2022-2023学年广东省广州中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】化简集合A，再求交集.

【详解】

故选：C

【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题.

2．下列函数既是偶函数,又在区间上是减函数的是（    ）

A． B． C．  D．

【答案】C

【解析】根据奇偶性的判断排除B选项，根据单调性排除A，D.

【详解】令，，则为偶函数

当时，，在上单调递增，故A错误；

令，则，则函数为奇函数，故B错误；

令，，则函数为偶函数

在区间上单调递减，则在区间上是减函数，故C正确；

令，，则函数是偶函数

令

因为，所以，即

所以函数在上单调递增，故D错误；

故选：C

【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性以及单调性定义判断函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

3．若a，b是实数，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】由对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.

【详解】由可得；但是时，不能得到.

则是的必要不充分条件

故选：B

4．函数的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】利用诱导公式得出，结合正弦函数的性质，得出最大值.

【详解】

即当时，取最大值

故选：D

【点睛】本题主要考查了诱导公式以及正弦型函数的最值，属于基础题.

5．设,,,则a,b,c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用的单调性比较，与比较即可得出答案.

【详解】，则

因为函数在上单调递增，则

所以

故选：A

【点睛】本题主要考查了利用幂函数以及对数函数单调性比较大小，属于基础题.

6．函数,的大致图象为（    ）

A．a B．

C． D．

【答案】B

【解析】判断函数奇偶性，取特殊值判断即可.

【详解】令，，则函数为奇函数，则排除D；

，则排除

故选：B

【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题.

7．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的,且有如下对应值表:

那么函数一定存在零点的区间是（    ）A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用零点存在性定理判断即可.

【详解】

则函数一定存在零点的区间是

故选：B

【点睛】本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.

8．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出用水补满，搅拌均匀，第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的最小值为（    ）

A．5 B．10 C．15 D．20

【答案】B

【分析】依据题意列出不等式即可解得V的最小值.

【详解】由，解得

则V的最小值为10.

故选：B

二、多选题

9．设，且，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据不等式的性质判断AD，列举例子判断BC.

【详解】A.，同除可得，A正确；

B.当时，，B错误；

C.若，此时有，C错误；

D.，故，D正确.

故选：AD.

10．已知，则（    ）

A． B．

C． D．角可能是第二象限角

【答案】BC

【分析】根据给定条件结合诱导公式、同角公式逐项分析、计算并判断作答.

【详解】因，则是第一象限或者第四象限角，

当是第四象限角时，，A不正确；

，B正确；

，C正确；

因是第一象限或者第四象限角，则不可能是第二象限角.

故选：BC

11．以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小值是4

B．若且，则

C．若，则的最小值为3

D．函数的最大值为0

【答案】BD

【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A.对于函数，当时，，所以A选项错误.

B.由于，所以，

所以，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.

C.，

但无解，所以等号不成立，所以C选项错误.

D.由于，所以，

当且仅当时等号成立，所以D选项正确.

故选：BD

12．已知函数，则下列判断正确的是（    ）

A．为奇函数

B．对任意，且，则有

C．对任意，则有

D．若函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是

【答案】BCD

【分析】举出反例可得函数不是奇函数，A错误；

研究二次函数的单调性得到B正确；

分情况讨论并计算可判断C正确；

构造函数，将函数的零点转化为两个函数图象的交点问题可判断D正确．

【详解】A选项，，即，则不是奇函数，即A不正确；

B选项，时，，对称轴为，开口向下，故在上递增，

时，对称轴为，开口向上，故在上递增，

且，于是得在R上单调递增，

则，B正确；

C选项，时，，

时，，

时，

综上得：对任意，则有成立，C正确；

D选项，因为，则0不是的零点，

时，，

令，依题意函数的图象与直线有两个公共点，

时，令，解得：，

结合可得：，

令，解得：，

结合可得：，

时，恒成立，

综上：时，时，，

于是得，

由对勾函数知，在上递减，在上递增，又在上递减，在上递增，如图：

直线与的图象有两个公共点，，直线与的图象有两个公共点，，

从而得函数的图象与直线有两个公共点时或，

所以实数m的取值范围是，D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．计算:________.

【答案】

【解析】由指数的运算性质与对数的运算性质化简即可得出答案.

【详解】

故答案为：

【点睛】本题主要考查了指数的运算性质与对数的运算性质，属于基础题.

14．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为___________.

【答案】

【分析】利用圆心角和弧长求出半径，根据扇形面积公式求解即可.

【详解】依题意，扇形的半径，

所以扇形的面积，

故答案为：.

15．已知，则______．

【答案】

【分析】由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值．

【详解】已知，，

则，

故答案为．

【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．

16．已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是___________．

【答案】

【分析】先判断在上是奇函数和增函数，故题意可转化成，求即可求解

【详解】的定义域为，且，所以为奇函数，

，

对任意

，

所以为单调递增函数，

由，得，即，

所以，即恒成立，

因为当时，，

所以，解得，

故答案为：．

四、解答题

17．已知集合或，集合.

(1)当时，求；

(2)若是空集，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先根据补集的定义求出集合，再将集合取交集；

（2）需要分类讨论集合是否为空集.

【详解】（1）集合，

当时，集合，

所以.

（2）当是空集时，分两种情况：

情况一：集合时，，所以；

情况二：集合时，，要使是空集，

则需要满足或，解得或，

所以这种情况下，实数的取值范围为或.

综上，实数的取值范围为或.

18．已知为第一象限角,且.

（1）求的值;

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用平方关系以及二倍角的正弦公式求解即可；

（2）利用两角和的正弦公式求解即可.

【详解】（1）

（2）

【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式，属于基础题.

19．已知函数．其中为自然对数的底数，．

(1)判断单调性，并用定义证明；

(2)求方程实数解的个数．

【答案】(1)为上的单调递减函数；证明见解析

(2)唯一的实数解

【分析】（1）根据函数单调性的定义判断并证明即可；

（2）令，易知在单调递增，又因为，，所以在存在唯一零点，从而得出结论．

【详解】（1）的定义域为

对任意的

所以为上的单调递减函数.

（2）由可得，令

易知在单调递增

又因为，

所以在存在唯一零点

所以有唯一的实数解.

20．已知函数的最大值为1，

（1）求常数的值；

（2）求函数的单调递减区间；

（3）求使成立的x的取值集合.

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）利用两角和与差的公式化简成为的形式，根据三角函数的性质可得的值．

（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；

（3）根据三角函数的性质求解成立的的取值集合．

【详解】（1）由题意：函数，

化简得：

，

的最大值为1，

，解得：．

（2）由（1）可知．

根据三角函数的性质可得：，．

即，

解得：，，

的单调递减区间为；

（3）由题意：，即，

可得：．

，．

解得：．

成立的的取值范围是．

【点睛】本题考查了三角函数的化简和计算能力，三角函数的性质的运用．属于基础题．

21．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：

该函数模型如下：

根据上述条件，回答以下问题：

（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？

（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）

（参考数据：）

【答案】（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.

【详解】（1）由图可知，当函数取得最大值时，，

此时，

当，即时，函数取得最大值为.

故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升.

（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时.

由，得：，

两边取自然对数得：

即，

∴，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.

22．已知函数．

(1)试判断函数的奇偶性，并证明；

(2)若对任意的，都有不等式恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)偶函数；证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断并证明；

（2）利用参变量分离法可得在上恒成立，利用换元法(令)及函数的单调性求出的最大值，即可求解的取值范围．

【详解】（1）的定义域为

所以为偶函数.

（2）对任意的，都有不等式恒成立，

∴恒成立，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

令

∴

令

当且时，，则

当且时，，则

可得在上单调递减，在上单调递增

又，所以在上的最大值为

∴，即实数k的取值范围是．