2022-2023学年云南省楚雄市第一中学高二下学期月考数学试题（解析版）

2022-2023学年云南省楚雄市第一中学高二下学期月考数学试题

一、单选题

1．设函数，则（    ）

A． B．

C． D．以上都不正确

【答案】B

【分析】对函数进行求导，得出，再由，可知，最后利用导数研究函数的单调性得出是上的增函数，从而得出结果.

【详解】解：由题可知，

，

又当，则，

，

故是上的增函数，故.

故选：B.

2．已知等差数列，，则公差d等于（    ）

A． B． C．3 D．-3

【答案】B

【分析】根据题意，利用公式，即可求解.

【详解】由题意，等差数列，，

可得等差数列的公差.

故选：B.

3．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（    ）

A．6 B．8 C．12 D．16

【答案】C

【分析】应用排列数求从四个数中任选2个的种数，并注意是否会重复，即可得结果

【详解】由于，所以从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给和共有种，并且计算结果不会重复，所以得到不同的值有12个.

故选：C.

4．已知两条直线,,若与平行,则为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】根据两直线平行,得出关系求出值.

【详解】解：由题知,两条直线,,

若与平行,则且,

由解得或,

当时故舍去,

所以.

故选:A．

5．下列运算错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】逐一对各选项的函数按求法则求导即可判断作答.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，因且，时，，则B正确；

对于C，，C不正确；

对于D，，D正确.

故选：C

6．甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（    ）

A．12 B．24 C．64 D．81

【答案】C

【分析】根据题意，可知三个同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理即可得到.

【详解】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项, 每人有4种报名方法，

根据分步计数原理，可知共有种不同的报名方法.

故选：C

7．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：设双曲线的标准方程为由的中点为知，，即，双曲线方程为，故选B.

【解析】1、待定系数法求双曲线的标准方程为；2、双曲线的简单性质.

8．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数的图像大致是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由判断函数的奇偶性以及利用导数得出区间的单调性即可判断.

【详解】

则函数在上为奇函数，故排除B、D.

，当时，，即

所以函数在区间上单调递减，故排除C

故选：A

【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.

9．直线被圆所截得的弦长为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】可将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径.再根据垂径定理算得圆心到直线的距离，用点到直线距离公式建立方程求解即可.

【详解】，即，该圆圆心为，半径为

直线截圆所得的弦长为，则圆心到直线的距离为

，解得

故选：A

【点睛】本题主要考查圆的方程及圆的弦长问题，属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.优先采用几何法.

10．从人中选出人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先从除甲、乙以外的人中选人参加化学比赛，然后从剩余的人中任选人参加数学、物理、生物比赛，利用分步乘法计数原理可得结果.

【详解】第一步，因为甲、乙两人都不能参加化学比赛，所以从剩下的人中选人参加化学比赛，共有种选法；

第二步，在剩下的人中任选人参加数学、物理、生物比赛，共有种选法．

由分步乘法计数原理，得不同的参赛方案的种数为，

故选：C．

11．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线 在点处切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由曲线在点处的切线方程为可求出，，由此可求出，，根据点斜式即可求出.

【详解】由切线方程为切线方程为可知，，

∴，

∴切线为，即.

故选：A.

【点睛】本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.

12．已知直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，交椭圆C于点，若，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过直线方程可知点坐标和的角度，进而得知，通过可求出的值，即可得知的值，从而求得离心率.

【详解】设椭圆的右焦点为，连接．

直线经过椭圆的左焦点，

又

在中，由余弦定理可得，即．

又，椭圆的离心率．

故选：．

二、填空题

13．若函数在 上单调递减， 则实数的取值范围是_________.

【答案】

【详解】试题分析：由已知可得在上恒成立在 上恒成立.

【解析】1、导数及其应用；2、函数与不等式.

【方法点晴】本题考查导数及其应用、函数与不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题,在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决.由已知可得在上恒成立在上恒成立.

14．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）

【答案】660

【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有 种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.

15．过原点作函数图象的切线，则切线方程为______.

【答案】或

【解析】求得，设出切点，利用点斜式写出切线方程，再根据切线过点，求出切点，则问题得解.

【详解】,则,

设切点为,则切线的斜率,

故切线方程为:，

因为切线过点，所以,

即或,

故当时,切线方程为,

当时,切线方程为

故答案为：或.

【点睛】本题考查利用导数的几何意义求过曲线外一点求函数的切线方程，属基础题.

16．设数列的前项和为，若，则___________.

【答案】

【解析】由，推得，进而得到数列是首项为1，公比为的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】由题意，数列满足，

当时，，

两式相减可得，即，可得，

令，可得，即，可得，

所以数列是首项为1，公比为的等比数列，

所以.

故答案为：.

三、解答题

17．已知数列是首项为1的等差数列，若，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）根据等差数列的通项公式与等比中项定义，求得数列的通项公式．

（Ⅱ）将数列{}的通项公式带入，根据裂项法求数列的前n项和．

【详解】（Ⅰ）因为是首项为1的等差数列，所以设，

因为成等比数列，所以，

，

解得，于是．

（Ⅱ），

=，                                      

．

【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于设出等差数列的基本量列方程求出通项和利用裂项求和的方法进行求解，本题难度属于中等

18．已知函数在点处的切线方程是，其中是自然对数的底数．

(1)求实数的值；

(2)当时，求函数的最大值和最小值．

【答案】(1)；

(2)最大值是，最小值是．

【分析】（1）根据导数的几何意义得到，，解出方程即可；

（2）对函数求导，研究函数的单调性，进而得到函数的最值

【详解】(1)由，得，

因为函数在点处的切线方程是，

所以，解得；

(2)由（1）知，，

令，得或，

当时，的变化情况列表如下：

所以的极大值为，极小值为

又，

所以，当时，函数的最大值是，最小值是

19．的内角所对的边分别为,且满足.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若外接圆半径为,求的面积.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由及正弦定理得

从而 ,利用诱导公式结合,可求出的值；（Ⅱ）由正弦定理得 ，再由余弦定理及，配方化简可得，由三角形面积公式可得结果.

【详解】（Ⅰ）由及正弦定理得

从而  即

又中,    ∴.

（Ⅱ）外接圆半径为3,,由正弦定理得

再由余弦定理,及

得

∴的面积.

【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

20．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系，利用空间角的坐标运算求解方法进行求解.

【详解】(1)∵四边形是正方形，

∴．

又∵平面平面，平面平面，

且平面

∴平面．

(2)由，得，

∴．    

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

∴，，．

设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．

则，令，则，

∴．

，令，则，

∴，

∴．

∴平面与平面夹角的余弦值为．

21．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且在第一象限，的面积为 (O为坐标原点).

(1)求抛物线的标准方程；

(2)经过点的直线与交于，两点，且，异于点，若直线与的斜率存在且不为零，证明：直线与的斜率之积为定值.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题可得，然后结合面积公式可得，即求；

（2）通过分类讨论，利用韦达定理法结合斜率公式计算即得.

【详解】(1)因为点抛物线上，

所以，，

，因为，

故解得，

抛物线方程为；

(2)当直线的斜率不存在时，直线为，得，.

，，

则.

当直线的斜率存在时，设直线为，设，，

联立得：

因为，

所以，.

所以

，

所以直线与的斜率之积为定值.

22．已知函数

(1)当时,求函数的单调递增区间;

(2)在区间内至少存在一个实数,使得成立,求实数的取值范围.

【答案】（1）单调递增区间是和；（2）.

【详解】试题分析：（1）先确定函数，然后对函数进行求导，利用导数的正负建立不等式，求得函数的单调性与单调区间；（2）先对函数进行求导，然后通过分类讨论，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用最小值小于0，建立不等式，求解不等式，得到实数的取值范围.

试题解析：(1)当时,,由,得或,

所以函数在与上为增函数,

即函数的单调递增区间是和.

(2),

当,即时,在[1,2]恒成立,

在[1,2]上为增函数,故,

所以,这与矛盾.

当,即时,若,则;

若,则所以当时,取得最小值,

因此,即,可得,

这与矛盾.

当,即时,在[1,2]恒成立,在[1,2]上为减函数,

所以,

所以,解得,满足.

综上所述,实数的取值范围为