出几何体的截面的形状是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

二、填空题

13．若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________.

【答案】相交

【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可.

【详解】因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合，

所以面与面的位置关系是相交.

故答案为：相交

14．在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___________________.

【答案】

【分析】连，可证，（或其补角）为异面直线与所成角，解，即可求出结论.

【详解】连，如下图所示：

因为是正四棱柱，

所以，

所以四边形是平行四边形，所以，

（或其补角）为异面直线与所成角，

设，所以，

在中，由余弦定理，

得.

故答案为:.

【点睛】本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于基础题.

15．正方体中，平面平面，点在上，点在上，且，则四边形的形状是________．

【答案】平行四边形

【分析】由面面平行的性质得到，结合，得到四边形的形状.

【详解】因为，所以四点共面，

因为平面平面， 平面平面，平面平面，

由面面平行的性质可得：，

又因为，

所以四边形是平行四边形.

故答案为：平行四边形

16．如图1，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，如图2.随着倾斜度不同，有下面五个命题：

①有水的部分可以为棱台；

②没有水的部分始终呈棱柱形；

③水面所在四边形的面积为定值；

④棱始终与水面所在平面平行；

⑤当容器倾斜如图3所示时，是定值．

其中所有正确命题的序号是______．

【答案】②④⑤

【分析】根据给定的条件，利用棱柱的结构特征，线面平行的性质及棱柱的体积逐一判断各个命题作答.

【详解】依题意，水面，而平面平面，平面，则，

同理，而，，又平面，平面平面，

因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，①不正确，②正确；

水面是矩形，线段长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大，

则水面所在四边形的面积逐渐增大，③不正确；

因，平面，平面，因此平面，④正确；

当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高和体积都是定值，因此底面的面积是定值，

又，于是得是定值，⑤正确，

所以所有正确命题的序号是②④⑤.

故答案为：②④⑤

三、解答题

17．正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，.

(1)证明：平面；

(2)求该三棱柱的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行；

（2）求出底面正三角形的面积，进而利用柱体体积公式进行求解.

【详解】（1）证明：连接，设，连接

∵是正三棱柱的侧面，

∴为矩形，

∴是的中点，

∴是的中位线，

∴，

又平面，平面，

∴平面.

（2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，为的中点

所以，，

故，

又平面，，

所以正三棱柱的体积

18．如图，为空间四边形的边上的点（除端点外），且

(1)求证：；

(2)若为的中点，点满足，求证：必交于一点.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定的条件，利用线面平行的判定、性质推理作答.

（2）由已知结合梯形的性质，利用平面基本事实推理作答.

【详解】（1）在空间四边形中，因为为上的点，即平面，

而，平面，则平面，又平面，平面平面，

所以.

（2）由（1）知，，且为的中点，则，又，则有，

因此，即四边形为梯形，与必相交，令，

显然，平面，即平面，，平面，即平面，

则为平面和平面的公共点，而平面平面，因此，

所以必交于一点.

19．如图，在四棱柱ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1.

（1）求PD与BC所成角的大小；

（2）求证：BC⊥平面PAC；

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】(1) 取AB中点H，连接DH，可得∠PDH为PD与BC所成角,解三角形得出答案;

(2) 在Rt△BHC中，证出BC⊥AC，又PA⊥平面ABCD,得到PA⊥BC,利用线面垂直的判定定理证出结论成立.

【详解】（1）取AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD="CD"

所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH

所以∠PDH为PD与BC所成角

因为四边形，ABCD为直角梯形，且∠ABC=45o， 所以⊥DA⊥AB

又因为AB=2DC=2，所以AD=1， 因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形

所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60o

（2）连接CH，则四边形ADCH为矩形， ∴AH=DC  又AB=2，∴BH=1

在Rt△BHC中，∠ABC=45o ， ∴CH=BH=1，CB=∴AD=CH=1，AC=

∴AC2+BC2=AB2∴BC⊥AC，

 又PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC

∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC

【点睛】本题考查立体几何的综合应用,涉及到异面直线所成的角,以及线面垂直的证明,考查学生空间想象能力与逻辑思维,属于中档题.

20．如图，在直三棱柱中，，，点为侧棱上一个动点

（1）求此直三棱柱的表面积；

（2）当最小时，求三棱锥的体积.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）求出三棱柱各面的面积，进行求和即可.

（2）三棱柱展开成矩形，连接，交 于点，则此时最小，可求出，进而可求出，即可求.

【详解】解：（1）

（2）将三棱柱展开成矩形，连接，交 于点，则此时最小.

， ..

平面，且平面，，

又且，，平面，平面

为到平面的距离，.

【点睛】本题考查了几何体表面积求解，考查了三棱锥体积的求解，考查了空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算求解能力.本题第二问的难点是分析出何时取最小值.在求三棱锥的体积时，常通过转换三棱锥的底面，以此确定高，进而求解.

21．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.

(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；

(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.

【答案】(1)

(2)外接球的表面积为，内切球的体积为

【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到三角形ABC的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；

（2）结合第一问得到内切球半径，求出内切球体积，再根据将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.

【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为，，，

由勾股定理逆定理可知：底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，，

又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，

所以

设圆柱底面圆的半径为，

则，

圆柱体积

所以剩下的几何体的体积

（2）由（1）可知该直三棱柱的内切球半径为，

则内切球球的体积

直三棱柱可补形为棱长分别为的长方体，

它的外接球的球半径满足，即

所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.

22．几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.

(1)求证：平面；

(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请找出点，并证明；若不存在，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)存在，点为线段上靠近点的三等分点，证明见解析.

【分析】（1）取的中点，连接，利用面面平行的判定、性质推理作答.

（2）延长相交于点，连接交于点，连接，利用线面平行的性质及平行推比例式推理作答.

【详解】（1）取的中点，连接，如图，

因为分别为的中点，有，而平面平面，

则平面，又为正三角形，为等腰三角形，，有，

即有，而，于是得，平面平面，

因此平面，因，平面，则平面平面，又平面，

所以平面.

（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图，

因为平面，平面，平面平面，则，

即四点共面，由（1）及已知，，

得，即，又，则，

则有，即，点为线段上靠近点的三等分点，

所以线段上存在点，使得四点共面，点为线段上靠近点的三等分点.