高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行第二课时导学案及答案

8.5.3 平面与平面平行

第2课时 平面与平面平行的性质

1．理解平面和平面平行的性质定理并能运用其解决相关问题.

2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．

1.逻辑推理：探究归纳平面和平面平行的性质定理，线线平行、线面平行、面面平行之间的转化；

2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.

重点：平面和平面平行的性质定理.

难点：平面和平面平行的性质定理的应用.

一、    预习导入

阅读课本141-142页，填写。

  1、直线与平面平行的性质定理

探究1:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?

探究2:平行于同一个平面的两个平面什么关系?

1.若a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是(　 　)

A.平行       B.异面       C.相交     D.平行或异面或相交

2.已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中(　 　)

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一一条与a平行的直线

3.过平面外一点作一平面的平行线有　　　　条. 

4.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若PA′∶AA′=2∶5,则△A′B′C′与△ABC的面积比为　　　　.

题型一  平面与平面平行的性质定理的应用

例1 夹在两个平行平面间的平行线段相等.

跟踪训练一

1、   如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF.求证:NF∥CM.

题型二  平行关系的综合应用

例2 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.

(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;

(2)求PQ的长;

(3)求证:EF∥平面BB1D1D.

跟踪训练二

1、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行?

1.下列命题中不正确的是(　 　)

A.两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平面β

B.平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β

C.一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行

D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线

2.已知两条直线l,m,α,β是两个平面,下列命题正确的是(　 　)

A.若α∥β,l∥α,则l∥β

B.若l∥α,m∥α,则l∥m

C.若α∥β,l∥α,m∥β,则l∥m

D.若α∥β,l⊂α,则l∥β

3.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的(　 　)

A.一个侧面平行

B.底面平行

C.仅一条棱平行

D.某两条相对的棱都平行

4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中过BD1的平面,分别与AA1,CC1交于M,N,则四边形BND1M的形状为　　　　. 

5.如图所示,已知正三棱柱(底面是正三角形,侧面是矩形)ABC-A′   B′C′中,D是AA′上的点,E是B′C′的中点,且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置,并给出证明.

答案

小试牛刀

1．D.

2．D.

3．无数.

4. 4:49.

自主探究

例1 【答案】证明见解析

【解析】如图,?//?,??//??,且?∈?,?∈?,?∈?,?∈?.求证：??=??.

证明：   因为??//??，
所以过??，??可作平面?，
且平面?与平面?和?分别相交于??和??.

因为?//?，所以??//??.

因此四边形????是平行四边形.

所以??=??

跟踪训练一

1、【答案】证明见解析

【解析】因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,

又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC,

同理EF∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC,

又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF∥MC.

例2 【答案】（1）见解析（2）a. (3)见解析.

【解析】(1)法一　如图,连接AC,CD1.

因为P,Q分别是AD1,AC的中点,

所以PQ∥CD1

又PQ⊄平面DCC1D1,

CD1⊂平面DCC1D1,

所以PQ∥平面DCC1D1.

法二　取AD的中点G,连接PG,GQ,

则有PG∥DD1,GQ∥DC,且PG∩GQ=G,

所以平面PGQ∥平面DCC1D1.

又PQ⊂平面PGQ,

所以PQ∥平面DCC1D1.

(2)由(1)易知PQ=D1C=a.

(3)法一　取B1D1的中点O1,连接FO1,BO1,则有FO1B1C1.

又BEB1C1,所以BEFO1.所以四边形BEFO1为平行四边形,

所以EF∥BO1,

又EF⊄平面BB1D1D,BO1⊂平面BB1D1D,所以EF∥平面BB1D1D.

法二　取B1C1的中点E1,连接EE1,FE1,则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1,且FE1∩EE1=E1,

所以平面EE1F∥平面BB1D1D.

又EF⊂平面EE1F,所以EF∥平面BB1D1D.

跟踪训练二

1、【答案】证明见解析

【解析】如图,设平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,点M在AA1上,平面D1BQ∩平面BCC1B1=BQ,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.

假设平面D1BQ∥平面PAO,由平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,平面PAO∩平面ADD1A1=AP,可得AP∥D1M,所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点,

所以M为AA1的中点,Q为CC1的中点,

故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.

当堂检测 

1-3. ADC

4. 平行四边形.

5．【答案】证明见解析.

【解析】D点为AA′的中点.证明如下:

如图,取BC的中点F,连接AF,EF,

设EF与BC′交于点O,连接DO,易证A′E∥AF,A′E=AF.易知四边形A′EFA为平行四边形.

因为A′E∥平面DBC′,A′E⊂平面A′EFA,且平面DBC′∩平面A′EFA=DO,

所以A′E∥DO.因为EC′∥BF,则EC′=BF,所以EO=OF.

在平行四边形A′EFA中,因为O是EF的中点,

所以D点为AA′的中点.