2022-2023学年重庆市涪陵第二中学校高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市涪陵第二中学校高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量加减法运算的坐标表示即可得到结果

【详解】

故选：B.

2．已知点，则直线的斜率是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【分析】直接根据斜率公式即可求出答案.

【详解】因为点，所以.

故选：D.

3．向量，若，则的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量平行的坐标公式即可求出结果.

【详解】由题意可得知，则，因此，所以，

故选：C.

4．过点，，且圆心在上的圆的方程是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先根据圆心在，设圆心坐标为,再根据即可计算出圆的标准方程.

【详解】由圆心在，设圆心坐标为,

因为点，在圆上

所以

所以圆心为，半径为.

因此圆的方程是

故选C．

5．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】依题意，，解得或，

所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.

故选：A

6．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，＝，，，则下列向量中与相等的向量是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．

【详解】)-()＝．

故选：C．

7．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】如图建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用空间向量夹角公式计算夹角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可求解.

【详解】因为底面，面，可得，，

因为四边形为正方形，可得，

所以两两垂直，如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，

可得，，，，，

所以，，

所以，

设异面直线与所成的角为，

则，所以，

故选：A.

8．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，

从而得出l的斜率的取值范围,即得解

【详解】设直线过定点，则直线可写成，

令解得直线必过定点．

，．直线与线段相交，

由图象知，或，解得或，

则实数的取值范围是．

故选：A

【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．

二、多选题

9．已知空间中三点，，，则（    ）

A． B．

C． D．A，B，C三点共线

【答案】AB

【详解】易得，，，，A正确;

因为，所以，B正确，D错误;

而，C错误.

故选: AB.

10．若直线不能构成三角形，则的取值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】分，过与的交点三种情况讨论即可.

【详解】因为直线不能构成三角形，

所以存在，过与的交点三种情况，

当时，有，解得；

当时，有，解得；

当过与的交点，则联立，解得，代入，得，解得；

综上：或或.

故选：ABD.

11．下列说法正确的是（    ）

A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示

B．方程表示的直线斜率一定存在

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．经过两点的直线方程为

【答案】BD

【分析】根据直线方程、倾斜角、斜率等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误；

B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确.

C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错.

D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确.

故选：BD

12．如图，已知P为棱长为1的正方体对角线上的一点，且，下面结论中正确结论的有（    ）

A．；

B．当取最小值时，；

C．若，则；

D．若P为的中点，四棱锥的外接球表面积为．

【答案】ABD

【分析】以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量关系可判断ABC；根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D.

【详解】

以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，

则，，设，

，，即，

则可解得，

对A，，，，则，则，故A正确；

对B，

，

则当时，取最小值，故B正确；

对C，，，，

则，

，则，则，

即，则，故C错误；

对于D，当P为中点时，四棱锥为正四棱锥，设平面的中心为O，四棱锥的外接球半径为R，所以，解得，

故四棱锥的外接球表面积为，所以D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题考查空间相关量的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量建立关系进行计算.

三、填空题

13．两条平行线与之间的距离是___________.

【答案】0.5

【分析】根据平行直线距离公式求解即可.

【详解】直线可化为，

又直线与直线的距离为，

所以平行线与之间的距离是，

故答案为：.

14．如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，且，则__.

【答案】

【分析】由空间向量的加法法则有，然后平方，转化为数量积运算可得．

【详解】平行六面体中，，

..

故答案为：．

15．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为__________

【答案】

【分析】先计算与的夹角的余弦值得出直线与直线的夹角的正弦值，再计算点到直线的距离．

【详解】解：因为，所以，

又直线的方向向量为，

所以，

设直线与直线所成的角为，则，

故，

点到直线的距离为．

故答案为：

16．设为圆上的动点，是圆的切线且，则点的轨迹方程是________．

【答案】．

【分析】设，由圆得到圆心和半径，再根据是圆的切线且，由求解.

【详解】设，易知圆的圆心，半径，

因为是圆的切线且，

所以，

所以,即，

所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．

所以点的轨迹方程是．

【点睛】本题考查圆的方程的应用以及定义法求轨迹方程，属于基础题.

四、解答题

17．已知，，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）-6

（2）-4

【解析】（1）利用向量共线的坐标表示，即得解；

（2）利用向量加法和向量垂直的坐标表示，即得解；

【详解】解：（1），

∴，

∴.

（2），

∵，

∴，

∴，

∴.

【点睛】本题考查了向量平行，加法，数量积的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

18．已知直线经过直线与直线的交点.

（1）若直线垂直于，求直线的方程；

（2）若直线与经过两点，的直线平行，求直线的方程.

【答案】(1)；(2).

【详解】试题分析:（1）易得点的坐标为，利用垂直关系得到斜率即可求出直线的方程；（2）利用平行关系得到斜率即可求出直线的方程.

试题解析：

由，解得

∴点的坐标为.

（1）∵直线的斜率为，

∴与该直线垂直的直线的斜率为，

∴直线的方程为，即.

（2）直线的斜率为，

∵直线与直线平行，

∴，

∴直线的方程为，即.

19．如图，在正方体中，分别是，的中点.

求证：

（1）平面；

（2）平面平面.

【答案】证明见解析

【分析】（1）连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；

（2）连接，，先由线面平行的判定定理，得到平面，再由（1）的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.

【详解】（1）如图，连接.

∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.

又∵是的中点，∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）连接，，

∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.

又∵是中点，∴.

∵平面平面，

∴平面.

由（1）知平面，且，

∴平面平面.

【点睛】本题主要考查证明线面平行与面面平行，熟记线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.

20．已知圆：.

（1）求过点且与圆相切的直线的方程；

（2）已知点，，是圆上的动点，求面积的最大值.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）将圆化为标准式，求出圆心与半径，讨论直线的斜率存在或不存在，当不存在时，设出点斜式，利用点到直线的距离等于半径即可求解.

（2）将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值即可求解.

【详解】（1）当直线的斜率不存在时：，此时圆心到直线的距离等于半径，满足题意，

当直线的斜率存在时，设直线方程为：，圆：，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，

即，∴

所以直线方程为：.

（2）∵，，

∴，直线的方程为：，

圆心到直线AB的距离为：，

所以点P到直线AB的距离的最大值为，

所以.

21．如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）在菱形中证明，再由已知的线面垂直得线线垂直，从而可证得线面垂直．

（2）以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【详解】（1）证明：连

∵底面为菱形，∴

∵，，∴

∵平面，平面，∴

∵，，，平面，

∴平面

（2）由（1）知，又由，

可得，可得、、两两垂直

令，可得，，

以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系

可得点的坐标为，点的坐标为，

点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为

，，

由（1）可知为平面的法向量

设平面的法向量为，

有，取，，

可得

由，，，

有

故平面与平面所成二面角的正弦值为.

【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法求二面角．求二面角的方法：

（1）几何法，通过作证算三个步骤求解，即作出二面角的平面角，并证明，然后计算出这个角．

（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，即求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补得解．

22．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．

（1）求圆C的标准方程；

（2）直线与圆C交于A，B两点．

①求k的取值范围；

②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.

【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；

（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；

（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.

【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，

又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.

（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，

所以，即k的取值范围是.

（ⅱ）设，由根与系数的关系：，

所以.

即直线OA,OB斜率之和为定值.