2022-2023学年北京市第八中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市第八中学高一上学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市第八中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1．已知，，则下列不等式中恒成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可.【详解】对于选项A，令，，但 ，则A错误；对于选项B，令，，但，则B错误；对于选项C，当时，，则C错误；对于选项D，有不等式的可加性得，则D正确，故选：D.2．已知，则A． B． C． D．【答案】B【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．3．已知，则的最小值为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：C4．下列函数在其定义域内是增函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.【详解】选项A：在定义域上是增函数，正确；选项B：在定义域上是增函数，所以在定义域上是减函数，错误；选项C：的定义域为，在和上是增函数，当时，，C错误；选项D：的定义域为，因为，由幂函数的性质可得在上单调递增，又因为是偶函数，由对称性可得在单调递减，D错误；故选：A5．已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】若、、三点共线，则向量与平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使、、三点共线的充要条件．【详解】解：若、、三点共线，则向量即存在实数，使得，，，可得，消去得即、、三点共线的充要条件为故选：B．6．设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数单调性结合零点即可得解.【详解】为上的奇函数，且在上单调递增，，得：或解得.故选：D7．甲､乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（    ）A．甲得分的极差大于乙得分的极差 B．甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数C．甲得分的平均数小于乙得分的平均数 D．甲得分的标准差小于乙得分的标准差【答案】B【分析】根据图表数据特征进行判断即可得解.【详解】乙组数据最大值29，最小值5，极差24，甲组最大值小于29，最小值大于5，所以A选项说法错误；甲得分的75%分位数是20，,乙得分的75%分位数17，所以B选项说法正确；甲组具体数据不易看出，不能判断C选项；乙组数据更集中，标准差更小，所以D选项错误.故选：B8．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（    ）A．0.38 B．0.61C．0.122 D．0.75【答案】B【分析】利用频率组距，即可得解.【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在内的概率故选：B9．若函数的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的图象经过点(4，2)可求出的值，把的值代入函数的解析式，从而根据函数的定义域及单调性排除选项.【详解】由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，所以a＝.所以，因为函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，所以排除选项A，B，C.故选：D.10．已知函数，，，，则下列结论正确的是（    ）A．函数和的图象有且只有一个公共点B．，当时，恒有C．当时，，D．当时，方程有解【答案】D【解析】对于A，易知两个函数都过，又指数函数是爆炸式增长，还会出现一个交点，可知函数和的图像有两个公共点；对于B，取特殊点，此时；对于C，当时，作图可知，有恒成立；对于D，当时，易知两个函数都过点，即方程有解；【详解】对于A，指数函数与一次函数都过，但在x增大时时爆炸式增长，故还会出现一个交点，如图所示，所以函数和的图像有两个公共点，故A错误；对于B，取，，当时，，此时，故B错误；对于C，当时，指数函数与对数函数互为反函数，两函数图像关于直线对称，如图所示，由图可知，，有恒成立，故C错误；对于D，当时，，，由知，，且两个函数都过点，即方程有解，故D正确；故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解 二、填空题11．函数的定义域是___________.【答案】【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域.【详解】解：要使函数有意义就要，即，所以函数的定义域是.故答案为：12．命题“，”的否定是______．【答案】，【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“，”的否定是“，”.故答案为：，.13．________．【答案】【分析】利用指数运算及对数运算法则进行计算.【详解】故答案为：714．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】转化条件为直线与函数的图象有3个交点，数形结合即可得解.【详解】方程有三个不同的实数根，所以直线与函数的图象有3个交点，在直角坐标系中作出的图象,如图，若要使直线与函数的图象有3个交点，数形结合可得，.故答案为：.15．已知函数（且）.给出下列四个结论：①存在实数a，使得有最小值；②对任意实数a（且），都不是R上的减函数；③存在实数a，使得的值域为R；④若，则存在，使得.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①②④【分析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断②③，求出关于y轴的对称函数为，利用与y的图像在上有交点判断④.【详解】当时，当时，，所以有最小值0，①正确；若是R上的减函数，则，无解，所以②正确；当时，单减，且当时，值域为，而此时单增，最大值为，所以函数值域不为R；当时，单增，单增，若的值域为R，则，所以，与矛盾；所以不存在实数a，使得的值域为R；由①可知，当时，函数值域不为R；当时，单减，最小值为，单增，且，所以函数值域不为R，综上③错误；又关于轴的对称函数为，若，则，但指数函数的增长速度快于函数的增长速度，所以必存在，使得，即成立，所以④正确.故答案为：①②④ 三、解答题16．如图，在平行四边形中，设．试用求表示及．【答案】【分析】结合图形关系，根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】在平行四边形中,,所以进而得17．已知函数，（）．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．【答案】(1)或(2)(3) 【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可；（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围；（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.【详解】（1）当时，由得，即，解得或．所以不等式的解集为或．（2）由得，即不等式的解集是．所以，解得．所以的取值范围是．（3）当时，．又．①当，即时，对任意，．所以，此时不等式组无解，②当，即时，对任意，．所以解得，③当，即时，对任意，．所以此时不等式组无解，④当，即时，对任意，．所以此时不等式组无解．综上，实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.18．已知函数．(1)若，求a的值；(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；(3)若对于恒成立，求实数m的范围．【答案】(1)(2)奇函数，证明见解析(3) 【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解； （2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；（3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解.【详解】（1），，即，解得， 所以a的值为（2）为奇函数，证明如下：由，解得：或，所以定义域为关于原点对称，又，所以为奇函数；（3）因为，又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，由复合函数的单调性知函数在上为增函数，所以，又对于恒成立，所以，所以，所以实数的范围是19．为抗击新冠肺炎，某单位组织中､老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为.(1)甲､乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？(2)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率.【答案】(1)中年员工甲接种成功的概率更大(2) 【分析】分别记“中年员工甲、老年员工乙接种成功”为事件、，且、相互独立，（1）甲、乙接种成功，即两人每针接种均合格，由独立事件概率的乘法公式，计算可得、比较可得答案；（2）记“记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为”为事件，即，由独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；或利用间接法，确定对立事件，计算，进而得C事件的概率．【详解】（1）解：记中年员工甲接种成功的事件为，老年员工乙接种成功的事件为B，则，，故中年员工甲接种成功的概率更大.（2）法一：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为C，则法二：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为，则，两人中至少有一人接种成功的概率为.20．某工厂有甲，乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲，乙两条生产线的产量之比为.现采用分层抽样的方法从甲，乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）. 一等品二等品甲生产线76a乙生产线b2 (1)写出a，b的值；(2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；(3)以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲，乙两条产品生产线随机抽取10件产品记表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较和的大小.（只需写出结论）【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据题意列出方程组，从而求出a，b的值；（2记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件所包含是基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案.（3）根据样本中甲，乙产品一等品的概率，同时结合二项分布即可比较大小.【详解】（1）由题意，知，解得；（2）记样本中甲生产线的4件二等品为，乙生产线的2件二等品为.从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是：，，记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果有1个，它是.所以.（3）.21．设函数的定义域为R．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质.记P为满足性质的所有函数的集合.（I）判断函数和是否属于集合P？（结论不要求证明）（II）若函数，证明：;（III）记二次函数的全体为集合，证明：.【答案】（I）不属于集合，属于集合；（II）证明见解析；（III）证明见解析.【解析】（I）根据性质的定义判断与是否具有性质，由此判断出函数和是否属于集合；（II）先根据定义证明函数具有性质，然后即可证明；（III）将问题转化为证明二次函数不具备性质，先假设二次函数具备性质，然后通过已知条件推出与条件矛盾的结果，由此完成证明.【详解】（I）不属于集合，属于集合；（理由如下：设，若，则有，解得，不符题意，所以不具有性质，所以不属于集合；设，若，则有，所以，所以具有性质，所以属于集合）（II）证明如下：因为，不妨令，所以，所以，显然关于的方程有解：，所以具有性质，所以；（III）根据题意可知：二次函数不具备性质，假设存在二次函数具备性质，所以存在常数对于任意都有成立，所以存在常数使成立，所以存在常数使成立，所以，解得，这与假设中矛盾，所以假设不成立，所以二次函数都不具备性质，所以.【点睛】关键点点睛：解答本题第三问的关键是将待证明的问题转化为分析二次函数是否具备性质，再通过“反证”的思想完成证明.