2022-2023学年上海财经大学附属北郊高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海财经大学附属北郊高级中学高二上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海财经大学附属北郊高级中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．设，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；                    ②若，，则；③若，且，，则；  ④若，且，则.其中所有正确命题的序号是A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【详解】①若，，过做平面，则，故①正确；②若，，则可能平行，相交或异面，故②错误；③若，且，，则相交或平行，故③错误；④若，且，则，过做平面，则，所以，故④正确．故选：D．2．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先计算出等腰梯形的面积为，再利用计算得到答案.【详解】等腰梯形的面积 则原平面图形的面积.故选：C.3．如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为（    ）A．0 B．2 C．4 D．12【答案】B【分析】根据正四棱柱相邻侧面的线线关系即可判断．【详解】∵3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，∴在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为2，故选：B．4．1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是（    ）A．20180 B．20200 C．20220 D．20240【答案】B【分析】先求出第100行的第一个数，再根据第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列，从而得到第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200．【详解】第一列的数字为4，7，10，13，16，……，成等差数列，公差d＝3，其通项公式＝4＋3(n－1)＝3n＋1，故第100行的第一个数为＝301，再看行，第一行的数是公差为3的等差数列，第二行的数是公差为5的等差数列，第三行的数是公差为7的等差数列，…，第n行的数是公差为3＋2×(n－1)的等差数列，则第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列，所以第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200．故选：B． 二、填空题5．若一个球的体积为，则该球的表面积为_________．【答案】【详解】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为.6．正方体中，异面直线与所成的角的大小为______.【答案】60°【分析】如图所示，连接，，则即为异面直线与所成角．利用△为正三角形，即可得出．【详解】解：如图所示，直线，所以直线与所成的角即为异面直线与所成角．△为正三角形，．故答案为：60°.【点睛】本题考查正方体的性质、等边三角形的性质、异面直线所成的角，考查推理能力与计算能力.7．向量与夹角的大小为__________.【答案】【分析】利用向量夹角公式求解即可．【详解】向量，，设与的夹角为，则，，.故答案为：．8．正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____；【答案】【分析】由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离，结合棱长，求出正四棱锥的高，然后利用体积公式进行求解．【详解】如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=4，PA=3，设正四棱锥的高为PO，连接AO，则在直角三角形中，，所以，故答案为．【点睛】本题考查正棱锥的性质及棱锥的体积公式，解题的关键是熟悉正棱锥的几何性质，属基础题9．在等差数列中，其前项和为，已知公差，则__________．【答案】190【分析】由已知条件可求得，得出，进而由得出答案．【详解】，解得，∴，∴．故答案为：190．10．记数列的前项和为，若，（为正整数），则数列的通项公式为________．【答案】【分析】当时，，所以两式相减得，所以化简有，又因为 ，可得数列是以为首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.【详解】因为，，所以当时，，当时，，所以两式相减得：，则，所以，又因为 ，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.所以当时，.所以数列的通项公式为：故答案为：.11．若表示等式为正偶数），则表示的等式为__________.【答案】.【分析】代入，得到.【详解】将代入等式，得到.故答案为：.12．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18的扇形，则圆锥母线与底面所成角为__________．（结果用反三角函数值表示）【答案】【分析】设母线长为，底面圆的半径为，圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，分别求出，，由线面角的定义求解即可．【详解】设母线长为，底面圆的半径为，因为圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18的扇形，所以，且，解得，设圆锥的母线与底面所成角为，则，所以圆锥的母线与底面所成角为．故答案为：．13．在长方体中，若长方体的体对角线与过点的相邻三个面所成的角分别为，则__________．【答案】1【分析】由已知得，由此即可求出答案．【详解】连接，在长方体中，面与面所成的角为，同理与面所成的角为，与面所成的角为，．故答案为：1．14．已知分别是空间四边形各边的中点，若，则__________.【答案】【分析】根据中位线定理判断四边形是平行四边形，再由计算可得解.【详解】如图所示，由三角形中位线的性质可得,，则，所以四边形是平行四边形，则，又，，所以 ，即.故答案为：.15．如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC，AB相切于点C，M，与AC交于点N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为________.【答案】【解析】几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积.【详解】几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，且球是圆锥的内切球，所以圆锥的底面半径是1，高为，球的半径为，可以得到，所以圆锥的体积为，球的体积为，所以阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关旋转体的体积的求解问题，在解题的过程中，注意分析几何体的特征，涉及到的知识点有锥体的体积公式和球的体积公式，属于简单题目.16．如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.【答案】【分析】根据题设描述易知的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，即可求扫过的面积.【详解】由题设，，要使与直线所成角的大小为，只需与直线所成角的大小为， ∴绕以夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，∴在上扫过的面积为.故答案为：. 三、解答题17．如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点．(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】(1)(2) 【分析】（1）取的中点，连接，则(或其补角)为异面直线与所成角，利用余弦定理进行求解即可．（2）因为平面，所以是直线与平面所成的角，在中求解即可．【详解】（1）取的中点，连接，如图，则(或其补角)为异面直线与所成角，因为正方体的棱长为2，所以，由余弦定理得，所以异面直线与所成角的大小为．（2）因为平面，所以是直线与平面所成的角，在中，，，所以直线与平面所成的角为．18．如图，已知一个圆锥的底面半径为2，高为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱.(1)当时，求圆柱的体积；(2)当为何值时，此圆柱的侧面积最大，并求出此最大值.【答案】(1)(2)当时，圆柱的侧面积取最大值 【分析】（1）设圆柱的底面半径为，根据相似比求出与的关系，求出代入圆柱的体积公式即可；（2）由（1）知，代入圆柱的侧面积公式得，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）设圆柱的半径为，则，，当时，，所以圆柱的体积．（2）由（1）知，则圆柱的侧面积，所以当时，圆柱的侧面积取最大值．19．据相关数据统计，至2021年底全国已开通5G基站140万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2022年的重点工作，2022年一月份全国开通5G基站4万个．(1)如果从2022年2月份起，每个月比上一个月多开通2000个，那么，到2022年底全国共开通5G基站多少万个；（结果精确到0.1万个）(2)如果2022年计划开通5G基站60万个，并且自2023年起每年新开通的基站数量比上一年增加x%，若到2024年底全国开通的5G基站总数至少达到500万个，求x的最小值．（结果精确到0.01）【答案】(1)201.2(2)79.13 【分析】（1）2022年每月开通基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为4万，求出2022年开通的基站数，加上140得答案；（2）由题意得140＋60＋60(1＋x%)＋60(1＋x%)2≥500，求解x即可．【详解】（1）2022年每月开通的基站数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为4万则2022年开通的基站数为万个故到2022年底全国共开通5G基站140＋61.2＝201.2万个；（2）由题意得140＋60＋60(1＋x%)＋60(1＋x%)2≥500即(1＋x%)2＋(1＋x%)－5≥0，解得1＋x%≥∴x%≥，即x≥所以的最小值为79.13．20．如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示）(3)求点到平面的距离．【答案】(1)答案见解析(2)(3) 【分析】（1）利用余弦定理求得，结合已知条件得，从而，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）取中点，则．以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小；（3）利用点到平面的距离公式求解即可．【详解】（1）连接，因为在等腰直角三角形中，，在中，，同理得，因为，所以，所以所以平面，所以平面．（2）取中点，则，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，是平面的一个法向量，设平面的法向量为，，所以，令，则，则，设二面角的平面角为，且，所以，所以二面角的大小为．（3）是平面的一个法向量，又，，所以点到平面的距离为．