2022-2023学年陕西省西安中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省西安中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，命题P： ，，则（    ）

A．P是假命题，

B．P是假命题，

C．P是真命题，

D．P是真命题，

【答案】D

【分析】求导分析的单调性，进而求得最值，再根据全称命题的否定逐个判断即可

【详解】∵，∴

∴是定义域上的减函数，

∴

∴命题P：，，是真命题；

∴该命题的否定是.

故选：D.

2．（    ）

A． B．8 C． D．

【答案】D

【分析】将定积分分成三个部分，第一个部分可以根据对应函数曲线和坐标轴围成的面积来算，第二部分直接用公式求解，第三部分是奇函数，在对称区间的积分值为，即可得到答案

【详解】解：，

而意为半圆，半圆面积为，故，

，

而是奇函数在对称区间上的积分，显然为，

于是

故选：D．

3．对于实数 ，且， ，且，“ ”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】判断“ ”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.

【详解】对于实数且，，且，

由不等式，可得或，

故时不一定有，由也不能推出一定是，

故“”是“”的既不充分也不必要条件．

故选：D．

4．若函数在点处的切线与直线垂直，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意结合导数的几何意义可得，从而可求出的值.

【详解】由，得，

因为函数在点处的切线与直线垂直，

所以，解得，

故选：A

5．函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先判断函数的奇偶性，再对函数求导并求出在0处的导数值即可判断作答.

【详解】因为定义域为，

又，

所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，

，

于是得，即函数图象在原点处切线斜率大于0，显然选项C不满足，D满足，

故选：D

6．已知定义在上的函数的导函数，且，则（        ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.

【详解】构造函数，因为，

所以，因此函数是增函数，

于是有，

构造函数，因为，

所以，因此是单调递减函数，

于是有，

故选：D

7．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值

【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，

，，（） ，

则，解之得

又

则

则，则

则，则

（当且仅当时等号成立）

则的最小值为

故选：B

8．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解.

【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，

所以当时，，即，所以，

又，，且，，

所以；

故选：B

9．已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性即可得到的取值范围.

【详解】由已知：，故，设切点为

所以切线斜率为，切线方程为,

将点坐标代入切线方程可得

化简可得

即函数与函数有三个不同的交点.

故，

当时，，函数单调递减

当时，，函数单调递增

当时，，函数单调递减

且时，,，且时，

所以的取值范围为

故选：D

10．已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】令，由题意可得为定义域上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；分与两类讨论，将不等式等价转化为与，分别解之即可．

【详解】令，

当时，，

当时，，

在上单调递减；

又为的奇函数，

，即为偶函数，

在上单调递增；

又由不等式得，

当，即时，不等式可化为，即，

由在上单调递减得，解得，故；

当，即时，不等式可化为，即，

由在上单调递增得，解得，故；

综上所述，不等式的解集为：．

故选：D．

二、填空题

11．设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.

【答案】

【分析】由构造法和与关系求解

【详解】由题意得，而，

所以是首项为2，公比为2的等比数列.

，，当时，，也满足此式，

综上，

故答案为：

12．计算:______.

【答案】

【分析】把积分式拆分成两个，利用奇函数的性质，以及定积分的意义求解

【详解】

因为为奇函数,所以

表示半径为1的半圆的面积,所以

所以

故答案为：

13．已知，，若，，都有，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】先利用导数求出函数，的最大值，将问题转化为在恒成立，构造函数，利用二次求导确定该函数的单调性和最值问题.

【详解】因为，，

所以，

当时，，当时，，

即在上单调递增，在上单调递减，

所以；

在恒成立，

即在恒成立，

令，

则，

令，

则恒成立，

所以在单调递增，，，

故存在，使得，，

，，

即，解得，

所以，

所以，即.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：在处理不等式恒成立问题时，往往转化为求函数的最值问题，如：

（1）对于函数、，若，，都有

；

（2）对于函数、，若，，都有

.

14．已知函数满足，若方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】令，则方程转化为，

原问题等价于有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.

【详解】令，则方程转化为，    

作出函数的图象如下图所示，

由题意，方程有五个不相等的实数根，

即有一个根，一个根 或有一个根，一个根

令，

当有一个根，一个根

则解得：，

当有一个根，一个根

则解得：，

综上，实数m的取值范围为

故答案为：

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

三、解答题

15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．

(1)求；

(2)若，求，的值．

【答案】(1)

(2)，或，

【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和差角公式化简即可求解，

（2）根据余弦定理以及面积公式联立方程即可求解.

【详解】（1）∵

由正弦定理有

∴

（2）∵∴余弦定理

∵，

又，

∴

∴

或或2

则，或，

16．设数列的前项和为，且满足，是公差不为的等差数列，，是与的等比中项．

(1)求数列和的通项公式；

(2)对任意的正整数，设，求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）令可得的值，当时，与已知条件两式相减可得，由等比数列的定义可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而求出数列的通项公式，设的公差为，将整理成关于的方程，解出的值，即可得到的通项公式；

（2）由（1）可得数列的通项公式，再利用分组求和法即可求出结果．

【详解】（1）解：在中，令得，，

当时，，

，即，

，

数列是首项为，公比为的等比数列，

，

设的公差为，由题意可得，即，

整理得，

解得或舍去，

．

（2）解：由题意可得，

．

17．已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求的单调性；

(3)求函数在上的最小值．

【答案】(1).

(2)当时，单调递减；当时，单调递增.

(3)答案见解析.

【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义求解即可；

（2）求导得，利用导数的正负即可得到单调性；

（3）按的取值情况，再借助单调性讨论求解即可.

【详解】（1）当时，，则，

所以，，

所以曲线在处的切线方程为.

（2）由题意得，因为恒成立，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

（3）由（2）得，①当时，在上单调递减，；

②当时，在单调递减，在单调递增，；

③当时，在上单调递增，.

18．已知函数．

(1)若时，试讨论的单调性；

(2)若有两个零点时，求a的取值范围．

【答案】(1)具体见解析

(2)或

【分析】（1）由题意，明确函数解析式，求导，根据二次函数的性质，讨论导数零点的取值范围，可得答案；

（2）先研究时，函数的零点个数，再根据零点的定义，验证不是零点，整理函数，化简研究存在两个不同的零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理，可得答案.

【详解】（1），，，

若，则令，解得，，解得，

故在上单调递增，在上单调递减；

若，令，得，

①当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；

②当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；

③当，即时，恒成立，故在单调递减．

综上所述，

当时，在和上单调递减，在上单调递增；

当时，在单调递减；

当时，在和上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）.

当时，，，令，则，

当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增.

由且，

当时，，，故恒成立，

，由在上单调递增，

则只有一个零点；

当时，，此时不是的零点，时，，

令，由题意可知，有两个零点等价于在且时有两个零点，

，若，则，单调递增，最多有一个零点，不符合题意；

若，令，解得或，

当或时，，单调递增；

当或时，，单调递减，

而，，

当时，此时，而，故有且只有一个零点，不合题意；

当即，此时在上无零点，故在上需有两个不同的零点，故，即，

此时当时，，故当时，．

而当时，，，故．由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．

当，即，此时，故在上不存在零点．此时当时，，当时，，由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．

综上，或．

19．已知椭圆：的焦距为，圆：经过点.

(1)求椭圆与圆的方程；

(2)若直线：与椭圆C交于点A，B，其中，问：是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．

【答案】(1)椭圆C：，圆O：

(2)为定值，且该定值为0

【分析】（1）根据已知建立a，b，c的等量关系式，解得a2与b2，即可得方程；

（2）设出A，B点坐标，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求即可确定其为定值0.

【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c，

根据题意得

又∵经过点，

∴，

解得

∴椭圆C的方程为，圆O的方程为.

（2）设联立l与椭圆方程，

化简整理得

则

∵

∴

综上所述，为定值，且该定值为0.

20．已知函数，．

(1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若，存在两个极值点，，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，利用导数可求出其最小值，

（2）由（1）知：，满足，，不妨设，则，则，所以只需证成立，构造函数，利用求出其出其最大值小于零即可.

【详解】（1）∵，又在区间上单调递减，

∴在上恒成立，即在上恒成立，

∴在上恒成立；

设，则，

当时，，∴单调递增，

∴，

∴，即实数a的取值范围是．

（2）由（1）知：，满足．

∴，不妨设，则．

∴，

则要证，即证，

即证，也即证成立．

设函数，则，

∴在单调递减，又．

∴当时，，

∴，即.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证成立，构造函数，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.

21．已知函数

(1)若f（x）的图象在处的切线恰好也是g（x）图象的切线，求实数a的值：

(2)当时，求证：对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数，，都有成立.

【答案】(1)1

(2)见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线方程，与抛物线方程联立，根据两曲线有一个交点得到关于a的方程，解方程得到a的值；

（2）根据函数的单调性等价转化题中的不等式，构造新函数，利用分离变量法确定a的取值范围，从而证明结论.

【详解】（1），则，且切点为（1，a），

则切线方程为，即，

联立，消去y可得，

解得.

（2）证明：不妨设，则，

则可化为，

则，

设，即，

∴F（x）在[1，2]上单调递减，

∴在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，

∵，

∴，从而当时，命题成立.