2022-2023学年重庆市荣昌区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年重庆市荣昌区八年级（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市荣昌区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将你认为正确的答案代号填在答题卡（卷）表格中对应的位置．
1．（4分）下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）计算2x2•x3的结果是（　　）
A．2x3 B．3x3 C．2x5 D．2x6
3．（4分）下列各组数，可以作为三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．6，9，24 C．8，13，21 D．10，26，40
4．（4分）下列各式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）下列说法中正确的是（　　）
A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线
B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
C．钝角三角形的三条高都在三角形外
D．三角形的三条中线总在三角形内
6．（4分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）2
B．x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x
C．m2+3mn＝m（m+3n）
D．﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a+b）2
7．（4分）如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠CEB＝（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
8．（4分）分式的化简结果为（　　）
A． B．x﹣y C．x+y D．1
9．（4分）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　）

A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
10．（4分）关于m、n的整式m2+kmn+9n2是完全平方式，则k的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．±18
11．（4分）如图，一张长方形纸片ABCD，它的四个内角都是直角，将其沿BD折叠后，点C落在点E处，BE交AD于点F，再将DE沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠DBF的度数是（　　）

A．30° B．36° C．45° D．50°
12．（4分）若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．6 B．9 C．﹣1 D．2
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）在每小题中，请将你认为正确的答案填在答题卡（卷）相应位置的横线上．
13．（4分）唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为 　 　．
14．（4分）分解因式：x2﹣2x＝　 　．
15．（4分）如果三角形的两边长分别为2和3，且第三边是奇数，那么第三边长为 　 　．
16．（4分）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2＝　 　度．

三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
17．（8分）计算下列各题：
（1）（x+2）2+x（x﹣4）；
（2）．
18．（8分）如图，在△ABC中，BA＝BC，点D在边AB上，DK∥BC
（1）利用尺规作图：请过B作BF⊥AC交AC于点F．交DK于点E．
（2）求证：DB＝DE．
证明：∵BA＝BC，BF⊥AC
∴∠ABF＝∠CBF （ 　 　）
又∵　 　
∴∠DEB＝∠CBE
∴∠DEB＝∠　 　（ 　 　）
∴DB＝DE

四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
19．（10分）（1）分解因式：m3﹣16m；
（2）解分式方程：．
20．（10分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝12，EC＝6，求BC的长．

21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．

22．（10分）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，县委县政府积极响应，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．
（1）求原计划每天铺设路面多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
23．（10分）如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．

24．（10分）学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“积数”
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与个位数字之积恰好能被十位数字整除，则称这个自然数为“积数”，例如：124是“积数”，因为1，2，4都不为0，且1×4＝4，4能被2整除；643不是“积数”，因为6×3＝18，18不能被4整除．
（1）判断951，396是否是“积数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比个位数字大6的所有“积数”，并说明理由．
25．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．


2022-2023学年重庆市荣昌区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将你认为正确的答案代号填在答题卡（卷）表格中对应的位置．
1．（4分）下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（4分）计算2x2•x3的结果是（　　）
A．2x3 B．3x3 C．2x5 D．2x6
【分析】根据单项式乘单项式法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝2x5，
故选：C．
【点评】本题考查单项式乘单项式，解题的关键是熟练运用单项式乘单项式法则，本题属于基础题型．
3．（4分）下列各组数，可以作为三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．6，9，24 C．8，13，21 D．10，26，40
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：A、3+2＞4，能构成三角形；
B、6+9＜24，不能构成三角形；
C、8+13＝21，不能构成三角形．
D、10+26＜40，不能构成三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，正确记忆两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形是解题关键．
4．（4分）下列各式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B．分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C．分母中有字母，是分式，故本选项符合题意；
D．分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，分式的实质是分母中含有字母．
5．（4分）下列说法中正确的是（　　）
A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线
B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
C．钝角三角形的三条高都在三角形外
D．三角形的三条中线总在三角形内
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．
【解答】解：A、三角形的角平分线是一条线段，故本选项说法错误，不符合题意；
B、三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，故本选项说法错误，不符合题意；
C、钝角三角形的二条高都在三角形外，最长边上的高在三角形内，故本选项说法错误，不符合题意；
D、三角形的三条中线总在三角形内，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
6．（4分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）2
B．x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x
C．m2+3mn＝m（m+3n）
D．﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a+b）2
【分析】根据平方差公式、完全平方公式以及提公因式法逐项进行因式分解即可．
【解答】解：A．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），因此选项A不符合题意；
B．x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x，不符合因式分解的定义，因此选项B不符合题意；
C．m2+3mn＝m（m+3n），因此选项C符合题意；
D．﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查公式法、提公因式法因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征以及十字相乘法是正确解答的关键．
7．（4分）如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠CEB＝（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】因为△CAD≌△CBE，所以∠A＝∠B，∠C＝∠C，∠CEB＝∠CDA从而求出∠CEB度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠C＝70°，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠C，
∴∠CEB＝∠CDA＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等的应用．
8．（4分）分式的化简结果为（　　）
A． B．x﹣y C．x+y D．1
【分析】先通分，再进行减法运算，再化简即可．
【解答】解：


＝x+y．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
9．（4分）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　）

A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；
B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
10．（4分）关于m、n的整式m2+kmn+9n2是完全平方式，则k的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．±18
【分析】根据完全平方公式得出结论即可．
【解答】解：∵m2+kmn+9n2是完全平方式，
∴m2+kmn+9n2＝（m±3n）2，
解得k＝±6，
故选：C．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
11．（4分）如图，一张长方形纸片ABCD，它的四个内角都是直角，将其沿BD折叠后，点C落在点E处，BE交AD于点F，再将DE沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠DBF的度数是（　　）

A．30° B．36° C．45° D．50°
【分析】根据折叠的性质可得∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，由角平分线的定义可得∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，∠BDE＝3∠GDF，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【解答】解：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG＝∠GDF，
∴∠EDF＝∠BDG，
∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，
∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，
∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，
∴∠GDF＝18°，
∴∠BDE＝3∠GDF＝3×18°＝54°，
∴∠DBF＝90﹣∠BDE＝90°﹣54°＝36°．
故选：B．
【点评】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键．
12．（4分）若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．6 B．9 C．﹣1 D．2
【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集恰好有3个负整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x，
解不等式②得：x＜﹣1，
∴原不等式组的解集为：x＜﹣1，
∵不等式组的解集恰好有3个整数解，
∴﹣54，
∴﹣5＜a≤7，
1，
2y﹣a+3y﹣2＝y﹣1，
解得：y，
∵分式方程有非负整数解，
∴y≥0，y为整数且1，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣1，7，
∴符合条件的所有整数a的和为：6，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）在每小题中，请将你认为正确的答案填在答题卡（卷）相应位置的横线上．
13．（4分）唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为 　3.54×10﹣5　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.0000354＝3.54×10﹣5，
故答案为：3.54×10﹣5．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
14．（4分）分解因式：x2﹣2x＝　x（x﹣2）　．
【分析】提取公因式x，整理即可．
【解答】解：x2﹣2x＝x（x﹣2）．
故答案为：x（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．
15．（4分）如果三角形的两边长分别为2和3，且第三边是奇数，那么第三边长为 　3　．
【分析】根据三角形的三边关系定理可得3﹣2＜x＜2+3，再解即可．
【解答】解：由题意得：3﹣2＜x＜2+3，
即：1＜x＜5，
又第三边是奇数，
∴x的值是：3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
16．（4分）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2＝　135　度．

【分析】通过构建全等三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结果．
【解答】解：如图，连接AC，BC，
∵BF＝DE＝1，CF＝BE＝2，∠E＝∠CFB＝90°，
∴△BCF≌△DBE（SAS），
∴∠CBF＝∠2，
∵AC＝BC，AB，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠1+∠CBF＝∠1+∠2＝135°，
故答案为：135．

【点评】本题主要考查了全等图形，正确构建等腰直角三角形是解答本题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
17．（8分）计算下列各题：
（1）（x+2）2+x（x﹣4）；
（2）．
【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则计算；
（2）根据分式的乘除法法则计算．
【解答】解：（1）原式＝x2+4x+4+x2﹣4x
＝2x2+4；
（2）原式•
．
【点评】本题考查的是分式的乘除法、整式的混合运算，掌握分式的乘除法法则、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
18．（8分）如图，在△ABC中，BA＝BC，点D在边AB上，DK∥BC
（1）利用尺规作图：请过B作BF⊥AC交AC于点F．交DK于点E．
（2）求证：DB＝DE．
证明：∵BA＝BC，BF⊥AC
∴∠ABF＝∠CBF （ 　三线合一　）
又∵　DK∥BC　
∴∠DEB＝∠CBE
∴∠DEB＝∠　ABF　（ 　等量代换　）
∴DB＝DE

【分析】（1）作线段AC的垂直平分线BE即可；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质判定解答．
【解答】（1）解：如图所示：

（2）证明：∵BA＝BC，BF⊥AC，
∴∠ABF＝∠CBF （三线合一），
又∵DK∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABF（等量代换），
∴DB＝DE，
故答案为：三线合一，DK∥BC，ABF，等量代换．
【点评】此题主要考查了过直线外一点作已知直线的垂线，等腰三角形的性质和平行线的性质，解本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
19．（10分）（1）分解因式：m3﹣16m；
（2）解分式方程：．
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）方程两边都乘2x﹣3得出x﹣5＝4（2x﹣3），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）m3﹣16m
＝m（m2﹣16）
＝m（m+4）（m﹣4）；

（2），
方程两边都乘2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣3≠0，
所以x＝1是原分式方程的解，
即分式方程的解是x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程和分解因式，能选择适当的方法分解因式是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
20．（10分）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝12，EC＝6，求BC的长．

【分析】（1）根据AC∥DE，可得∠ACB＝∠DEF，根据AAS可证△ABC≌△DFE；
（2）根据BF＝12，EC＝6，可知BE+CF的长，进一步可得BE的长，根据BC＝BE+CE求解即可．
【解答】（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）解：∵BF＝12，EC＝6，
∴BE+CF＝6，
∵BE＝CF，
∴BE＝3，
∴BC＝BE+CE＝9．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．

【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．
【解答】（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．

【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
22．（10分）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，县委县政府积极响应，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．
（1）求原计划每天铺设路面多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【分析】（1）设原计划每天铺设路面x米，则提速后每天铺设路面（1+25%）x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合共用13天完成道路改造任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总工资＝每天支付的工资×工作天数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设原计划每天铺设路面x米，则提速后每天铺设路面（1+25%）x米，
依题意，得：13，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设路面80米．
（2）15001500×（1+20%）21900（元）．
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（10分）如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．

【分析】（1）利用AAS证明△BED≌△CFD，得BE＝CF；
（2）利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF，得GE＝AF，从而解决问题．
【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠F，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE＝CF；
（2）在Rt△BGE和Rt△CAF中，
，
∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL），
∴GE＝AF，
∴AG＝EF．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴GA＝2DE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF是解题的关键．
24．（10分）学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“积数”
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与个位数字之积恰好能被十位数字整除，则称这个自然数为“积数”，例如：124是“积数”，因为1，2，4都不为0，且1×4＝4，4能被2整除；643不是“积数”，因为6×3＝18，18不能被4整除．
（1）判断951，396是否是“积数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比个位数字大6的所有“积数”，并说明理由．
【分析】（1）根据题意中的新定义求解；
（2）设个位数字为a，十位数字为b，则百位数字为（a+6），且1≤a≤3，根据整除的意义验证求解．
【解答】解：（1）951，因为9×1＝9，9不能被5整除，
∴951不是“积数”，
396，因，3，9，6都不为0，且3×6＝18，18能被9整除，
∴396是“积数”；
（2）设个位数字为a，十位数字为b，则百位数字为（a+6），且1≤a≤3，
由题意得：a（a+6）能被b整除，
当a＝1时，b的值为1，7，
此时该数是，711，771，
当a＝2时，b的值为1，2，4，8，
此时该数是：812，822，842，882，
当a＝3时，b的值为1，3，9，，
此时该数是：913，933，993，
百位数字比个位数字大6的所有“积数”为：711，771，812，822，842，882，913，933，993．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整除的意义是解题的关键．
25．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

【分析】（1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP＝BQ．AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，因而运用边角边定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM的度数．
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t．分别就①当∠PQB＝90°时；②当∠BPQ＝90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值．
（3）首先利用边角边定理证得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC＝∠MQC．再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数．
【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．
∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
又由条件得AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．

（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t；
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．

（3）∠CMQ＝120°不变．
∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
又由条件得BP＝CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC＝∠MQC
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°
【点评】此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
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