2022-2023学年河北省保定市第三中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河北省保定市第三中学高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省保定市第三中学高一上学期期末数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合，再利用集合交集的定义求解即可.【详解】由解得，所以，所以，故选：A.2．设命题，，则为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】直接根据全称命题的否定，即可得到结论.【详解】因为命题，，所以： ，.故选：D3．函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由真数大于0，二次根式下被开方数不小于0可得．【详解】由题意，解得．故选：C．4．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据指数函数的单调性以及必要不充分条件的定义证明即可.【详解】，∵为单调递增函数，∴，则，∴，反之不成立，所以“”是“”的必要不充分条件故选：B5．设，则，，则，，的大小关系是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的运算、指数运算的性质，结合对数函数的性质、指数函数的性质进行求解判断即可.【详解】，所以有，因为，所以有，故选：B6．已知，则等于（    ）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】应用诱导公式及正余弦的齐次式，将题设等式转化为，即可求值.【详解】，∴，可得.故选：B.7．已知函数且的图像过定点，且角的终边过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】因为当时，，所以过定点，由三角函数的定义可得，，，所以，故选：D8．函数的零点所在的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用零点存在性定理即可判断.【详解】；；；故选：B【点睛】本题主要考查了求函数零点所在区间，属于基础题.9．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论．【详解】记，函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BC，又时，，排除D．故选：A．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.10．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果．【详解】由题意作函数与的图象如下，∵方程有四个不同的解，且，∴关于对称，即，当得或，则，故，故选：A. 二、多选题11．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（　　）A． B．C． D．【答案】BC【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解【详解】对于A：的定义域为，且，所以为奇函数，故A错误；对于B：的定义域为，且，所以为偶函数，当时，由一次函数的性质可知，在上单调递增，即在上单调递增，故B正确；对于C：的定义域为，且，所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递增，故C正确；对于D：的定义域为，且，所以为奇函数，故D错误；故选：BC12．给出下列函数：① ；② ；③ ；④ ．其中最小正周期为 的有（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABC【分析】根据三角函数的性质求解即可.【详解】解：对于①，，最小正周期为，正确；对于②，，由于的最小正周期为，故的最小正周期为，正确；对于③，，最小正周期为，正确；对于④，，最小正周期为，错误；故选：ABC13．函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）．A．该函数的解析式为B．该函数图象的对称中心为，C．该函数的单调递增区间是，D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象【答案】ACD【分析】根据图象可得函数的解析式，然后根据三角函数的性质及图象变换规律逐项分析即得.【详解】由题图可知，，周期，所以，则，因为当时，，即，所以，，即，，又，故，从而，故A正确；令，，得，，故B错误；令，，得，，故C正确；函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到，故D正确．故选：ACD.14．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）.A．是函数的一个单调减区间B．的解集为C．若，则，或D．方程必有两个实数根【答案】BC【解析】根据符合函数的单调性即可判断A；分段解不等式再求并集即可判断B；分段解方程即可判断C；利用函数与交点的个数，即可判断D【详解】对于A：当时，，是由与复合而成，而与都是减函数，由复合函数的单调性法则可得在上是增函数，故A错误；对于B：如图，当时，由 ，，，所以不成立；当时，，也即 ，解得，所以的解集为，故B成立；对于C，当时，，即，解得，当时，，即，解得，故C正确；对于D，方程的根是函数与交点的个数，如图，函数与只有一个交点，故方程只有一个实数根，故D错误.故选：BC【点睛】本题主要考查了函数的单调性，分段函数解不等式和解方程，函数与方程等，属于中档题. 三、填空题15．若，则________.【答案】【解析】由，根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可．【详解】，，则，故答案为：．16．已知，则________.【答案】【分析】由二倍角公式，商数关系变形然后代入已知计算．【详解】由题意故答案为：．17．设，则______.【答案】1【解析】根据指数式与对数式的互化，得到，，再结合对数的运算法则，即可求解.【详解】由，可得，，所以.故答案为：.18．已知且，对任意且，不等式恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【分析】根据题意得到在上单调递减，结合复数函数的单调性的判定方法，得到，再结合对数函数的定义域和二次函数的性质，列出不等式，即可求解．【详解】因为对任意且，不等式恒成立，所以在上单调递减，因为在上单调递减，由复合函数的单调性知，又由对数函数的定义域知，当时，恒成立，可得，解得，综上可得；，所以实数的取值范围为.故答案为：. 四、解答题19．计算(1)已知，，.求和的值(2)【答案】(1),(2)0 【分析】（1）利用同角三角函数关系和正切的两角和公式求解即可；（2）利用对数和指数的运算求解即可.【详解】（1）因为，，所以，，因为，所以，.（2）原式.20．已知函数（且）.(1)判断的奇偶性并予以证明；(2)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集.【答案】(1)奇函数，证明见解析(2) 【分析】（1）先求定义域，再由奇偶性定义证明即可；（2）根据解集得出，，再利用对数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）要使有意义，必须且，解得，所以的定义域为.是奇函数.证明如下：的定义域为，关于原点对称，∵，∴为奇函数.（2）由不等式的解集为，∴得，，∴，得，∵为减函数，∴解得：，所以解集为.21．已知函数，且函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．(1)求的值和函数的单调递增区间；(2)求函数在区间上的值域．【答案】(1)；，(2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再由题设条件得到，从而求得，再利用正弦函数的单调性及整体代入法求得的单调递增区间；（2）先由得到，再结合正弦函数的性质即可求得，从而得到的值域．【详解】（1）因为，因为函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，所以，即，则，即，又，故，所以，令，，得，，所以函数的单调递增区间为，.（2）因为，所以，故，则，即，所以函数的值域为．22．为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层､某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元.设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.(1)求和的表达式；(2)当隔热层修建多少厘米厚时，总费用最小，并求出最小值.【答案】(1)，(2)隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元 【分析】(1)由已知，又不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．所以可得C（0）＝5，由此可求，进而得到．由已知建造费用为6x，根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），可得f（x）的表达式．(2)由(1)中所求的f（x）的表达式，利用基本不等式求出总费用f（x）的最小值．【详解】（1）因为，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，所以，故，因为为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，所以.（2），当且仅当，即时，等号成立，即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元.