2022-2023学年上海市曹杨中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市曹杨中学高二上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市曹杨中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据斜二测画法规律，平行于轴的线段长度是原长的一半即可判断.【详解】在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为，故选：A．2．正四面体中，为棱的中点，则与所成角的余弦值为A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：如图， 取中点 ，连接．为与所成的角（或所成角的补角），设，则，由余弦定理得：∴ ；故选B．【解析】异面直线及其所成的角．【方法点睛】过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角．求两条异面直线所成角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．3．已知m、n为不同的直线，为不同的平面．则下列命题中错误的是（    ）A．m，n是内两相交直线，则与相交的充要条件是m，n至少有一条与相交；B．m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都垂直；C．与l都不垂直，则m与n一定不垂直；D．m，n为异面直线、过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．【答案】D【分析】根据点线面的位置关系对选项一一判断即可．【详解】对A，若与相交，设交线为，所以m，n至少有一条与相交，故m，n至少有一条与相交；若m，n至少有一条与相交，则与相交；故A正确；对B，因为m，n为异面直线，故作直线，且与相交，设，过空间任一点P，一定能作一条直线l与垂直，所以一定能作一条直线l与m，n都垂直，B正确；对C，由于设且，则，故假设，又，与相交，且，则，故与已知矛盾，所以m与n一定不垂直，C正确；对D，设且，当时，不能作一条直线l与m，n都相交，故D错误；故选：D．4．在三棱锥中，平面；记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先得到三棱锥的每一个面都是直角三角形，然后可得与平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他们的余弦值，利用向量法计算直线与直线所成的角为的余弦值，然后比较大小.【详解】令，由平面，且平面，又，，面三棱锥的每一个面都是直角三角形.与平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，则所以，又均为锐角，故选：A. 二、填空题5．如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是_____________．(用弧度表示)【答案】.【分析】用异面直线所成角的定义判断.【详解】过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)就是异面直线所成的角，故两异面直线所成角的范围是.故答案为：.6．若的夹角为，则___________.【答案】0.5【分析】先求出，进而由求出答案.【详解】因为的夹角为，所以，于是.故答案为：.7．正四棱柱的底面边长为10，侧面积为40，则这个棱柱的体积为_____________．【答案】100【分析】根据侧面积公式求出棱柱的高，根据底面边长求出底面积，代入体积公式得出体积．【详解】设棱柱的底面边长为，高为，则，侧面积，解得．正四棱柱的体积．故答案为：100．8．圆柱的轴截面是正方形，且面积为16，则圆柱的侧面积为_____________．【答案】【分析】根据圆柱的轴截面几何性质可得圆柱的底面半径与高度，从而可求圆柱的侧面积.【详解】解：圆柱的轴截面是正方形，且面积为16，则该圆柱的底面直径为4，高为4即底面半径，高所以圆柱的侧面积.故答案为：.9．体积为64的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________．【答案】【分析】根据正方体的体积公式，求得棱长，结合球与正方体的对称性，求正方体的体对角线，可得球的半径，利用球的表面积公式，可得答案.【详解】设正方体的棱长为，则体积，即，易知正方体的体对角线为外接球的直径，设外接球的半径为，则，即，故该球的表面积.故答案为：.10．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为________.【答案】平行四边形【详解】∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．【解析】面面平行的性质定理的运用.11．将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_____________.【答案】【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥求解.【详解】如图所示：正三角形绕AB所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥，圆锥的底面半径为,所以所得几何体的表面积为，故答案为：12．己知A，B，C三点都在体积为的球O的表面上，若，则球心O到平面ABC的距离为_____________．【答案】3【分析】根据球的体积公式可得球的半径，结合条件可得的外接圆的半径，然后根据球的性质即得.【详解】设球的半径为R，则，解得，设的外接圆的半径为，因为，所以，即，∴球心到平面的距离.故答案为：3.13．如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为_________.【答案】【分析】以、、为基底表示出，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】解：因为，所以，所以.故答案为：14．边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.【答案】【分析】作出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理即可求解.【详解】如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的， 则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为.由题意可知GH＝5，，所以所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是.故答案为：.15．设异面直线a、b所成的角为，经过空间一点O有且只有两条直线与异面直线a、b成等角，则的取值范围为_____________．【答案】【分析】先作出直线所成角，再结合图象以及对称性求得的取值范围.【详解】过作，则所成的角即异面直线所成角，确定一个平面，过作，过作直线和直线分别平分形成的两个对顶角，当过的直线在平面内旋转时，与所成的角为，且；当过的直线在平面内旋转时，与所成的角为，且；结合对称性可知：若经过空间一点O有且只有两条直线与异面直线a、b成等角，则的取值范围为.故答案为：16．如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，给出下列结论：①异面直线与所成的角范围为；②平面平面；③点到平面的距离为定值；④存在一点，使得直线与平面所成的角为.其中正确的结论是___________.【答案】②③【解析】数形结合说明异面直线与所成的角的范围为，故①错误；证明平面，所以平面平面，故②正确；点到平面的距离为定值，且等于的，即，故③正确；与平面所成的角为,最大值为，故④不正确.【详解】对于①，当在点时，，异面直线与所成的角最大为，当在点时，异面直线与所成的角最小为，所以异面直线与所成的角的范围为，故①错误；对于②，如图，因为平面,所以,同理,又因为平面,所以平面，所以平面平面，故②正确；对于③，因为平面,平面,所以平面，所以点到平面的距离为定值，且等于的，即，故③正确；对于④，直线与平面所成的角为，，当时，最小，最大，最大值为，故④不正确，故答案为：②③.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断命题①④的真假，它们都是求空间的角，它们都是利用数形结合的方法求空间角的最值，对于数形结合的这种数学思想要注意灵活运用. 三、解答题17．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线.（2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下：，求证：为异面直线.证明：若不为异面直线，则共面于，故而，故为同一平面，而，故，这与矛盾，故为异面直线.18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）证明、，由线面垂直的判定定理可证明平面，即证；（2）由勾股定理求出△ACD1各个边长，设点到平面的距离为，由即可求解.【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为四边形是矩形，，所以四边形是正方形，所以，又平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以.（2）因为，，为的中点，所以，，，，所以，，设点到平面的距离为，由可得：，即，解得：，所以点E到面ACD1的距离为.19．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.(1)请估算出堆放的米约有多少斛？(2)若要建造一个底部直径为4尺的家用圆柱形储粮仓，试问储粮仓的高至少为多少尺，才可以将这堆米全部放入？（结果均保留整数）【答案】(1)；(2)储粮仓的高至少为3尺，才可以将这堆米全部放入. 【分析】（1）根据米堆底部的弧长可求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积公式求出米堆的体积，从而可求解；（2）根据圆柱的体积公式列式求解即可.【详解】（1）设圆锥底面半径为，则，所以，所以米堆的体积为.故堆放的米约为.（2）设储粮仓的高为，则，所以尺.所以储粮仓的高至少为3尺，才可以将这堆米全部放入.20．如图，四面体ABCD中，AD、BD、CD两两垂直，且，过AB上的动点E（不同于A、B两点）作平行于AD、BC的平面，分别交棱BD、CD、AC于F、G、H三点．(1)求异面直线EF与AC所成角的大小；(2)若E为AB中点，求点E到直线CD的距离；(3)若直线CE与平面ABD所成角的正切值为，求此时直线AB与平面CDE所成角的大小．【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）利用线面平行的性质证得，再由异面直线所成角的定义计算作答.（2）根据给定条件，证明平面，求出DE长即可作答.（3）根据给定条件，确定点E的位置，再求线面角的大小作答.【详解】（1）因平面，平面，平面平面，则，因此是异面直线EF与AC所成的角，而，有，即，所以异面直线EF与AC所成角的大小为.（2）因平面，则平面，连接DE，如图，平面，因此，即DE长为点E到直线CD的距离，而E为AB中点，中，，所以点E到直线CD的距离为.（3）由（2）知，平面，是直线CE与平面ABD所成的角，而，即有， 得，而的斜边AB上的高，因此DE是的斜边AB上的高，即，由平面，平面，得，平面CDE，于是得平面CDE，所以直线AB与平面CDE所成角的大小为.21．如图，在正四棱锥中，，分别为的中点，平面与棱的交点为.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求平面与平面所成锐二面角的大小；(3)求点的位置.【答案】(1)(2)(3)点的位置为线段PC靠近P的三等分点. 【分析】（1）作出辅助线，找到异面直线与所成的角是∠OEA（或补角），利用余弦定理求出；（2）作出辅助线，找到平面与平面所成锐二面角为，经过计算得到；（3）证明出A、Q、G三点共线，利用第二问的求出的，和题干中的条件确定点的位置.【详解】（1）连接AC，BD，相交于点O，因为四边形ABCD是正方形，所以O是正方形的中心，连接PO，因为四棱锥是正四棱锥，则PO⊥底面ABCD，连接OE，因为为的中点，所以EO是△PBD的中位线，所以EO∥PD，∠OEA（或补角）即为异面直线与所成角的大小，因为正四棱锥中，，所以△PAB是等边三角形，所以，由勾股定理得：，所以，因为，E为PB的中点，所以，在△AOE中，由余弦定理得：，所以异面直线与所成角的大小为（2）连接EF，与OP相交于点Q，则Q为OP，EF的中点，因为分别为的中点，所以EF是三角形PBD的中位线，所以EF∥BD，因为平面ABCD，平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，设平面与平面相交于直线，故EF∥∥DB，连接QA，则因为AE=AF，所以AQ⊥EF，又因为OA⊥BD，故∠QAO即为平面与平面所成锐二面角，其中，，所以，故，即平面与平面所成锐二面角的大小为（3）延长AQ，则由两平面相交的性质可得AQ一定过点G，过点G作GM∥PO交AC于点M，因为PO⊥底面ABCD，所以GM⊥底面ABCD，设GM=CM=x，则AM=4-x，由第二问知：，所以，即，解得：，故，所以点的位置为线段PC靠近P的三等分点.